课时作业19 空间向量及其加减运算
基础巩固
1．下列说法中正确的是( )
A．在四边形ABCD中，一定有＋＝
B．在四边形ABCD中，一定有－＝
C．若|a|＝|b|，则a＝±b
D．若向量a是向量b的反向量，则|a|＝|b|
解析：由ABCD不一定是平行四边形知，A错；∵－＝，∴B错；由|a|＝|b|仅推得a与b长度相等，其方向是任意的，∴a不一定等于±b，C错，故选D.
答案：D
2．在正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点构成的向量中，与向量相等的共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：＝＝＝，共有3个，选C.
答案：C
3．若底面是平行四边形的棱柱称平行六面体，则在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，向量－＋化简的结果是( )
A. B.
C. D.
解析：画图知＝，∴－＋＝－＋＝＋＝＋＝，选A.
答案：A
4．若a表示向东3 m，b表示向北4 m，c表示向上5 m，则a＋b－c表示( )
A．先向东3 m，再向北4 m，后向上5 m
B．先向东北5 m，后向上5 m
C．先向东3 m，再向北4 m，后向下5 m
D．先向东北5 m，后向下5 m
解析：因为－c表示向下5 m，所以由向量加法的三角形法则知，选C.
答案：C
5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是( )
A.＋＋ B.－＋
C.＋＋ D.＋－
解析：在A选项中，＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.
答案：A
6．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，CC1＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
解析：＝－＝－－＝b－a－c＝－a＋b－c.
答案：D
7．如图1，在三棱柱ABC—A1B1C1中，与是__________向量，与是__________向量．
解析：由三棱柱定义可知．
答案：平行(共线) 相反
8．化简：－－＝__________.
解析：原式＝－＝＋＝.
答案：
能力提升
1．给出以下命题：
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③在正方体ABCD—A1B1C1D1中，必有＝；
④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中不正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同、终点相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模长也相等，应有＝，故③正确；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．
答案：C
2．如果向量、、满足||＝||＋||，则( )
A.＝＋ B.＝－－
C.与同向 D.与反向
解析：、、构成三角形，又∵||＝||＋
||，∴C在线段AB上，∴与反向，选D.
答案：D
3．已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则＋(＋)等于( )
A. B.
C. D.
解析：在平面BCD内，(＋)＝，
∴＋(＋)＝＋＝，选A.
答案：A
4．已知点G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则＋＋＋等于( )
A．4 B．3
C．2 D.
解析：在平面PAC内，＋＝2，在平面PBD内，同理＋＝2，所以＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝4，选A.
答案：A
5．已知正方体ABCD—A′B′C′D′的中点为O，则在下列各结论中正确的结论共有( )
①＋与OB′＋OC′是一对相反向量；
②－与OA′－OD′是一对相反向量；
③＋＋＋与OA′＋OB′＋OC′＋OD′是一对相反向量；
④OA′－与－OC′是一对相反向量．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：如图2所示．
图2
①＝－OC′，＝－OB′，
∴＋＝－(OB′＋OC′)，是一对相反向量；
②－＝＋＝，OA′－OD′＝OA′＋D′O＝D′A′，而＝D′A′，可知－＝OA′－OD′；
③同①可知是正确的；
④OA′－＝OA′＋＝AA′，
－OC′＝＋C′O＝C′C＝－AA′.
答案：C
6．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
答案：A
7．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则下列各式中成立的是( )
A.＋＋＋＝0
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＋＝0
D.－＋＋＝0
答案：B
8．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则向量表达式＋－化简为一个向量是__________．
解析：∵＋－＝－＝＋.又∵EFGH是平行四边形，∴＋＝，∴原式＝.
答案：
9．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若＋＋＝λ，则λ的值是__________．
图3
解析：取AB的中点M，连结CM，则＋＝2，
＝＝(－)＝－，所以＋＋＝2＋，λ＝λ(＋)＝λ[＋(－)]＝(2＋)，依题意知
(2＋)＝2＋，∴＝1，λ＝3.
答案：3
10．如图4，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：
(1)＋＋；
(2)＋＋，并在图中标出化简结果的向量．
解：(1)＋＋＝；
(2)＋＋＝＋＋＝.向量如图5所示．
11．试用一个空间图形验证空间向量加法运算的结合律．
解：可以利用一个空间四边形来验证空间向量加法运算的结合律．如图6所示，在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则由空间向量的加法法则得
图6
(a＋b)＋c＝(＋)＋＝＋＝
又a＋(b＋c)＝＋(＋)＝＋＝
从而有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
即空间向量的加法运算满足结合律．
创新拓展
在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝__________(用a，b，c表示)．
解析：＝＋
图7
＝(＋)－
＝(＋)－
＝(b＋c)－(＋)
∵＝＋＋
＝a－b＋c
∴＝(b＋c)－(2a－b＋c)
＝－a＋b＋c
答案：－a＋b＋c
