圆专题复习
【2019年中考数学考试说明】
项目
知识要点
知识技能目标
过程性目标
了解
理解
掌握
应用
经历
体验
探索
圆
圆及其有关概念
√
弧、弦、圆心角的关系
√
点与圆的位置关系
√
√
垂径定理
√
√
直线与圆的位置关系
√
√
圆的性质
√
√
圆周角与圆心角的关系
√
直径所对的圆周角
√
圆内接四边形对角互补
√
三角形的内心与外心
√
切线的概念
√
√
切线与过切点半径之间的关系
√
√
切线的判定
√
切线长定理
√
√
过圆上一点画的切线
√
√
计算弧长及扇形的面积公式
√
【知识梳理及解题技巧】
知识点一：圆的有关概念
关键点拨与对应举例
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.
知识点二 ：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
与垂径定理有关：遇弦作弦心距；遇弧、弦的中点作半径,构造直角三角形.
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
弧AC=弧BC; ②弧AD=弧BD；
③AE=BE; ④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系
3.圆心角、弧、弦的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知识点四 ：圆周角定理及其推论
4.圆周角定理及其推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A=1/2∠O.
图a 图b 图c
( 2 )推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
与圆心角、圆周角有关：遇直径想直角
知识点五：点、直线与圆的位置关系
5.点、直线与圆的位置关系
点和圆的
位置关系
点到圆心的距离与半径的关系
图示
文字语言
符号语言
点在圆内
圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内
点在圆内
点在圆上
圆内各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上
点在圆上
点在圆外
圆内各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外
点在圆外
符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
定义
直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交
直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切
直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离
图形
与切线有关：①切线的性质：遇切点，作半径；②切线的判定：知切点时连半径，证垂直；不知切点时作距离，证半径．
知识点六、切线长定理
6、切线长定理
（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。
知识点七：多边形与圆以及弧长面积计算
7、多边形与圆以及弧长面积计算
（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。
（2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心（如图1-49-1所示）。
（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径（如图所示）。
（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角（如图所示）。
（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距（如图所示）。
在解决正多边形的有关计算时，通过作正边形的半径和连接圆心与边的中点的线段，把正边形分成个直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算。
（1）正边形的每个内角都等于
（2）正边形的每个中心角都等于
（3）弧长公式：
（4）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。
1、在弧长公式中，已知中的任意两个量，就可以求出第三个量。
2、已知扇形面积，弧长圆心角，半径中的任意两个量，可求出另外的两个量。在利用扇形面积公式时，要根据条件灵活选用合适的公式计算。
【典例精讲】
知识点一、圆的有关性质
【例1】、 下列说法中，结论错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
【例2】、（2019?山东省滨州市 ?3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【例3】、（2019?浙江衢州?3分）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（ ???）
A.?6dm???B.?5dm???C.?4dm????D.?3dm
【例4】、（2019?湖北十堰?3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（ ）
A．3 B．3 C．4 D．2
【例5】、（2019?浙江绍兴?4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．2π
【例6】、（2019湖北仙桃，10，3分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED?BC＝BO?BE．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【例7】、（2019?南京?2分）如图，PA.PB是⊙O的切线，A.B为切点，点C.D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝ ．
【例8】、（2019?江苏泰州?3分）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B.C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为 ．
【例9】、（2019?湖南株洲?3分）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝ 度．
【例10】、（2019?湖北十堰?3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
【过关训练】
1. 下列命题中，正确的是（ ）
① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③ 的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
⑤ 同弧所对的圆周角相等.
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
2. (2019甘肃省天水市)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A.C.D，与BC相交于点E，连接AC.AE．若∠D=80°，则∠EAC的度数为（ ）
A. B. C. D.
3.（2019重庆A卷，4，4）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为 （ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
4. （2019?山东省聊城市?3分）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（ ）
A．35° B．38° C．40° D．42°
5.（2019广西贺州，11，3分）如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是
A． B．2 C． D．
6.（4分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为 ．
7.已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 ．
8.（2019?湖北黄石3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C.D两点的⊙O分别交AC.BC于点E.F，AD＝，∠ADC＝60°，则劣弧的长为 ．
9.（2019?甘肃武威?4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 ．
10.(2019甘肃省天水市) （5分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A.B两点，点B坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为______．
知识点二、与圆有关的证明（教师可以根据情况选讲）
【例1】、（2019?湖北黄石?10分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C.E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．
【例2】、（2019?湖南株洲?11分）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC.BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P．
（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；
（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）
①求证：△DHC为等腰直角三角形；
②求CH的长度．
【例3】、（2013包头）如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB＝12，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF∶FD＝1∶2，FG＝1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．
【例4】、（2019成都）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E，
求证：
若CE=1，EB=3，求⊙O的半径；
在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长。
【过关训练】（教师根据情况让学生选作）
1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D，点E在线段CD上，AE的延长线交BC于F，⊙O过E、F、B三点，交AB于另一点H，点G在⊙O上，∠GFE＝∠AFC，连接EG、HG．
（1）求证：FG是⊙O的直径；
（2）求证：AH＝HG；
（3）若AC＝12，BG＝6，求⊙O的半径．
2、如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）延长AC到点P，使PF＝PB，求证PB是⊙O的切线；
（3）若AB＝10，cos∠ABC＝ ，求AD的长．
3、（2019?湖北孝感?10分）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD.BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
知识点一、圆的有关性质
例1、答案B
例2.答案B【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，
∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
例3、答案B【考点】垂径定理的应用
【解析】解：连结OD，OA，如图，设半径为r，
∵AB=8，CD⊥AB，
∴AD=4，点O、D.C三点共线，
∵CD=2，
∴OD=r-2，
在Rt△ADO中，
∵AO2=AD2+OD2 ， ，
即r2=42+（r-2）2 ，
解得：r=5，
故答案为：B.
例4、答案D
【解答】解：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CDA，
∴AC＝AD＝5，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝＝＝2．
故选：D．
例5。答案A【解答】解：连接OB，OC．
∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴的长为＝π，
故选：A．
例6.答案A
【解析】解：连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；故①正确，
∵△COD≌△COB，
∴CD＝CB，
∵OD＝OB，
∴CO垂直平分DB，
即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠ADE＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，
∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO＝∠EBC＝90°，
∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴，
∵OD＝OB，
∴ED?BC＝BO?BE，故④正确；
故选：A．
例7、答案219°
【解答】解：连接AB，
∵PA.PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，
故答案为：219°．
例8.答案为：y＝x．
【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，
则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，
∵PA⊥BC，
∴∠PAC＝90°，
∴∠PAC＝∠PBD，
∴△PAC∽△PBD，
∴，
∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，
∴＝，
∴y＝x，
故答案为：y＝x．
例9.答案20°【解答】解：连接OD，如图：
∵OC⊥AB，
∴∠COE＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCE＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，
∴∠BAD＝∠BOD＝20°，
故答案为：20．
例10.答案为：6π．
【解答】解：由图可得，
图中阴影部分的面积为：＝6π，
故答案为：6π．
【过关训练】
B
2.答案C【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，
∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=80°，
∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°，
故选：C．
3.【答案】C
【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥AB．∵∠C＝50°，∴∠B＝90°－∠C＝40°．∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB＝40°．∴∠AOD＝∠B＋∠ODB＝80°．故选C．
4.答案C
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，
∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，
故选：C．
5.答案A
【解析】解：与相切于点，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
；
故选：A．
6.【解答】解：连接OA.OB，OB交AF于G，如图，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝3，
设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，
在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，
∵＝，
∴OB⊥AF，AG＝FG，
在Rt△OAG中，AG2+OG2＝52，①
在Rt△ABG中，AG2+（5﹣OG）2＝62，②
解由①②组成的方程组得到AG＝，
∴AF＝2AG＝．
故答案为．
7.【解答】圆的半径与正三角形边长构成顶角120°的等腰三角形，有勾股定理或解直角三角形可得三角形边长为
8.π．【解答】解：连接DF，OD，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF＝90°，
∵∠ADC＝60°，∠A＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCF＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°，
∴∠COD＝120°，
在Rt△CAD中，CD＝2AD＝2，
在Rt△FCD中，CF＝＝＝4，
∴⊙O的半径＝2，
∴劣弧的长＝＝π，
故答案为π．
9.答案为4﹣π．
【解答】解：如图：
新的正方形的边长为1+1＝2，
∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π．
故答案为4﹣π．
10.答案2π-2
【解析】
解：连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，
∵OB=2，
∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2×=2，AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为2，
∴S阴影=S半圆-S△ABO=-×2×2=2π-2．
故答案为：2π-2．
知识点二、与圆有关的证明
例1、【解答】解：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵CE＝CB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF；
（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△CBD∽△DCA，
∴，
∴，
∴DA＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，
设BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：，
解得：a＝，
∴．
例2、【解答】证明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD
∴∠DAC＝∠ACH
∴AD∥CH，且AD＝CH
∴四边形ADCH是平行四边形
（2）①∵AB是直径
∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠CDB＝∠CAB＝45°
∵AD∥CH
∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB＝45°
∴∠CDB＝∠DCH＝45°
∴CH＝DH，且∠CHD＝90°
∴△DHC为等腰直角三角形；
②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，
∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P
∴△ADP∽△CBP
∴，且PB＝PD，
∴，AD＝CH，
∴
∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°
∴△CHD∽△ACB
∴
∴AB＝CD
∵AB+CD＝2（+1）
∴CD+CD＝2（+1）
∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形
∴CH＝
例3、解答：
（1）证明：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，
∴∠PAC=∠ADC，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，
∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，
∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，
∴△CAG∽△BAC，
∴=，
即AC2=AG?AB，
∵AG?AB=12，
∴AC2=12，
∴AC=2；
（3）解：设AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，
∴AD=AF+FD=3x，
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF?AD，
即3x2=12，
解得；x=2，
∴AF=2，AD=6，∴⊙O半径为3，
在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，
根据勾股定理得：AG===，
由（2）知，AG?AB=12，
∴AB==，
连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，
∴sin∠ADB=，
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACE=．
例4、（1）证明：连接OD.∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC
∴∠OBC=∠DBC，∴∠AOC=∠COD，∴
（2）解：连接AC，∵，∴∠CBA=∠CAD.∵∠BCA=∠ACE，∴△CBA∽△CAE
∴，∴，∴CA=2
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
.
（3）如图，设AD与CO相交于点N
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠ANO=∠ADB=90°.
∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO=90°，，∴∠ANO=∠PCO，∵PC∥AE，∴
∴，∴
过点O作OH⊥PQ于点H，则∠OPH=90°=∠ACB.∵PC∥CB，∴∠OPH=∠ABC，∴△OHP∽△ACB.∴，∴
，连接OQ，在Rt△OHQ中，由勾股定理得：
，∴
【过关练习】
1、（1）连接BE，可证△ACE≌△BCE
则∠CAE＝∠CBE
∵∠EGF＝∠CBE，∴∠CAE＝∠EGF
∵∠CAE＋∠AFC＝90°，∠GFE＝∠AFC
∴∠EGF＋∠GFE＝90°，∴∠FEG＝90°
∴FG是⊙O的直径
（2）连接EH
∵FG是⊙O的直径，∴∠FBG＝90°
∵∠ABC＝45°，∴∠GEH＝∠GBH＝45°
∴∠AEH＝45°，∴∠AEH＝∠GEH
又∠EAH＝∠EBH＝∠EGH，EH＝EH
∴△AEH≌△GEH
∴AH＝HG
（3）作GM⊥BD于M
∵BG＝6，∠GBM＝45°，∴BM＝GM＝3
∵AC＝12，∴AB＝12，AD＝BD＝6
设AH＝HG＝x，则BH＝12－x，MH＝12－x－3＝9－x
在Rt△MGH中，GM 2＋MH 2＝HG 2
∴( 3 )2＋( 9－x )2＝x 2，解得x＝5
∵∠BFG＝∠MHG，∠FBG＝∠HMG＝90°
∴△BFG∽△MHG，∴ ＝
∴ ＝ ，∴FG＝10
∴⊙O的半径为5
2、解：(1)证明：∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD.
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB.
∴∠CBD＝∠OBD.
∴BD平分∠ABC.
(2)证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，
∴∠ACB＝90°.∴∠CFB＋∠CBF＝90°.
∵PF＝PB，∴∠PBF＝∠CFB.
由(1)知∠OBD＝∠CBF，
∴∠PBF＋∠OBD＝90°.∴∠OBP＝90°.
∴PB是⊙O的切线．
(3)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，
∴cos∠ABC＝＝＝.
∴BC＝6，AC＝＝8.
∵OD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，∠AED＝∠OEC＝180°－∠ACB＝90°.
∴＝＝，＝＝.
∴AE＝4，OE＝3.
∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.
∴AD＝＝＝2.
3、【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴∠1＝∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BAD，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
圆的专题教学建议
-----数与代数与图形与空间的结合
初中数学的教学内容主要分为四个部分，它们是数与代数、 图形与空间、 概率与统计、综合与实践。其中数与代数、图形与空间是最主要的两大块，这两大块看似互不影响、是泾渭分明的河流，其实它们是在互相影响。圆这一章的学习就体现了数与代数、图形与空间的综合思想。在初中几何的教学中，《圆》章节为最大章节，而且是北师大版教材最后一章节，这一章内容所体现的各种数学思想是非常丰富的，它不仅在平面几何占重要的地位，还在整个中学数学中起承上启下的作用。毕达哥拉斯曾经说过：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆。”圆从笔画上说是最简单的图形，它是初中学习的唯一的一种曲线形知识,它具有与直线型完全不同的图形、性质，它的内容却相当丰富。
任何教学内容从总体上可以分为两个层次，一个是表层知识，另一个是深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等基本的知识，深层知识主要是数学思想与数学方法。表层知识是深层知识的基础，是课标中明确规定的，教材中明确给出的，具有操作性的知识。教师必须在传授表层知识的过程中不断渗透相关的深层知识，让学生掌握表层知识的同时，领悟到深层知识的，才能使学生的表层知识达到一个质的飞跃，从而使数学教学脱离题海的苦海，使其具有朝气和创造性。学生只有通过对教材的学习掌握了一定的的表层知识之后，才能更进一步学习和领悟相关的深层知识。《圆》章节相对其它章节来说，教授难度较高。为了提高教师的上课效率，将《圆》章节教好，本人进行了一点探索，现抛砖引玉，希望能让更多的教师参与进来，能将圆这一章的教学质量进一步提高。
一、表层知识
《圆》这章教材的表层知识主要分为四大节。第一大节是圆的概念与性质，给出圆的定义，点与圆的位置关系，研究圆很重要的性质：（垂径定理，圆周角与圆心角关系，确定圆的条件）。第二大节主要是直线与圆的位置关系，研究了直线与圆的三种位置关系、切线长定理，重点研究了直线与圆相切的位置关系以及切线的性质和判定。第三大节主要是多边形与圆，总结相关概念比如边心距、中心角等。第四大节是扇形面积和弧长公式，其内容复杂，综合性强，知识点多，题型多变。教材主要通过下方法来学习《圆》的表层知识：1)结合圆的轴对称性，发现垂径定理及其推论2)利用圆的旋转对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系3)通过观察、度量，发现圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系4)利用直观操作，发现点与圆、直线与圆的位置关系
二、深层知识
1、极限思想在圆中的应用
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。初中数学新课程标准降低了对 “圆”这部分内容的学习要求，特别是“圆的相关定理的证明与运用”，大多移至高中教材（几何证明选讲），所以极限思想也弱化，但还是有少量极限思想体现在初中圆的教学中。
例如用极限思想审视圆的轴对称性：在学生掌握轴对称图形的概念后，我们总喜欢问学生：正三角形有几条对称轴？正四边形有几条对称轴？正ｎ边形有几条对称轴？圆有几条对称轴？待学生把上述问题一一作答后，却很少有人把这些问题的内在关联沟通起来。试想：学生通过归纳的方法，从正三角形有三条对称轴、正四边形有四条对称轴…，得到正ｎ边形有ｎ条对称轴是不困难的．而从正ｎ边形到圆，我们可以认为圆是其内接正ｎ边形边数ｎ无限增大的结果，在此基础上，由正ｎ边形的ｎ条对称轴到圆的无数条对称轴就可以顺利得出．
又例如用极限思想审视圆的旋转不变性：在研究中心对称的概念时，我们往往向学生发问：正三角形绕中心O 至少旋转多少度可以与自身重合？正方形绕中心O至少旋转多少度可以与自身重合？正ｎ边形绕中心O至少旋转多少度可以与自 身重合？⊙O绕圆心O至少旋转多少度可以与自身重合？教学实践表明，学生从特殊到一般，行归纳出正n边形绕中心O至少旋转 才能与自身重合并不困 难，通过直觉观察，得到⊙O绕圆心O 旋转任意的角度都可以和自身重合，获取圆的旋转不变性，更非难事，但如果教学活动就此打住，学生的收获也就仅此而已.事实上，随着正ｎ边形边数ｎ 的逐渐增多，旋转角度 在逐渐变小，这个过程持续下去，旋转角度的极限状态就变成了0°，而圆“至少旋转0°才能与自身重合”的同义语即为“绕圆心O旋转到何位置都与自身重合”． ?????
2、数形结合思想在圆章节中的运用
圆章节问题是几何和代数特点有效体现的平台。著名数学家华罗庚指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”形象而深刻地阐述了数与形是数学中不可分割的两个部分。把空间图形和数量关系有机地结合起来解决问题，它主要包括“以形助数”和“借数解形”两方面。在通常情况下都是数形互动，这就是数形结合的思想方法。数形结合思想作为经常运用的数学思想之一，是数学符号与几何图形的有效结合和完美体现，“无数不入微，无形不直观”。通过对圆章节内容的学习，可以发现许多可以用代数方法来解的问题，让学生体会到若利用数形结合思想方法更简明直观，从而优化解题。
例如：(2019年成都)如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E，
(1)求证：
(2)若CE=1，EB=3，求⊙O的半径；
(3)在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长。
【考点】利用圆心角相等证明弧长相等、相似三角形得到比例式、勾股勾股定理等。
又如：（2019?广东深圳?9分）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（-3，0），C（-3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD.
（1）求证：直线OD是⊙E的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG：
①当tan∠ACF=时，求所有F点的坐标 （直接写出）；
②求的最大值.
【考点】圆、切线证明、三角形相似，三角函数，二次函数最值问题等
数形结合是一种数学思想、数学方法、数学意识、数学观念、数学能力、应用数形结合的思想方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化。常常会给问题解决带来新思路、新途径、获得意想不到的效果。
3、映射思想在圆的定理教学中的渗透
我们看圆的几个核心定理.
（1）垂径定理及其推论（过圆心、垂直于弦、平分弦、平分所对的优弧、平分所对的劣弧，五个条件知二推三）；
（2）同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论（知一推三）；
（3）圆的切线性质定理及其推论.
三个定理及其推论之间的关系有一个共同的几何现象相映成趣。在上述真命题中任选一个，把命题中的一个条件与命题中的一个结论替换一下位置所得出的新命题仍然成立. 这种几何现象蕴藏着一种什么样的数学思想呢？ 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论可以换一种说法：在同一圆中，圆心角确定，则弧确定（弧的度数及弧长都唯一确定），对应的弦长确定，对应的弦心距确定.
4、分类讨论思想在圆章节中的运用
数学问题作为数学知识内容要义的概括和体现，问题条件的不确定性是数学问题的重要特性之一。有些学生由于对问题条件的忽略，导致学生解答时未能对问题解答情况进行充分考虑，导致问题解答不完整。分类思想作为数学思想的重要内容之一，通过对不同情况下的问题条件进行分析、讨论，从而得出全面、科 学、完整的结论。分类思想在培养学生全局性、整体性思维素养具有重要作用。圆章节知识中，分类讨论思想就有着较为广泛的应用。例如：（求圆内两条平行弦之间的距离问题）已知⊙O的半径为10，弦AB＝16，弦CD＝12，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。
分析：两条弦不等于直径，那么这两条弦的位置可能在圆心的两侧，也可能在圆心的同侧。通过以上例题分析发现，若圆中的有关计算或证明时需用到分类讨论思想，则有一个很重要的前提：有题无图。这样在解题过程中就需要考虑所有可能的位置关系。
又例如：如点与圆的位置关系，就分为点在圆外、点在圆上、点在圆内等三种情况，学生在问题条件分析时，就要运用到分类讨论思想，进行解答在分类的过程中需要充分考虑圆中的三种位置关系：点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系。分类讨论思想的实质就是把问题“分而治之，各个击破”。分类讨论思想的一般步骤：
（1）确定同一分类标准；
（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；
（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；
（4）综合概括小结，归纳得出结论。
除了以上数学思想、《圆》还应用到了函数思想、方程思想等。
三、教学建议
1、重视数学概念的教学
中学数学教学大纲指出: “ 正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提” 。 这里所说的“理解”是“概念思维 能力的表现”。 什么是“概念”?“ 概念是反映事物的本质属性”。“ 概念 思维”要求学生正确认识“ 概念” 所概括、规定被研究对象的本质属性。 数学概念的教学与对学生概念思维能力的培养有 密切的联系。 如果学生不具备一定的概念思维能力 , 就不能正确理解和 应用有关的数学概念。 怎样进行“ 概念的教 学”呢?
首先应从学生的“感性认识”和旧有的知识” 出发 , 逐步引入新的概念。要从概念的“正 面”、“反面”、“侧面”启发学生自己去发 现概念的“本质属性” ,加深学生对概念的正确理解。例如，圆的定义是：定点的距离等于定长的点的集合。这是用完美的数学语言来表达的概念，在课堂中，教师可以充分使用当前发展的多媒体网络技术，借助网络数学软件进行圆的定义教学，用数学软件按照圆的基本定义进行尝试性的教学，让同学们能够更加容易地理解圆的定义。在许多同学的平面思维和固化思维中，圆只是一种图形，殊不知，圆其实是一种点的集合，这些点的基本性质就是定点的距离等于定长。教师采取图文并茂、数形结合的思想方法教学，能够让同学们更加直观、生动地领悟基本数学知识概念，在不断的知识学习和吸收中，领悟到数学语言的重要意义和关键内涵，并学会用数学语言来表达。不断总结，加强巩固，这是学习数学学科的关键。数学概念的学习，是解决数学基本问题的基础和前提，如果同学们不能够正确把握基本的数学概念，那么将很难在数学解题中找到灵感和突破点。
其次关于圆类概念的总结教学中，在教师的辅助下，引导同学们要善于由一个数学概念引出一系列的数学概念，找到数学概念之间的内在联系。例如，以圆弧为例，分析总结的方法和策略。首先，弧是圆上两点之间的距离，称之为弧长。其次，直径可以把圆分成两条等弧，如果一条弧大于半圆，那么称之为优弧，若小于半圆，则称之为劣弧。关于弧的相关概念就可以这样延伸出来。从一个简单的数学概念就能够延伸出许多的数学概念来，这是一种具有重要作用的总结方法。这样一来，所有的数学概念已经串成了一条线，更加容易记忆。总而言之，在数学概念的总结和巩固中，为了深化同学们的理解，让同学们具有举一反三的能力，需要同学们注重数学概念之间的有机联系，这种总结方法具有一定的重要意义，能够加强记忆，便于吸收。
2、视图表或思维导图的教学:
数学的概念不是孤立存在的 , 数学概念是有内在的逻辑联系的,数学的定理和法则都是如此。如果能用图表反映其内在联系。 将能起到“ 一线穿珠”, 一目了然的效果。例如：在同圆或等圆中
圆心角
弧（劣弧）
弦
弦心距
等
等
等
等
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
定义
直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交
直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切
直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离
图形
在课堂的板书上 , 也尽可能采用类似表格形式。 如“垂径定理”是本章的一个重要定理 , 它的逆定理也很重要 。 我把这个定理解剖如下形式:
( 1) CD是⊙O的直径（或经过圆心O ）
(2) CD⊥AB
若一条直线具有上面所说的五个性质中的任何两个性质时 , 其余三条性质也必然 成立。 如果问学 ( 想一想 ) “ 能推出几个逆定理” , 学生肯定不能马上回答出来 。 我又向学生提出一个有趣的问题一一有一位同学有五个不同颜色的小球 , 每次取两个不同颜 色的球 , 有几种不同的取法? 这时学生都活动起来了 , 他们用手指头试验 , 说出正确答案 ( 十种不同取法 ) 。原定理有一个, 它们的逆定理共有九个 , 经常用的只有课本上说的三个。我们也可以概括为“知二推三。” 像这样学习 , 学生感到 : 记得牢 , 用得活。
中数学关于圆的知识点，除了圆的定义和圆的位置外，也就是圆的计算和相关定理了，虽然说知识点不是很多，但是细分出来的话，还是很多内容，所以我们在学习初中数学的知识点的时候，还是要利用思维导图来辅导学习，这样才更有效。思维导图可以让学生自己来完成，这样效果会更好！
3、适当对比教学，全面考虑，防止漏解，帮助学生避开常见的“数学陷阱”
关于圆的出题形式有很多：比如点与圆、线与圆的位置关系，尤其是弦所对应的弧有两条，在遇到题目的时候要看清题目所给的题设条件，要充分考虑到每一种可能性，防止漏解情况的发生。就这一点来说，出题的方式太多了，圆和其他图案综合出题的情况也很多。因此，教师在课堂上进行教学选取范例的时候，一定要选取典型的例题，帮助学生理解解题思路。要引导学生根据圆的性质考虑全面，把目光放长远点，每遇到一个例题，全面考虑，防止漏解。们在进行观察和思考的过程中总是习惯把属性相同或相似的两类事物进行比较，并常常将在处理某些事物上获得的成功经验用到处理与这些事物相同或相似的另一些事物上，这种思考与处理问题的思维方式称类比法。避开那些常见的“数学陷阱”，从而提升他们今后做题的准确率。还是以“与圆有关的位置关系”为例，教师可以采用类比教学的方式进行授课，以此来帮助学生避开这些常见的“数学陷阱”。又如在探索直线与圆、圆与圆（可补充）的位置关系教师采用点与圆的位置关系进行类比教学，这样学生接受起来很容易，知识方面也不会遗漏。有时候确实有助于帮助学生避开常见的“数学陷阱”。
4、注重模型教学
代数教学中很多题型有一定的规律和方法，几何教学也始终遵循特定规律和方法，而模型教学的效果最为明显。针对模型教学，看到相仿或是形似的几何题目，我们应当引导学生准确地套用已经掌握的题型。《圆》中考大题也就是综合题型很多时候是圆与三角形、圆与四边形等综合，成都中考主要是圆与三角形、考点中肯定遇到相似三角形的判定与性质，如果我们在教学中讲模型教学应用在实践教学中，不仅能够保留课堂的原有特点，而且学生还可以积极地构建几何模型，以保证学生从多角度感受几何教学的魅力，实现教学质量的提升。所以比如我们教师在圆的综合大题教学中用好相似三角形中的基本模型，圆的综合题教学也就迎刃而解了。以下圆中的几种三角形模型。
① 同弧或等弧所对圆周角相等。
② 圆内接四边形一个外角等于它的内对角
③ 直径垂直于弦,由垂径定理找等角。
模型方法教学在圆的教学中有一定必要性，几何模型的应用能进一步推进《圆》章节的教学，再难的圆的综合题目只要认真观察和对比，我们总能让学生找到基本的模型。
5、课堂教学中的“整合”尝试
?我们的教学是以教材为基础，不脱离教材，但教材的使用渗透着我们教师的智慧，如果照本宣科地利用教材进行教学就有一定局限性，但我们可以根据自己学生的情况进行教材整合，从而优化我们的教学策略，培养学生良好的学习策略，进一步提升我们的教学效果。比如我们在学习点与圆的位置关系时，说的是一点与圆的位置关系，为引出后面确定圆的条件的教学，我们可以这样整合：从点圆的位置涉及一点与圆、两点与圆、三点与圆、四点与圆。同一平面上过一点可以作几点圆？同一平面上过两个点可以作几个圆？同一平面上过三个点可以作几个圆？从而引出外心的性质与应用。同一平面上四个点与圆引出四点共圆的性质与应用。这样我们轻松了补充了确定圆的条件的知识，有利于系统地掌握知识。再如：在学习了直线与圆的关系时，我们学习的是一条直线与圆的位置关系，我们可以整合思考：两条直线与圆：（1）过圆外一点作圆的两条切线，可以得到切线长定理。（2）过圆外一点作圆的一条切线和一条割线可以得到切割线定理。（3）过圆外一点作圆两条割线可以得到割线定理。（后两条教学上可以作为补充内容）这样教学既节约了教学时间又提高教学效率。学生也觉得浅显易懂。
四、小结
《圆》一章因内容较多，教学时间较大，教师要根据学生在接受、理解、运用知识反馈的信息，及时进行调控。只有及时调控，才能避免学生对知识的理解、运用的偏差；才能避免学生因听不懂课、做不对题而厌学；才能避免错误的有效惯性对今后学习造成更大的障碍。不可能每个人都适应你的教学方式，所以要不断的进行探索感知，多了解学生，走进学生，根据学生的情况对症下药，找寻最适合他们的学习方法。让学生们在学习过程中充分体会数与代数、图形与空间的综合思想，利用有效的数学方法解决实际问题，在解决问题的过程中体验成功的喜悦，培养学科素养。
附上《圆》中常用的做辅助线口诀：直径现，构造直角应用性质挺方便；有弦莫忘垂线段、垂径定理、勾股定理两把双刃剑；有“点”连半径，无“点”做垂线，证明“切线”技巧记心间。
