1.1.2 基本不等式 课件 22张PPT

(共22张PPT)
第一讲　不等式和绝对值不等式
选修4-5 不等式选讲
国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.
第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．


1.了解两个正数的算术平均数和几何平均数
2.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2).----【重点】
3.能运用这两个不等式解决最值或值域问题，证明一些简单的不等式.----【难点】
4.能运用基本不等式解决实际问题..----【难点】
将图中的“风车”抽象成右图
【自主探究1】
a
b
定理1：如果 ，那么

当且仅当 时，等号成立
文字叙述:任意两数的平方和不小于它们积的2倍。





探究2：
或者
基本不等式
定理2：如果
注意：此不等式中 可以是任意
正实数或大于零“代数式”
叫做正数 的算术平均数，
叫做正数 的几何平均数.
可以叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
均值不等式
那么该定理可以叙述为：
“两个正数的等差中项不小于它们的等比中项”.
如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC= ,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,
探究4：
O
②如何用a, b表示CD? CD=______
①如何用a, b表示OD? OD=______
③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD
≥
结论4：
几何意义：圆的半径不小于半弦
或 “直角三角形斜边上的中线不小于斜边的高”
探究5 基本不等式的作用：
题型1------利用基本不等式解决实际问题
由
例1 求证：
（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大
（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短
由
用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
（3）在定义域内，运用“基本不等式”求函数的最大值或最小值；
（4）找到等号成立时，变量的取值.
总结归纳：

变式
最值问题 “乘积”是定值
“和”存在最小值 “和”是定值
“乘积”存在最大值
步骤 一“正” 、 二“定” 、三“相等”
探究5 基本不等式的作用：
题型2------利用基本不等式证明不等式
两个正数的平方平均数 算术平均数 几何平均数 调和平均数
均值不等式
总结归纳：
用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明.
正失效
变正
探究5 基本不等式的作用：
题型3------利用基本不等式求最值
定失效
凑定
解：
解：
等失效
改用对号函数的单调性
矛盾
解：
等失效
改用对号函数的单调性
在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行
(1)首先 看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取－1变为同正.
(2)其次 看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值.
(3)最后 利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值，若不满足，则可通过对号函数的单调性或导数解决.
总结归纳：
×
√
√
和定积最大
当堂检测
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
任意两数的平方和不小于它们积的2倍
1.解决实际问题
2.证明不等式
3.求最值的问题

适用范围
文字叙述
“=”成立条件
三、应用基本不等式求最值的条件：

a与b为正实数
若等号成立，a与b必须能够相等
正
定
相等
积定和最小
和定积最大
一
二
三

作业：
1.教材10页，习题5.6.7
2.对应练习册