（江苏版）2020年中考数学热点专练四 实际应用问题（解析版）

2020年中考数学热点专练四 实际应用问题（江苏版）
（解析版）
实际应用问题，是每年中考中必考点，也是热点．一般涉及到实际应用的题目数量为2－3个．其中基本上必有一道解答题．这几乎成了各大城市命题的一般规律，当然这也是课程标准的要求．这种题型主要考查的知识有一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数、二次函数、反比例函数在实际生活中的应用．这里以解答题形式考查的主要是一元二次方程和分式方程或者不等式、一次函数、二次函数、反比例函数等．
中考
要求
课程标准要求学生掌握一定的建模能力，根据实际生活中的问题背景建立相应的模型，能应用相关知识分析、解决问题．
能灵活运用一元一次方程、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式（组）的相关知识解决实际生活中的问题。
考向1 一次方程（组）的实际应用
1. (2019 江苏省宿迁市)下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为　 　．
2. (2019 江苏省淮安市)某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：
所用火车车皮数量（节）
所用汽车数量（辆）
运输物资总量（吨）
第一批
2
5
130
第二批
4
3
218
试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
3. (2019 江苏省盐城市)体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克．
（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？
（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？
考向2 分式方程的实际应用
1. (2019 江苏省苏州市)小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
3. (2019 江苏省扬州市) “绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？
考向3 函数的实际运用
1. (2019 江苏省连云港市)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（　　）
A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m2
2. (2019 江苏省淮安市)快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米．如图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．
请解答下列问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
3. (2019 江苏省连云港市)某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
4. (2019 江苏省泰州市)小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100kg，超过300kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/kg．图中折线表示批发单价y（元/kg）与质量x（kg）的函数关系．
（1）求图中线段AB所在直线的函数表达式；
（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？
5. (2019 江苏省宿迁市)超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
（1）请写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
6. (2019 江苏省镇江市)学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
观察
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度；
发现
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．
①a＝　 　；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
拓展
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　 　．（直接写出结果）
考向4 不等式的实际运用
1. (2019 江苏省无锡市)某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工个零件为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知的值至少为　　
A．10 B．9 C．8 D．7
2020年中考数学热点专练四 实际应用问题（江苏版）
（解析版）
实际应用问题，是每年中考中必考点，也是热点．一般涉及到实际应用的题目数量为2－3个．其中基本上必有一道解答题．这几乎成了各大城市命题的一般规律，当然这也是课程标准的要求．这种题型主要考查的知识有一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数、二次函数、反比例函数在实际生活中的应用．这里以解答题形式考查的主要是一元二次方程和分式方程或者不等式、一次函数、二次函数、反比例函数等．
中考
要求
课程标准要求学生掌握一定的建模能力，根据实际生活中的问题背景建立相应的模型，能应用相关知识分析、解决问题．
能灵活运用一元一次方程、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式（组）的相关知识解决实际生活中的问题。
考向1 一次方程（组）的实际应用
1. (2019 江苏省宿迁市)下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为　 　．
【解析】设“△”的质量为x，“□”的质量为y，
由题意得：，
解得：，
∴第三个天平右盘中砝码的质量＝2x+y＝2×4+2＝10；
故答案为：10．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；设出未知数，根据题意列出方程组是解题的关键．
2. (2019 江苏省淮安市)某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：
所用火车车皮数量（节）
所用汽车数量（辆）
运输物资总量（吨）
第一批
2
5
130
第二批
4
3
218
试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
【解析】设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，
根据题意，得，
∴，
∴每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；
点评本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解方程组是关键．
3. (2019 江苏省盐城市)体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克．
（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？
（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？
【解析】 （1）设每只A型球、B型球的质量分别是x千克、y千克，根据题意可得：
，
解得：，
答：每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克；
（2）∵现有A型球、B型球的质量共17千克，
∴设A型球1个，设B型球a个，则3+4a＝17，
解得：a＝（不合题意舍去），
设A型球2个，设B型球b个，则6+4b＝17，
解得：b＝（不合题意舍去），
设A型球3个，设B型球c个，则9+4c＝17，
解得：c＝2，
设A型球4个，设B型球d个，则12+4d＝17，
解得：d＝（不合题意舍去），
设A型球5个，设B型球e个，则15+4e＝17，
解得：a＝（不合题意舍去），
综上所述：A型球、B型球各有3只、2只．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确分类讨论是解题关键．
考向2 分式方程的实际应用
1. (2019 江苏省苏州市)小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 找到等量关系为两人买的笔记本数量
故选A
2. (2019 江苏省常州市)甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？
【解析】 设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，
由题意得：＝，
解得：x＝18，
经检验：x＝18是原分式方程的解，
则30﹣18＝12（个）．
答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意检验．
3. (2019 江苏省扬州市) “绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？
【解析】设甲工程队每天修x米，则乙工程队每天修（1500﹣x）米，根据题意可得：
＝，
解得：x＝900，
经检验得：x＝900是原方程的根，
故1500﹣900＝600（m），
答：甲工程队每天修900米，乙工程队每天修600米．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
考向3 函数的实际运用
1. (2019 江苏省连云港市)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（　　）
A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m2
【解析】如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，
则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，
在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，
∴BE＝BC＝6﹣x，
∴AD＝CE＝BE＝6﹣x，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝x+6，
∴梯形ABCD面积S＝（CD+AB）?CE＝（x+x+6）?（6﹣x）＝﹣x2+3x+18＝﹣（x﹣4）2+24，
∴当x＝4时，S最大＝24．
即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2；
故选：C．
【点评】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．
2. (2019 江苏省淮安市)快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米．如图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．
请解答下列问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
【解析】（1）快车的速度为：180÷2＝90千米/小时，
慢车的速度为：180÷3＝60千米/小时，
答：快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时；
（2）由题意可得，
点E的横坐标为：2+1.5＝3.5，
则点E的坐标为（3.5，180），
快车从点E到点C用的时间为：（360﹣180）÷90＝2（小时），
则点C的坐标为（5.5，360），
设线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式是y1＝kx+b，
，得，
即线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式是y1＝90x﹣135；
（3）设点F的横坐标为a，
则60a＝90a﹣135，
解得，a＝4.5，
则60a＝270，
即点F的坐标为（4.5，270），点F代表的实际意义是在4.5小时时，甲车与乙车行驶的路程相等．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
3. (2019 江苏省连云港市)某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
【解析】（1）y＝0.3x+0.4（2500﹣x）＝﹣0.1x+1000
因此y与x之间的函数表达式为：y＝﹣0.1x+1000．
（2）由题意得：
∴1000≤x≤2500
又∵k＝﹣0.1＜0
∴y随x的增大而减少
∴当x＝1000时，y最大，此时2500﹣x＝1500，
因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大．
【点评】这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求利润y与甲产品生产的吨数x的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，最后确定函数的最值．也是常考内容之一．
4. (2019 江苏省泰州市)小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100kg，超过300kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/kg．图中折线表示批发单价y（元/kg）与质量x（kg）的函数关系．
（1）求图中线段AB所在直线的函数表达式；
（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？
【解析】（1）设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，根据题意得
，解得，
∴线段AB所在直线的函数表达式为y＝﹣0.01x+6（100≤x≤300）；
（2）设小李共批发水果m吨，则单价为﹣0.01m+6，
根据题意得：﹣0.01m+6＝，
解得m＝200或400，
经检验，x＝200，x＝400（不合题意，舍去）都是原方程的根．
答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200千克．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
5. (2019 江苏省宿迁市)超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
（1）请写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
【解析】（1）根据题意得，y＝﹣x+50；
（2）根据题意得，（40+x）（﹣x+50）＝2250，
解得：x1＝50，x2＝10，
∵每件利润不能超过60元，
∴x＝10，
答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，w＝（40+x）（﹣x+50）＝﹣x2+30x+2000＝﹣（x﹣30）2+2450，
∵a＝﹣＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝20时，w增大＝2400，
答：当x为20时w最大，最大值是2400元．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
6. (2019 江苏省镇江市)学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
观察
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度；
发现
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．
①a＝　 　；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
拓展
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　 　．（直接写出结果）
【解析】观察①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度，
设机器人甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为v＝4v，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为＝，而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），
∴m＝90，
故答案为：90；
②∵相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣40＝110个单位长度，
设机器人甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为v＝v，
∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为＝，
机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A，再到点B，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，40+150+150﹣m＝（m﹣40），
∴m＝120，
故答案为：120；
发现①当点第二次相遇地点刚好在点B时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，
根据题意知，x+150＝（150﹣x），
∴x＝50，
经检验：x＝50是分式方程的根，
即：a＝50，
故答案为：50；
②当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上，
∴线段OP的表达式为y＝3x，
当v＜v时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，
根据题意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），
∴y＝﹣3x+300，
即：y＝，
补全图形如图2所示，
拓展如图，由题意知，x+y+150+150＝（150﹣x+150﹣y），
∴y＝﹣5x+300，
∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，
∴﹣5x+300≤60，
∴x≥48，
∵x＜75，
∴48≤x＜75，
故答案为48≤x＜75．
【点评】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
考向4 不等式的实际运用
1. (2019 江苏省无锡市)某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工个零件为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知的值至少为　　
A．10 B．9 C．8 D．7
【解析】 设原计划 m 天完成，开工 n 天后有人外出，则
15am＝2160，am＝144，15an＋12(a＋2)(m－n)＜2160，
化简可得：an＋4am＋8m－8n＜720，
将am＝144 代入得
an＋8m－8n＜144，
an＋8m－8n＜am，
a(n－m)＜8(n－m)，
其中 n－m＜0，a＞8,
至少为 9 ，
因此本题选B