沪科版数学八年级下册第18章《勾股定理》单元检测（带详细答案）

沪科新版八年级下册第18章《勾股定理》单元检测
时间100分钟，满分120分
班级___________姓名___________学号___________成绩___________
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．，， D．32，42，52
2．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（　　）

A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2
3．△ABC三边长分别为a、b、c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝5，b＝12，c＝13
4．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，则BC边上的高AD为（　　）

A．8 B．9 C． D．10
5．已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A到原点的距离为（　　）
A．3 B． C． D．1
6．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　）

A． B．0.8 C．3﹣ D．
7．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（　　）

A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1
8．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）

A．9 B．6 C．4 D．3
9．已知△ABC的三边分别长为a、b、c，且满足（a﹣17）2+|b﹣15|+c2﹣16c+64＝0，则△ABC是（　　）
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
10．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）

A．1 B．2018 C．2019 D．2020
二．填空题（共7小题，满分28分）
11．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a：b＝3：4，则ab＝　 　．
12．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了　 　步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

13．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是　 　三角形（直角、锐角、钝角）．
14．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是　 　．

15．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC＝　 　．
16．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是　 　cm．

17．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　 　．

三．解答题（共8小题，满分62分）
18．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD的长．
（2）求AB的长．




19．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边．
（1）若b＝2，c＝3，求a的值；
（2）若a：c＝3：5，b＝16，求△ABC的面积．



20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求AB的长．



21．我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4米，CD＝3米，AD⊥DC，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．



22．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，
（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；
（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．



23．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？



24．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）




25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．










参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵（）2+（）2＝（）2，∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．【解答】解：∵BC＝＝5，
∵S△ABC＝4×4﹣×1×1﹣×3×4﹣×3×4＝，
∴△ABC中BC边上的高＝＝，
故选：B．
3．【解答】解：A．∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形；
B．∵52+42≠62，∴△ABC不是直角三角形；
C．∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形；
D．∵122+42＝132，∴△ABC是直角三角形；
故选：B．
4．【解答】解：∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，
∴62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
则由面积公式知，S△ABC＝AB?AC＝BC?AD，
∴AD＝．
故选：C．
5．【解答】解：点A的坐标为（2，﹣1）到原点O的距离：OA＝＝．
故选：C．
6．【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE＝＝，
又∵CE＝3，
∴CD＝3﹣，
故选：C．

7．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝，
∴AC＝，
∵点A表示的数是﹣1，
∴点C表示的数是﹣1．
故选：B．
8．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
9．【解答】解：∵（a﹣17）2+|b﹣15|+c2﹣16c+64＝0，
∴（a﹣17）2+|b﹣15|+（c﹣8）2＝0，
∴a﹣17＝0，b﹣15＝0，c﹣8＝0，
∴a＝17，b＝15，c＝8，
∵82+152＝172，
∴△ABC是以a为斜边的直角三角形；
故选：A．
10．【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．
故选：D．

二．填空题（共7小题，满分28分）
11．【解答】解：设a＝3x，b＝4x，
则c＝＝5x，
又c＝10，所以x＝2，
即a＝6，b＝8，
所以ab＝48．
故答案为：48．
12．【解答】解：由勾股定理，得
路长＝＝5，
少走（3+4﹣5）×2＝4步，
故答案为：4．
13．【解答】解：∵（a+b）2﹣c2＝2ab，
∴a2+2ab+b2﹣c2＝2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形．
故答案为直角．
14．【解答】解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，
∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，
∴CE2+AE2＝AC2，
∴∠E＝90°，
∴∠BAD＝90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积＝AD?AB＝15，
故答案为：15．

15．【解答】解：作CD⊥AB于D，
则∠ADC＝∠BDC＝90°，△ABC的面积＝AB?CD＝×5×CD＝10，
解得：CD＝4，
∴AD＝＝＝3；
分两种情况：
①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
BD＝AB﹣AD＝2，
∴BC＝＝＝2；
②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
BD＝AB+AD＝8，
∴BD＝＝＝4；
综上所述：BC的长为2或4；
故答案为：2或4．


16．【解答】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×＝6（cm），展开得：
∵BC＝8cm，AC＝6cm，
根据勾股定理得：AB＝＝10（cm）．
故答案为：10．

17．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝?AF?BC＝10．
故答案为：10．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，∵BC＝15、DB＝9，
∴CD＝＝＝12；
（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20、CD＝12，
∴AD＝＝＝16，
则AB＝AD+DB＝16+9＝25．
19．【解答】解：
（1）∵△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3，
∴a＝＝；
（2）∵a：c＝3：5，
∴设a＝3x，c＝5x，
∵b＝16，
∴9x2+162＝25x2，
解得：x＝4，
∴a＝12，
∴△ABC的面积＝×12×16＝96．

20．【解答】（1）证明：∵CD＝3，BC＝5，BD＝4，
∴CD2+BD2＝9+16＝25＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AD＝x，则AC＝x+3．
∵AB＝AC，
∴AB＝x+3．
∵∠BDC＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB2＝AD2+BD2，
即（x+3）2＝x2+42，
解得：x＝，
∴AB＝+3＝．
21．【解答】解：连接AC．
由勾股定理可知
AC＝＝＝5，
又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故所求面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝＝24（m2）．

22．【解答】解：（1）如图①所示：
（2）如图②③所示．

23．【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：＝24米；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为（24﹣4）＝20米，
根据勾股定理得：25＝，
解得A'B＝8米．
即下端滑行了8米．
24．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；
据勾股定理可得：
（m）
∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
25．【解答】解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，
此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得：t＝，
∴当t＝时，PA＝PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，
解得：t＝，
当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，
∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；
（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
根据题意得：AP＝2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，
∴t＝，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE＝BC＝，
∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，
②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，
解得：t＝5，
③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF＝BP，
∵∠ACB＝90°，
由射影定理得；BC2＝BF?AB，
即32＝×5，
解得：t＝，
∴当时，△BCP为等腰三角形．