1.1.2 基本不等式 课件 18张PPT

(共18张PPT)






















基本不等式（一）






数学史
三国时期吴国赵爽，绘制此图最早对勾股定理进行了证明






引入








A
D
B
C
E
F
G
H
b
a

A



B
C
D
E(FGH)
a
b







思考：你能给出对任意实数a,b，不等式 都成立的证明吗？
证明：（作差法）
证明重要不等式
一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立。
重要不等式：

①
②
③

≥






特别地，若a>0，b>0，则
≥
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数；




定义基本不等式
文字语言：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数







从不同角度认识基本不等式
问题1：基本不等式 从数列的

角度，还可以怎么表述？

两个正数的等差中项不小于它们的等比中项






从不同角度认识基本不等式





A
B
C
E
a
b


O

D
几何意义：



证明：要证
只要证
①
要证②，只要证


②
要证③，只要证
③


显然, ④是成立的.当且仅当a=b时, ④中的等号成立.
分析法



思考：你还能给出基本不等式 的其他证明吗？
执果索因
证明基本不等式
④






问题3：你能否借助已证的重要不等式 ，分析基本不等式 的成立性呢？

证明基本不等式
解：如图设BC=x ，CD=y ，
则xy=100，
篱笆的长为2(x+y)m.
当且仅当 时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

此时x=y=10.
x=y
A
B
D
C



例：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
运用基本不等式求最值
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，
菜园面积最大，最大面积是81m2

A
B
D
C



运用基本不等式求最值
例：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？






知识方法小结
数学建模 数形结合
运用基本不等式求最值的条件：
一正、二定、三相等






布置作业
课堂作业：教材第100页习题A组第1,2题
课后作业：课后在网上查找基本不等式的其他代数几何证明方法，整理并相互交流。






思考：由基本不等式 出发，

你还能推导出哪些公式？
课后思考题






















谢谢大家,敬请指导!