1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式 课件 23张PPT

(共23张PPT)
1.3 三个正数的算术---几何平均不等式



定理1.如果
，那么
（当且仅当
时取“=”号）


1．指出定理适用范围：

2．强调取“=”的条件：


定理2.如果
那么
是正数，
（当且仅当
时取“=”号）
注意：1．这个定理适用的范围：
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
利用算术平均数和几何平均数定理时一定要注意定理的条件:
一正;二定;三相等.
有一个条件达不到就不能取得最值.
基本不等式给出了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？
?
?

语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的
几何平均。
定理3:


?
关于“平均数”的概念：

1．如果
则：

叫做这n个正数的算术平均数。

叫做这n个正数的几何平均数。



2.基本不等式：
≥
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．

例２:
解:
构造三个数相加等于定值.
解:
构造三个数相加等于定值.
例３将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四
个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？
解:
设剪去的小正方形的边长为










则其容积为 :




解:
(错解:原因是取不到等号)
正解:



求函数　　　　　　　　的最小值．
下面解法是否正确？
解 ：由 知 ，则


当且仅当
小结：利用三个正实数的基本不等式求最值时注意：
2、不能直接利用定理时，注意拆项、配项凑定值的技巧（拆项时常拆成两个相同项）。
1、一正、二定、三相等；
A、6　　B、　　　C、9　　　D、12　　　
（　）
变式：
C
变式：
8
练习：

8
A、4　　B、3　 C、6　　D、5　　　
B
二、用基本不等式证明不等式
练习