课时作业15 双曲线的简单几何性质(一)
基础巩固
1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：在－＝1中，a2＝1，b2＝，c2＝，
∴c＝.
答案：C
2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：得
∵焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案：B
3．若实数k满足0
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：注意到09－k>0，两条曲线均为双曲线．又注意到分母的数据特征，则有c2＝a2＋b2＝25＋(9－k)＝(25－k)＋9＝34－k.从而两条曲线的焦距相等.
答案：D
4．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(0，) B．(1，)
C．(，1) D．(，＋∞)
解析：双曲线的左焦点F(－c,0)，左准线x＝－，渐近线y＝±x，有AB＝，左焦点到左准线的距离为c－＝，所以<即有b1，故1答案：B
5．(2018年高考·北京卷)若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________．
解析：由题意可得，＝，得a2＝16，又a>0，所以a＝4.
答案：4
6．实轴长为4且过点A(2，－5)的双曲线的标准方程是__________．
解析：依题意2a＝4，∴a＝2.设所求方程为－＝1或－＝1，将A(2，－5)代入求得－＝1.
答案：－＝1
7．如图2，过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
图2
图3
解析：由图3可知OA＝a，OF＝c，AF＝b，∠AFO＝30°，得e＝＝＝2.
答案：2
能力提升
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2 B．2
C. D．1
解析：由双曲线－＝1，得a2＝4，b2＝12，故c2＝16，不妨取焦点(4,0)，渐近线为y＝±x，则距离d＝2.
答案：A
2．双曲线的两个顶点将焦距三等分，则它的离心率为( )
A. B．3
C. D.
解析：依题意可得2c＝3×2a，即c＝3a，
所以e＝＝3.
答案：B
3．与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由已知设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，代入点(－3,2)，得λ＝－＝.
故双曲线方程为－＝1.
答案：D
4．(2017年高考·课标全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝ ①，又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a2＋b2＝9 ②，根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以选B.
答案：B
5．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2
C. D.
解析：
图4
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图4所示，|AB|＝
|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝a，故点M的坐标M(2a，a)，代入双曲线方程得a2＝b2＝c2－a2，即c2＝2a2，所以e＝，故选D.
答案：D
6．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
则
∴∴mn＝4.
∴|PF1|·|PF2|＝4.
答案：B
7．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C. D.
解析：因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为－y2＝1，设点P(x0，y0)，则有－y＝1(x0≥)，解得y＝－1(x0≥)，因为＝(x0＋2，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋2)＋y＝x0(x0＋2)＋－1＝＋2x0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－，因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2，故·的取值范围是[3＋2，＋∞)，选B.
答案：B
8．已知双曲线－＝1的离心率为，则n＝__________.
解析：n<0不可能，只有0＝＝，n＝4.
答案：4
9．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．
解析：在圆方程中，令x＝0得，y2－4y＋8＝0，方程无解，即圆与y轴无交点，令y＝0得，x2－6x＋8＝0，解为x1＝2，x2＝4，即圆与x轴的交点为A(2,0)，B(4,0)，要求双曲线标准方程，可知a＝2，c＝4，从而方程为－＝1.
答案：－＝1
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且过点(3,2)，则此双曲线的方程为________．
解析：∵离心率为，∴双曲线为等轴双曲线，∴a＝b.
把点(3,2)代入方程，得－＝1.
∴a2＝b2＝5.
∴双曲线的方程为x2－y2＝5.
答案：x2－y2＝5
11．若双曲线离心率为，焦点在x轴上，则其渐近线方程为________．
解析：因为e＝＝，
所以＝5，＝4，＝2，
故渐近线方程为y＝±2x.
答案：y＝±2x
12．如图5，ABCDEF为正六边形，则以F，C为焦点，且经过A，E，D，B四点的双曲线的离心率为________．
图5
解析：由双曲线的定义知|DF|－|DC|＝2a，|FC|＝2c，若设正六边形的边长为1，
则|DF|＝，|FC|＝2，即c＝1，
所以－1＝2a，即a＝，
所以e＝＝＝＝＋1.
答案：＋1
13．已知双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为，求双曲线C的方程．
解：依题意，双曲线焦点在y轴上，顶点坐标为(0，a)，渐近线方程为y＝±x，即ax±by＝0，
所以＝＝，又e＝＝，
所以b＝1，即c2－a2＝1，(a)2－a2＝1，
解得a2＝4，故双曲线方程为－x2＝1.
14．求过点P(3，－)，离心率e＝的双曲线的标准方程．
解：当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，则 解之得
∴x2－4y2＝1.
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1，则推出无解．
故所求双曲线的标准方程为x2－4y2＝1.
15.
图6
如图6，动点M与两定点A(－1,0)、B(1,0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设直线y＝x＋m(m>0)与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|<|PR|，求的取值范围．
解：(1)设M的坐标为(x，y)，当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在，于是x≠1且x≠－1.
此时，MA的斜率为，MB的斜率为
由题意有·＝4，
化简可得4x2－y2－4＝0
故动点M的轨迹C的方程为
4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)
(2)由，消去y，
可得3x2－2mx－m2－4＝0.(*)
由题意，对于方程(*)，其判别式
Δ＝(－2m)2－4×3(－m2－4)＝16m2＋48>0
而当1或－1为方程(*)的根时，m的值为－1或1.
结合题设(m>0)可知，m>0且m≠1.
设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，则xR，xQ为方程(*)的两根
因为|PQ|<|PR|，所以|xQ|<|xR|，
xR＝，xQ＝
所以＝＝
＝1＋，
此时m>0且m≠1?>1，且 ≠2.
由 >1且 ≠2
所以1<1＋<3，
且1＋≠
所以1<＝<3，且＝≠.
所以的取值范围是(1，)∪(，3)．
课时作业16 双曲线的简单几何性质(二)
基础巩固
1．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( )
A．y＝±3x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：化为标准方程－＝1，令x2－＝0，y2＝3x2，∴y＝±x.
答案：C
2．中心在原点，焦点为x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：设其中一条渐近线方程：y＝－x，过点(4，－2)，则b＝a，又c2＝a2＋b2＝a2，∴e2＝，即e＝.
答案：D
3．(2018年高考·课标全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为 ( )
A. B．2
C. D．2
解析：由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.
答案：D
4．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝( )
A. B．2
C．3 D．6
解析：双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以圆心(3,0)到x±y＝0的距离d＝＝，则半径r＝，选A.
答案：A
5．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
解析：－＝1表示双曲线，则(m2＋n)(3m2－n)>0，∴－m2答案：A
6．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.
解析：由－y2＝1可知其渐近线为y＝±x，由已知此双曲线的一条渐近线为y＝－x，所以＝，即a＝.
答案：
7．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的方程是__________．
解析：由焦点为(，0)知c＝，焦点在x轴上， ，∴双曲线的方程为－＝1.
答案：x2－＝1
能力提升
1．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：由双曲线的渐近线方程得－＝1(a>0)的渐近线为：y＝±x，结合题目条件得：±＝±，所以a＝2.故选C.
答案：C
2．如图1所示，F为双曲线C：－＝1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7－i(i＝1,2,3)关于y轴对称，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|－|P4F|－|P5F|－|P6F|的值是( )
图1
A．9 B．16 C．18 D．27
解析：设双曲线右焦点为F′，则|PiF′|＝|P7－iF|(i＝1,2,3)．所以|P1F|－|P6F|＝|P1F|－|P1F′|＝2a＝6，同理|P2F|－|P5F|＝6，|P3F|－|P4F|＝6.故选C.
答案：C
3．(2017年高考·课标全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
解析：依题意得，双曲线的离心率e＝，
因为a>1，所以e∈(1，)，选C.
答案：C
4．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
解析：椭圆＋＝1的焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，故双曲线的焦点坐标为(－4,0)，(4,0)
∵双曲线－＝1的离心率为2，所以＝＝2，
解得a＝2
又∵b2＝c2－a2＝12，
∴双曲线渐近线方程为：y＝±x＝±x.
答案：(±4,0) y＝±x
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e∈[，2]，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为θ，则θ的取值范围是__________．
解析：∵tan＝＝，∴1≤tan≤，
∴≤≤，∴≤θ≤.
答案：≤θ≤
6．若双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是________．
答案：(－12,0)
7．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线方程．
解：需分两种情况进行讨论：
(1)当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，
∵渐近线方程为y＝±x，则＝，
又由焦点在圆x2＋y2＝100上知c＝10，
∴a2＋b2＝c2＝100，
可求得a＝6，b＝8.
∴所求双曲线方程为－＝1.
(2)当焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1.
由题设得解得a＝8，b＝6.
∴所求双曲线方程为－＝1.
8．已知等轴双曲线x2－y2＝a2及其上一点P，求证：
(1)离心率e＝，渐近线方程y＝±x；
(2)P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方；
(3)过P作两渐近线的垂线，构成的矩形面积为定值．
证明：(1)由已知得e＝，渐近线方程：y＝±x.
(2)设P(x0，y0)，则x－y＝a2，
又F1(－a,0)、F2(a,0)，
∴|PF1|·|PF2|
＝·
＝·
＝|x0＋a||x0－a|＝|2x－a2|
＝|x＋y|＝|PO|2.
(3)设垂足分别为Q、R，则由点到直线距离公式可知
|PQ|＝，|PR|＝，
∴SPQOR＝|PQ||PR|＝|x－y|＝a2(定值)．
创新拓展
1．已知双曲线x2－4y2＝4，求过点A(3，－1)，且被点A平分的弦MN所在的直线方程．
解：易知所求直线方程的斜率存在．
设过点A(3，－1)的直线方程为y＝k(x－3)－1.
代入双曲线方程，得x2－4[k(x－3)－1]2＝4.
整理得(4k2－1)x2－8k(3k＋1)x＋36k2＋24k＋8＝0.①
若直线与双曲线交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则k2≠，且Δ>0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝.
∵点A平分弦MN，
∴＝3，解得k＝－.
代入①验证，满足k2≠，且Δ>0.
∴所求直线方程为y＝－(x－3)－1，
即3x＋4y－5＝0.
2．已知直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解：将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1，整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0，①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
∴
解得k的取值范围为{k|－2设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则由①，得x1＋x2＝，x1x2＝.②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，
则由FA⊥FB，得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.
即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
整理，得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③
把②式及c＝代入③式，
化简，得5k2＋2k－6＝0.
解得k＝－或k＝?(－2，－)(舍去)．
综上可知，存在k＝－，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
