课时作业18 抛物线的简单几何性质
基础巩固
1．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：x＋＝3，p＝2，∴x＝2，选B.
答案：B
2．过定点P(0,2)作直线l，使l与曲线y2＝4x有且仅有1个公共点，这样的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：一条切线，一条y轴，一条平行于x轴．
答案：C
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|PQ|的值为( )
A．10 B．8
C．5 D．6
解析：如图1，F(1,0)由定义知|PQ|＝x1＋x2＋2＝8.
图1
答案：B
4．设抛物线y2＝4px的焦点弦的两端点为(x1，y1)、(x2，y2)，则y1y2的值是( )
A．p2 B．1－p2
C．4p2 D．－4p2
解析：F(p,0)设弦方程消去x得
ky2－4py－4kp2＝0.
由韦达定理y1y2＝＝－4p2.
答案：D
5．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________.
解析：由题意椭圆＋＝1，
故它的右焦点坐标是(2,0)，
又y2＝2px(p＞0)的焦点与椭圆＋＝1相同，
故p＝4∴抛物线的准线方程为x＝－2.
答案：x＝－2
6．(2017年高考·课标全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
解析：解法1：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，所以N(0,4)，|FN|＝＝6.
解法2：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.
答案：6
7．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
解析：由抛物线定义知P到准线l2：x＝－1的距离等于它到焦点(1,0)的距离，所以P到直线l1和l2的距离之和最小值等于焦点到l1的距离
d＝＝2.
答案：2
8．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．
解：如图2，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，由题设，直线AB的方程为y＝x－1，代入抛物线方程y2＝4x，
图2
整理得x2－6x＋1＝0.
解法1：解上述方程得
x1＝3＋2，x2＝3－2，
分别代入直线方程得
y1＝2＋2，y2＝2－2，
即A、B的坐标分别为
(3＋2，2＋2)、
(3－2，2－2)，
∴|AB|＝＝8.
解法2：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝＝×＝8.
解法3：设A(x1，y1)、B(x2，y2)．由抛物线的定义可知，|AF|＝|AA′|＝x1＋1，|BF|＝|BB′|＝x2＋1，
∴|AB|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
能力提升
1．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则点
M到焦点的距离为xM＋＝2＋＝3，
∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.
∵点M(2，y0)在抛物线y2＝4x上，
∴y＝4×2.∴y0＝±2.
∴|OM|＝＝＝2.
答案：B
2．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[－，] B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
解析：设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线方程联立，得消去x，
得到关于y的方程ky2－8y＋16k＝0.
当k＝0时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点；
当k≠0时，应有Δ≥0，即64－64k2≥0，
解得－1≤k≤1且k≠0.
综上可知，l斜率的取值范围是[－1,1]．
答案：C
3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：如图3所示，因为AF的斜率为－，所以∠AFx＝120°，又因为PA∥x轴，所以∠PAF＝180°－120°＝60°，再加之抛物线的定义得PA＝PF，因此△PAF为等边三角形．
此题可通过构造以下三种情境将|PF|解出
情境1：如图4，设准线与x轴相交于M，易得∠AFM＝60°，所以在Rt△AMF中，cos∠AFM＝＝，所以|AF|＝2|MF|＝8，又因为△APF为等边三角形，故
|PF|＝|AF|＝8.
情境2：如图5，过F点作AP的垂线，设垂足为N，因为△APF为等边三角形，所以|PA|＝2|AN|＝2|MF|＝8，故|PF|＝|PA|＝8.
情境3：如图6，过点P作x轴的垂线，设垂足为Q，因为∠PFQ＝60°，所以在Rt△PFQ中，|FQ|＝|PF|·cos60°＝|PF|，又因为|PA|＝|PF|＝|MQ|＝|MF|＋|FQ|＝4＋|PF|，易得|PF|＝8.
答案：B
4．抛物线y2＝4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是( )
A．m＋n＝mn B．m＋n＝4
C．mn＝4 D．无法确定
解析：由消y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1x2＝1，x1＋x2＝，
∴，∴m＋n＝mn.
答案：A
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意，x1≠x2，y1＋y2＝4且＝1
∵y＝2px2，y＝2px1，∴y－y＝2p(x2－x1)，∴(y2－y1)(y2＋y1)＝2p(x2－x1)，∴·(y2＋y1)＝2p.即4＝2p，∴p＝2，∴准线方程为：x＝－＝－1，故选B.
答案：B
6．(2018年高考·课标全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
解析：解法1：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，
则过C的焦点且斜率为k的直线方程为
y＝k(x－1)(k≠0)，由
消去y，得k2(x－1)2＝4x，
即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝1.
由消去x，得y2＝4(y＋1)，
即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，
由∠AMB＝90°，
得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)
＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，
将x1＋x2＝，
x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2.
解法2：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则所以y12－y22＝4(x1－x2)，
则k＝＝，取AB的中点M′(x0，y0)，
分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，
垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，
点M在准线x＝－1上，
所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)
＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，
所以MM′平行于x轴，且y0＝1，
所以y1＋y2＝2，所以k＝2.
答案：2
7．若抛物线y2＝mx与椭圆＋＝1有一个共同的焦点，则m＝__________.
解析：椭圆焦点为(±2,0)，∴抛物线为y2＝±8x.
答案：±8
8．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则＝________.
解析：
图7
解法1：几何法：如图7，令AF＝x，则AA1＝x；FB＝y，则BB1＝y
∴HB＝2y，∴HB＝2x＋x＋y＝2y，∴＝
解法2：特殊值法：令p＝2，则，求出A、B坐标即可．
答案：
9．已知抛物线y2＝x上存在两点关于直线l：y＝k(x－1)＋1对称，求实数k的取值范围．
解：设抛物线上的A点的坐标为(y，y1)，B点的坐标为(y，y2)，并且关于直线l对称，则
得
∴y1，y2是方程t2＋kt＋＋－＝0的两个不同的实数根，∴Δ＝k2－4>0，得－210．已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
图8
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.
因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，
图9
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2，
由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2)．
由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为
y＝2(x－1)．
由，得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.
又G(－1,0)，
所以kGA＝＝，
kGB＝＝－，
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，
故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
创新拓展
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
图10
解析：如图10所示，由定义知
|FP1|＝x1＋，
|FP2|＝x2＋，
|FP3|＝x3＋，
由2x2＝x1＋x3知，2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
答案：C
2．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为(0，)．双曲线的一条渐近线为y＝x即bx－ay＝0.由题意：＝2即·p＝2.
∵＝2 ∴p＝8 ∴抛物线方程为x2＝16y
∴选D.
答案：D
3．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足＝3，则弦AB的中点到准线的距离为________．
图11
解析：如图11，分别过A、B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为E、G，又过B作BK⊥AE于K交x轴于H，由＝3，可设||＝m，
||＝3m，由抛物线的性质得，|AE|＝3m，
|BG|＝m，|HF|＝2－m；
又由HF∥AE有＝＝.
＝，m＝，
所以弦AB的中点到准线的距离为(|BG|＋|AE|)＝|AB|＝×4m＝2×＝.
答案：
4．设抛物线(t为参数，p＞0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．
解析：抛物线的普通方程为y2＝2px，(p>0)，F(，0)，l：x＝－，|CF|＝3p，又|CF|＝2|AF|，则|AF|＝p，由抛物线的定义得|AB|＝p，所以xA＝p，则|yA|＝p，由CF∥AB得＝，即＝＝2，所以S△CEF＝2S△CEA＝6，所以S△ACF＝S△AEC＋S△CFE＝9，所以×3p×p＝9，p＝.
答案：
