课时作业20 空间向量的数乘运算
基础巩固
1．在长方体ABCD—A′B′C′D′中，向量AB′、AD′、是( )
A．有相同起点的向量 B．等长的向量
C．共面向量 D．不共面向量
解析：∵AD′－AB′＝B′D′＝，
∴AB′、AD′、共面．
答案：C
2．如图1，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c.则下列向量中与相等的向量是( )
图1
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b＋c D．－a－b＋c
解析：＝＋＝＋(＋)＝－＋＝c－a＋b，故选A.
答案：A
3．在下列条件中使M与A、B、C一定共面的是( )
A.＝2－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
解析：由＋＋＝0知＝－－，
∴、、共面，即四点M、A、B、C共面，选C.
答案：C
4．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝
x＋＋，则x的值为__________．
解析：∵M、A、B、C四点共面有＝λ＋μ(μ，λ∈R)，所以－＝λ(－)＋μ(－)，即＝(1－λ－μ)＋λ＋μ
由题设知λ＝μ＝，∴x＝1－λ－μ＝.
答案：
5．下列命题：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa；③若a与b共线，则|a|－|b|＝|a＋b|；④若a与b同向，则|a＋b|≥|a|.其中正确的命题序号是__________．
解析：当b＝0时，不能推出a与c共线，①错；当a＝0而b≠0时，找不到λ使得b＝λa，②错；当a、b同向或|a|<|b|时，|a|－|b|≠|a＋b|，③错；由a、b同向，有
|a＋b|＝|a|＋|b|≥|a|，④正确．
答案：④
能力提升
1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，＝，＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝1 D．x＝1，y＝
解析：＝－＝－
＝(＋)＋.
所以x＝1，y＝.
答案：D
2．设O为空间任意一点，a、b为不共线向量，＝a，＝b，＝ma＋nb(m，n∈R)，若A、B、C三点共线，则m、n满足( )
A．m＋n＝－1 B．m＋n＝1
C．m＋n＝0 D．m－n＝1
解析：由A、B、C三点共线，有＝λ，即－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ＝ma＋nb，∴ ∴m＋n＝1.
答案：B
3．下列说法正确的是( )
A．以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体
B．设平行六面体的三条棱是、、，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是＋＋
C．若＝(＋)成立，则P点一定是线段AB的中点
D．在空间中，若向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共面
解析：只有不共面的三个非零向量才可以构成一个平行六面体，而一个平行六面体的对角线有不同的四条，每条都有两个不同的方向，因此A、B都是错误的；
用以表示线段AB中点的向量式是＝(＋)，而不是＝(＋)，因此C也是错误的；
由于与是共线向量，所以A、B、C、D共线或AB∥CD，无论哪种情况都有A、B、C、D四点共面．
答案：D
4．若λ，μ∈R，a、b是平面α内的两个向量，则( )
A．α内任一向量p均可表示为p＝λa＋μb
B．若λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0
C．若a、b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb
D．若a、b不共线，则平面α内任一向量p＝λa＋μb
解析：若a，b共线，则未必有p＝λa＋μb，A错；若a，b是相反向量，则由λa＋μb＝0可得λ＝μ≠0，B错；若a，b不共线，则可用a、b表示平面α内的任一向量，但不能表示与a、b不共面的向量，C错，选D.
答案：D
5．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，且有＝x＋y＋z(x、y、z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点P、A、B、C共面的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：由x＋y＋z＝1有z＝1－(x＋y)，所以＝
x＋y＋[1－(x＋y)]＝＋x(－)＋y(－)＝＋x＋y，∴＝－＝x＋
y，∴P、A、B、C共面，逆推也成立．
答案：C
6．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋(＋)等于( )
A. B.
C. D.
解析：＋(＋)＝＋＝.
答案：A
7．已知G为正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则＋＋＋等于( )
A．4 B．3
C．2 D.
解析：＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝2＋2＝4.
答案：A
8．如图2，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD的中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝________，y＝________，z＝________.
解析：如图3，在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连接MF，
则＝＋.
∵＝－＝－＝
＝(－)，
＝＝＝－，
∴＝－－＋，
∴x＝－，y＝－，z＝.
答案：－ －
9．已知O是空间任一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x·＋3y·＋4z·，则2x＋3y＋4z＝__________.
解析：由A、B、C、D四点共面，有＝λ＋μ，
∴－＝λ(－)＋μ(－)整理得＝(λ＋μ－1)·－λ－μ，又＝2x·＋3y·＋4z·，∴2x＝λ＋μ－1,3y＝－λ，4z＝－μ，∴2x＋3y＋4z＝－1.
答案：－1
10．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若＋＋＝λ，λ的值为__________．
解析：由G是△ABC的重心，有＝(＋)，
∴－＝(＋－2)，
∴＋＋＝3，∴λ＝3.
答案：3
11．如图4，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？
图4
解：∵M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形
∴＝＋＋＝＋＋
又∵＝＋＋＝＋＋
∴2＝＋
∵＝，∴2＝＋＝
即＝2，
∴与共线．
12．A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝4，试求MN的长．
解：如图5，连结AM并延长与BC相交于E，连结AN并延长与CD相交于F，则E、F分别是BC及CD的中点．
图5
＝－＝－＝(－)＝＝(－)＝(－)＝(－)＝.||＝||＝BD＝.
13．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．
(1)用向量法证明E、F、G、H四点共面；
(2)用向量法证明BD∥平面EFGH；
(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．
证明：(1)如图6，连结BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.
∴E、F、G、H四点共面．
图6
(2)∵＝－＝(－)＝，
∴EH∥BD
又∵BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，
∴BD∥面EFGH.
(3)由(2)知＝，同理＝，
∴EFGH是平行四边形
∴EG与FH相交于M点且被M平分．
∴＝(＋)，又＝(＋)，
＝(＋)
∴＝[(＋)＋(＋)]
＝(＋＋＋)
