课时作业17 抛物线及其标准方程
基础巩固
1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由y2＝2px＝8x知p＝4，又因为焦点到准线的距离就是p，故选C.
答案：C
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为 ( )
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
解析：由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，又准线经过点(－1,1)，即有－＝－1，所以p＝2，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故选B.
答案：B
3．抛物线x2＝y的准线方程是( )
A．4x＋1＝0 B．4y＋1＝0
C．2x＋1＝0 D．2y＋1＝0
解析：由x2＝y知焦点为(0，)，准线方程y＝－，即4y＋1＝0.
答案：B
4．若动圆的圆心在抛物线x2＝12y上，且与直线y＋3＝0相切，则此动圆恒过定点( )
A．(0,2) B．(0，－3)
C．(0,3) D．(0,6)
解析：画图，由抛物线定义知，选C.
答案：C
5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是__________．
解析：设抛物线方程为y2＝2px，过点P(2,4)，则16＝2p×2，∴2p＝8，∴y2＝8x.
答案：y2＝8x
6．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是__________．
解析：由题意知抛物线的标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝－＝2，得a＝－.
答案：－
能力提升
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
解析：由题意知抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，准线方程为x＝－2，即－＝－2，p＝4，故应选B.
答案：B
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：抛物线的准线方程为x＝－，圆方程为(x－3)2＋y2＝42，依题意，得＝1，得p＝2.
答案：C
3．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是( )
解析：
图1
由y2＝－x(a>b>0)知抛物线开口向左，由＋＝1知<焦点在y轴上．
答案：D
4．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点 M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：由焦半径公式，|MF|＝2＋＝3，
∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x，∴y＝4×2＝8，
|OM|＝＝＝2，故选B.
答案：B
5．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．以上都不对
解析：方程5＝|3x＋4y－12|可化为＝，
∴动点M到原点的距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．
∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
答案：C
6．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点．若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
解析：设点A(，y0)，
则＝(，y0)，＝(1－，－y0)．
由·＝－4，得－－y＝－4，解得y＝4.
此时点A的坐标为(1,2)或(1，－2)．
答案：B
7．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________.
图2
解析：如图2，由已知，得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B(，1)．
将其代入y2＝2px，得1＝2p×，
解得p＝，
故点B到准线的距离为＋＝p＝.
答案：
8．抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标是__________．
解析：y＝x2化为标准方程x2＝ay，讨论a>0和a<0，推得焦点坐标均为(0，)．
答案：(0，)
9．已知平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
解：解法1：设点P的坐标为(x，y)，
则有＝|x|＋1.
两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.
故y2＝
即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．
解法2：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，
由于点F(1,0)到y轴的距离为1，
故当x<0时，直线y＝0上的点符合条件；
当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等．
故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．
10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝，∵M(－3，m)是抛物线上的点，根据抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，∴|－3|＋＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.又∵点(－3，m)在抛物线上，故m2＝(－8)×(－3)，∴m＝±2.
创新拓展
图3
1．如图3，直线l1和l2相交于点M，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，|BN|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
解：如图4，设A(xA，yA)、
B(xB，yB)，且
图4
xA∵点M，点N，
又|AM|＝，|AN|＝3.
∴
得xA＝.又y＝2pxA，∴y＝2p·＝8，
∴2＋8＝17，解得或
又∵△AMN为锐角三角形，
∴xA<，得又∵点A在曲线段C上，
∴xB＝|BN|－＝6－2＝4.
∴曲线段C的方程为y2＝8x(1≤x≤4)．
2．定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标．
图5
解：如图5，F是抛物线y2＝x的焦点，A，B两点到准线的垂线分别是AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足，
则|MN|＝(|AC|＋|BD|)，
由抛物线定义知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.
∴|MN|＝(|AF|＋|BF|)≥|AB|＝.
设点M的横坐标为x，|MN|＝x＋，
则x≥－＝.
当弦AB过点F时等号成立，此时，点M到y轴的最短距离为.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2x.
当x＝时，y1·y2＝－p2＝－，
∴(y1＋y2)2＝y＋y＋2y1·y2＝2x－＝2.
∴y1＋y2＝±，得y＝±，即M(，±)．
