2018-2019学年安徽省马鞍山市九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年安徽省马鞍山市九年级（上）期末数学试卷（含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 118.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-24 10:38:27 | ||
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文档简介
2018-2019学年安徽省马鞍山市九年级（上）期末数学试卷
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一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分）
1、(3分) 2cos60°的值等于（ ）
A.1
B.2
C.3
D.2
2、(3分) 若△ABC与△DEF相似，且相似比为3，△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（ ）
A.54
B.6
C.3
D.2
3、(3分) 抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标为（ ）
A.（1，1）
B.（-1，1）
C.（1，3）
D.（-1，3）
4、(3分) 若α为锐角，且cosα=0.4，则（ ）
A.0°＜α＜30°
B.30°＜α＜45°
C.45°＜α＜60°
D.60°＜α＜90°
5、(3分) 若点A（x1，-6），B（x2，-2），C（x3，3）在反比例函数y=-1x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A.x1＜x2＜x3
B.x3＜x1＜x2
C.x2＜x1＜x3
D.x3＜x2＜x1
6、(3分) 点P是长度为1的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（ ）
A.5?12
B.3?5
C.3?52
D.5?2
7、(3分) △ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A.sinα=cosα
B.tanC=2
C.sinβ=cosβ
D.tanα=1
8、(3分) 已知二次函数y=4x2+4x-1，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当x取x1+x22时的函数值为（ ）
A.-1
B.-2
C.2
D.1
9、(3分) 如图，已知点A是反比例函数y=1x（x＞0）的图象上的一个动点，连接OA，OB⊥OA，且OB=2OA，那么经过点B的反比例函数图象的表达式为（ ）
A.y=-2x
B.y=2x
C.y=-4x
D.y=4x
10、(3分) 如图，等腰△ABC纸板中，AB=AC=5，BC=2，P为AB上一点，过P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，恰有3种不同的剪法，那么BP长可以为（ ）
A.3.6
B.2.6
C.1.6
D.0.6
二、填空题（本大题共 8 小题，共 24 分）
11、(3分) 已知α为锐角，tanα=2sin30°，那么α=______°． 12、(3分) 已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，且经过点（-1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1______y2．（填“＞”，“＜”或“=”） 13、(3分) 如图，△ABC的面积为84，平行于BC的矩形将AB截成三等分，则图中阴影部分的面积为______． 14、(3分) 如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=kx（x＞0）的图象上．若AB=1，则k的值为______． 15、(3分) 已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC=______． 16、(3分) 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，则sin∠ABC的值为______． 17、(3分) 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c均为常数），当x=1时，函数有最小值．甲乙丙三位同学继续研究，得出以下结论：甲：该函数的最小值为3；乙：-1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙：当x=2时，y=4．若这三个结论中只有一个是错误的，那么得出错误结论的同学是______ 18、(3分) 矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 46 分）
19、(6分) 在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，4）三点．求这个二次函数的解析式．
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20、(8分) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，8），B（4，2），C（8，6）． （1）在第一象限内，画出以原点O为位似中心，与△ABC的相似比为12的△A1B1C1，并写出A1，C1点的坐标； （2）如果△ABC内部一点P的坐标为（x，y），写出点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标．
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21、(8分) 某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于某山顶的一座雕像的高度．已知山的坡度i=1：3，山高BC=300米，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进540米到达E处，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．
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22、(8分) 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系符合一次函数y=-x+140． （1）直接写出销售单价x的取值范围． （2）若销售该服装获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价为多少元时，可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若获得利润不低于1200元，试确定销售单价x的范围．
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23、(8分) 已知：如图，在△ABC中，D在边AB上． （1）若∠ACD=∠ABC，求证：AC2=AD?AB； （2）若E为CD中点，∠ACD=∠ABE，AB=3，AC=2，求BD的长．
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24、(8分) 如图，抛物线y=-x2+3x+4与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与y轴相交于C点． （1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
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?2018-2019学年安徽省马鞍山市九年级（上）期末数学试卷
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【 第 1 题 】
【 答 案 】
A
【 解析 】
解：2cos60°=2×12=1． 故选：A． 根据60°角的余弦值等于12进行计算即可得解． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
【 第 2 题 】
【 答 案 】
B
【 解析 】
解：∵△ABC与△DEF相似， ∴△ABC的周长：△DEF的周长=3， ∴△DEF的周长=18×13=6． 故选：B． 利用相似三角形的性质得到△ABC的周长：△DEF的周长=3，然后把△ABC的周长=18代入可计算出△DEF的周长． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【 第 3 题 】
【 答 案 】
A
【 解析 】
解：∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴顶点坐标为（1，1）． 故选：A． 把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
【 第 4 题 】
【 答 案 】
D
【 解析 】
解：∵cos60°=12=0.5，cos90°=0，cosα=0.4， 而0.5＞0.4＞0， ∴60°＜α＜90°． 故选：D． 先求出cos30°，cos45°及cos60°的近似值，再由余弦函数值随角增大而减小即可得出结论． 本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角度的增大而减小是解答此题的关键．
【 第 5 题 】
【 答 案 】
B
【 解析 】
解：∵点A（x1，-6），B（x2，-2），C（x3，3）在反比例函数y=-1x的图象上， ∴x1=16，x2=12，x3=-13 ∴x3＜x1＜x2， 故选：B． 将点A，点B，点C坐标代入解析式可求x1，x2，x3的值，即可得x1，x2，x3的大小关系． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上的点满足图象函数解析式是本题的关键．
【 第 6 题 】
【 答 案 】
C
【 解析 】
解：较短线段的长度=1-5?12×1 =3?52， 故选：C． 根据黄金比为5?12计算即可． 本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金比为5?12是解题的关键．
【 第 7 题 】
【 答 案 】
C
【 解析 】
解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=22，AD=2，CD=1，AC=5， ∴sinα=cosα=22，故A正确， tanC=ADCD=2，故B正确， tanα=1，故D正确， ∵sinβ=CDAC=55，cosβ=255， ∴sinβ≠cosβ，故C错误． 故选：C． 观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=22，AD=2，CD=1，AC=5，利用锐角三角函数一一计算即可判断． 本题考查锐角三角函数的应用．等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【 第 8 题 】
【 答 案 】
B
【 解析 】
解：∵抛物线的对称轴为直线x=-42×4=-12， 而自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等， ∴x2-（-12）=-12-x1， ∴x1+x2=-1， ∴x=x1+x22=-12， 当x=-12时，y=4×（-12）2+4×（-12）-1=-2． 故选：B． 先求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性得到x2-（-12）=-12-x1，所以x1+x22=-12，然后计算当x=-12时的函数值即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
【 第 9 题 】
【 答 案 】
C
【 解析 】
解：过A作AC⊥y轴，BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°， ∵∠AOC+∠OAC=90°，∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠OAC=∠BOD， ∴△AOC∽△OBD， ∵OB=2OA， ∴△AOC与△OBD相似比为1：2， ∴S△AOC：S△OBD=1：4， ∵点A在反比例y=1x上， ∴△AOC面积为12， ∴△OBD面积为2，即k=4， 则点B所在的反比例解析式为y=-4x， 故选：C． 过A作AC⊥y轴，BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，利用三角关系得到三角形相似，由相似得比例求出相似比，确定出面积比，求出三角形AOC面积，进而确定出三角形OBD面积，利用反比例函数k的几何意义确定出所求k的值，即可确定出解析式． 此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【 第 10 题 】
【 答 案 】
D
【 解析 】
解：如图1中，过点P作PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F，则△APE∽△ABC，△BPF∽△BAC，得到两种方法． 如图2中，作∠BP′G′=∠ACB时，△BP′G′∽△BCA，当C与G′重合时，则有BC2=BP?BA， ∴4=5PB， ∴PB=45=0.8， ∴当0＜PB≤0.8时，恰有3种不同的剪法， 故选：D． 如图1中，过点P作PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F，则△APE∽△ABC，△BPF∽△BAC，得到两种方法．如图2中，作∠BP′G′=∠ACB时，△BP′G′∽△BCA，当C与G′重合时，则有BC2=BP?BA，求出PB的值，即可判断满足条件的PB的值的范围． 本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【 第 11 题 】
【 答 案 】
45
【 解析 】
解：tanα=2sin30°=2×12=1， ∴α=45°， 故答案为：45． 根据30°的正弦值为12和45°的正切值是1解答． 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【 第 12 题 】
【 答 案 】
＞
【 解析 】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1， ∴点（-1，y1）离对称轴的距离1-（-1）=2, 点（2，y2）离对称轴的距离2-1=1, ∴点（-1，y1）离对称轴的距离比点（2，y2）离对称轴的距离远 ∴y1＞y2． 故答案为＞． 由于二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向上，对称轴为直线x=1，然后根据点A（-1，y1）和点B（2，y2）离对称轴的远近可判断y1与y2的大小关系． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．
【 第 13 题 】
【 答 案 】
28
【 解析 】
解：∵EG∥BC， ∴△EGF∽△ABC， ∴S△AEGS△ABC=（AEAB）2，即S△AEG84=49， 解得，S△AEG=3369， 同理，S△ADF=19×84=849， ∴图中阴影部分的面积=3369-849=28， 故答案为：28． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题关键是掌握：相似三角形的面积比等于相似比平方．
【 第 14 题 】
【 答 案 】
1
【 解析 】
解：∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AC=2AB=2，∠BAC=45°， ∵CA⊥x轴， ∴∠OAB=45°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴OA=22AB=22， ∴C（22，2）， 把C（22，2）代入y=kx得k=22×2=1． 故答案为1． 根据等腰直角三角形的性质得到AC=2AB=2，∠BAC=45°，再判断△OAB为等腰直角三角形得到OA=22，从而得到C（22，2），然后把C点坐标代入y=kx中可求出k的值． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性质．
【 第 15 题 】
【 答 案 】
8：5
【 解析 】
解：过点D作DF∥BE交AC于F， ∵DF∥BE， ∴△AME∽△ADF， ∴AM：MD=AE：EF=4：1=8：2 ∵DF∥BE， ∴△CDF∽△CBE， ∴BD：DC=EF：FC=2：3 ∴AE：EC=AE：（EF+FC）=8：（2+3） ∴AE：EC=8：5． 过点D作DF∥BE，再根据平行线分线段成比例，而为公共线段，作为中间联系，整理即可得出结论． 本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，作出辅助线，利用中间量EF即可得出结论．
【 第 16 题 】
【 答 案 】
22
【 解析 】
解：连接AC，则AC=BC，∠1=∠3， ∵∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠2=90°，即∠ACB=90°， ∴∠ABC=∠BAC=45°， ∴sin∠ABC=22， 故答案为22． 连接AC，证得△ABC是等腰直角三角形，则∠ABC=45°，根据正弦函数的定义，可得答案． 本题考查解直角三角形的运用，构造直角三角形是本题的关键．
【 第 17 题 】
【 答 案 】
乙
【 解析 】
解：∵当x=1时，函数有最小值， ∴抛物线解析式为y=（x-1）2+m， 若甲的结论正确，则抛物线解析式为y=（x-1）2+3， 当x=-1时，y=（-1-1）2+3=7，此时乙的结论错误； 当x=2时，y=（2-1）2+3=4，此时丙的结论正确； 若乙的结论正确，把（-1，0）代入y=（x-1）2+m得（-1-1）2+m=0，解得m=-4，此时甲的结论错误； 当x=2时，y=（2-1）2-4=-3，此时丙的结论错误． 故答案为乙． 设抛物线解析式为y=（x-1）2+m，先假若甲的结论正确，则利用顶点式表示出抛物线解析式为y=（x-1）2+3，接着利用此解析式对乙、丙的结论进行判断；然后假设乙的结论正确，则抛物线解析式为y=（x-1）2-4，接着利用此解析式对甲、丙的结论进行判断． 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【 第 18 题 】
【 答 案 】
65或3
【 解析 】
解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD=90°， ∴BD=AB2+AD2=10， 当PD=DA=8时，BP=BD-PD=2， ∵△PBE∽△DBC， ∴BPBD=PECD，即210=PE6， 解得，PE=65， 当P′D=P′A时，点P′为BD的中点， ∴P′E′=12CD=3， 故答案为：65或3． 根据勾股定理求出BD，分PD=DA、P′D=P′A两种情况，根据相似三角形的性质计算． 本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理和矩形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
【 第 19 题 】
【 答 案 】
解：设y=a（x+1）（x-4）， 将C?（0，-4）代入解析式得a×1×（-4）=4，解得a=-1， 所以此函数的解析式为y=-（x+1）（x-4）， 即y=-x2+3x+4．
【 解析 】
利用抛物线与x轴的两交点坐标，可设交点式y=a（x+1）（x-4），然后把C点坐标代入求出a即可． 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．
【 第 20 题 】
【 答 案 】
解：（1）如图：A1?（2，4），C1?（4，3）； （2）∵△ABC内部一点P的坐标为（x，y）， ∴点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标为：（12x，12y）．
【 解析 】
（1）直接利用已知位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质，即可得出答案． 此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
【 第 21 题 】
【 答 案 】
解：由题意知，tanD=i=33， 即∠D=30°，∠DBC=60° 过E作EF⊥AC于F，得∠BEF=∠D=30°，而∠AEF=60° ∴∠AEB=∠A=30°， ∴AB=BE 由于BD=2BC=600， 而DE=540，故EB=60 ∴AB=60 答：雕像AB的高度为60米．
【 解析 】
作EF⊥AC于F，根据直角三角形的性质计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【 第 22 题 】
【 答 案 】
解：（1）60≤x≤90；????????…（3分） （2）W=（x-60）（-x+140），…（4分） =-x2+200x-8400， =-（x-100）2+1600，…（5分） 抛物线的开口向下，∴当x＜100时，W随x的增大而增大， 而60≤x≤90，∴当x=90时，W=-（90-100）2+1600=1500． ∴当销售单价定为90元时，可获得最大利润，最大利润是1500元． （3）由W=1200，得1200=-x2+200x-8400， 整理得，x2-200x+9600=0， 解得，x1=80，x2=120，…（11分） 可知要使获得利润不低于1200元，销售单价应在80元到120元之间， 而60≤x≤90， 所以，销售单价x的范围是80≤x≤90．
【 解析 】
（1）由题意可知销售单价x的取值范围为：大于等于成本，小于等于成本×（1+50%）． （2）根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式， （3）令函数关系式W=1200，解得x，然后进行讨论． 本题主要考查二次函数的应用，根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，求最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
【 第 23 题 】
【 答 案 】
解：（1）在△ABC和△ACD中， ∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， 故ACAD=ABAC，即AC2=AD?AB， （2）过C作CF∥EB交AB的延长线于F，由于E为CD中点，故BF=BD，∠F=∠ABE，而∠ACD=∠ABE， ∴∠ACD=∠F， ∴在△AFC和△ACD中， ∠ACD=∠F，∠A=∠A， ∴△AFC∽△ACD， ∴ACAD=AFAC， ∴AC2=AD?AF， 又∵AB=3，AC=2， ∴22=（3-BD）（3+BD）， ∴BD=5．
【 解析 】
（1）利用两组角分别相等，可证相似，然后对应边成比例，变形即可求解； （2）过C作CF∥EB交AB的延长线于F，转化成（1）中的相似关系，列比例式，代入AB和AC的值即可求解． 本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等难度的题目．
【 第 24 题 】
【 答 案 】
解：（1）如图，将点D（m，m+1）代入y=-x2+3x+4中，得 m+1=-m2+3m+4， 解得m=-1或m=3， ∵点D在第一象限，故m=3， ∴D（3，4） 令x=0， ∴y=4， ∴C（0，3）， ∴OC=4，CD=3， 令y=0， ∴-x2+3x+4=0， ∴x=-1或x=4 ∴B（4，0），A（-1，0）， ∴CD∥AB，OB=4， ∴OC=OB， ∴∠OCB=45°， ∴点D关于直线BC的对称点E在y轴上． ∴CE=CD=3， ∴OE=1 ∴点D关于直线BC对称的点E的坐标为（0，1）； （2）如图2，作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G， 由（1）知OB=OC=4，∠OBC=45°． ∵∠DBP=45°， ∴∠CBD=∠PBF， ∵∠BFP=∠BGD， ∴△BFP∽△BGD， ∴PFBF=DGBG， ∵CD=3，∠DCB=45°， ∴CG=DG=322 ∵B（4，0），C（0，4）， ∴BC=42， 故BG=BC-CG=42-322=522 ∴PFBF=DGBG=35， 设PF=3t，则BF=5t， ∴OF=5t-4． ∴P（-5t+4，3t） ∵P点在抛物线上， ∴3t=-（-5t+4）2+3（-5t+4）+4 解得t=2225或t=0（舍去）． ∴点P的坐标为（-25，6625）．
【 解析 】
（1）先判断出CD∥AB，求出CD=3，进而判断出点E在y轴上，进而求出CE=3，即可得出结论； （2）先判断出∠CBD=∠PBF，进而判断出△BFP∽△BGD，再求出CG，DG，BG，进而得出DGBG=35，进而设出PF得出BF，OF，得出点P的坐标，代入抛物线解析式中，即可得出结论． 此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
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???姓名：???????????得分：???????日期：?????????
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分）
1、(3分) 2cos60°的值等于（ ）
A.1
B.2
C.3
D.2
2、(3分) 若△ABC与△DEF相似，且相似比为3，△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（ ）
A.54
B.6
C.3
D.2
3、(3分) 抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标为（ ）
A.（1，1）
B.（-1，1）
C.（1，3）
D.（-1，3）
4、(3分) 若α为锐角，且cosα=0.4，则（ ）
A.0°＜α＜30°
B.30°＜α＜45°
C.45°＜α＜60°
D.60°＜α＜90°
5、(3分) 若点A（x1，-6），B（x2，-2），C（x3，3）在反比例函数y=-1x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A.x1＜x2＜x3
B.x3＜x1＜x2
C.x2＜x1＜x3
D.x3＜x2＜x1
6、(3分) 点P是长度为1的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（ ）
A.5?12
B.3?5
C.3?52
D.5?2
7、(3分) △ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A.sinα=cosα
B.tanC=2
C.sinβ=cosβ
D.tanα=1
8、(3分) 已知二次函数y=4x2+4x-1，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当x取x1+x22时的函数值为（ ）
A.-1
B.-2
C.2
D.1
9、(3分) 如图，已知点A是反比例函数y=1x（x＞0）的图象上的一个动点，连接OA，OB⊥OA，且OB=2OA，那么经过点B的反比例函数图象的表达式为（ ）
A.y=-2x
B.y=2x
C.y=-4x
D.y=4x
10、(3分) 如图，等腰△ABC纸板中，AB=AC=5，BC=2，P为AB上一点，过P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，恰有3种不同的剪法，那么BP长可以为（ ）
A.3.6
B.2.6
C.1.6
D.0.6
二、填空题（本大题共 8 小题，共 24 分）
11、(3分) 已知α为锐角，tanα=2sin30°，那么α=______°． 12、(3分) 已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，且经过点（-1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1______y2．（填“＞”，“＜”或“=”） 13、(3分) 如图，△ABC的面积为84，平行于BC的矩形将AB截成三等分，则图中阴影部分的面积为______． 14、(3分) 如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=kx（x＞0）的图象上．若AB=1，则k的值为______． 15、(3分) 已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC=______． 16、(3分) 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，则sin∠ABC的值为______． 17、(3分) 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c均为常数），当x=1时，函数有最小值．甲乙丙三位同学继续研究，得出以下结论：甲：该函数的最小值为3；乙：-1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙：当x=2时，y=4．若这三个结论中只有一个是错误的，那么得出错误结论的同学是______ 18、(3分) 矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 46 分）
19、(6分) 在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，4）三点．求这个二次函数的解析式．
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20、(8分) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，8），B（4，2），C（8，6）． （1）在第一象限内，画出以原点O为位似中心，与△ABC的相似比为12的△A1B1C1，并写出A1，C1点的坐标； （2）如果△ABC内部一点P的坐标为（x，y），写出点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标．
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21、(8分) 某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于某山顶的一座雕像的高度．已知山的坡度i=1：3，山高BC=300米，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进540米到达E处，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．
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22、(8分) 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系符合一次函数y=-x+140． （1）直接写出销售单价x的取值范围． （2）若销售该服装获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价为多少元时，可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若获得利润不低于1200元，试确定销售单价x的范围．
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23、(8分) 已知：如图，在△ABC中，D在边AB上． （1）若∠ACD=∠ABC，求证：AC2=AD?AB； （2）若E为CD中点，∠ACD=∠ABE，AB=3，AC=2，求BD的长．
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24、(8分) 如图，抛物线y=-x2+3x+4与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与y轴相交于C点． （1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
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?2018-2019学年安徽省马鞍山市九年级（上）期末数学试卷
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【 第 1 题 】
【 答 案 】
A
【 解析 】
解：2cos60°=2×12=1． 故选：A． 根据60°角的余弦值等于12进行计算即可得解． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
【 第 2 题 】
【 答 案 】
B
【 解析 】
解：∵△ABC与△DEF相似， ∴△ABC的周长：△DEF的周长=3， ∴△DEF的周长=18×13=6． 故选：B． 利用相似三角形的性质得到△ABC的周长：△DEF的周长=3，然后把△ABC的周长=18代入可计算出△DEF的周长． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【 第 3 题 】
【 答 案 】
A
【 解析 】
解：∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴顶点坐标为（1，1）． 故选：A． 把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
【 第 4 题 】
【 答 案 】
D
【 解析 】
解：∵cos60°=12=0.5，cos90°=0，cosα=0.4， 而0.5＞0.4＞0， ∴60°＜α＜90°． 故选：D． 先求出cos30°，cos45°及cos60°的近似值，再由余弦函数值随角增大而减小即可得出结论． 本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角度的增大而减小是解答此题的关键．
【 第 5 题 】
【 答 案 】
B
【 解析 】
解：∵点A（x1，-6），B（x2，-2），C（x3，3）在反比例函数y=-1x的图象上， ∴x1=16，x2=12，x3=-13 ∴x3＜x1＜x2， 故选：B． 将点A，点B，点C坐标代入解析式可求x1，x2，x3的值，即可得x1，x2，x3的大小关系． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上的点满足图象函数解析式是本题的关键．
【 第 6 题 】
【 答 案 】
C
【 解析 】
解：较短线段的长度=1-5?12×1 =3?52， 故选：C． 根据黄金比为5?12计算即可． 本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金比为5?12是解题的关键．
【 第 7 题 】
【 答 案 】
C
【 解析 】
解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=22，AD=2，CD=1，AC=5， ∴sinα=cosα=22，故A正确， tanC=ADCD=2，故B正确， tanα=1，故D正确， ∵sinβ=CDAC=55，cosβ=255， ∴sinβ≠cosβ，故C错误． 故选：C． 观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=22，AD=2，CD=1，AC=5，利用锐角三角函数一一计算即可判断． 本题考查锐角三角函数的应用．等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【 第 8 题 】
【 答 案 】
B
【 解析 】
解：∵抛物线的对称轴为直线x=-42×4=-12， 而自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等， ∴x2-（-12）=-12-x1， ∴x1+x2=-1， ∴x=x1+x22=-12， 当x=-12时，y=4×（-12）2+4×（-12）-1=-2． 故选：B． 先求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性得到x2-（-12）=-12-x1，所以x1+x22=-12，然后计算当x=-12时的函数值即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
【 第 9 题 】
【 答 案 】
C
【 解析 】
解：过A作AC⊥y轴，BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°， ∵∠AOC+∠OAC=90°，∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠OAC=∠BOD， ∴△AOC∽△OBD， ∵OB=2OA， ∴△AOC与△OBD相似比为1：2， ∴S△AOC：S△OBD=1：4， ∵点A在反比例y=1x上， ∴△AOC面积为12， ∴△OBD面积为2，即k=4， 则点B所在的反比例解析式为y=-4x， 故选：C． 过A作AC⊥y轴，BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，利用三角关系得到三角形相似，由相似得比例求出相似比，确定出面积比，求出三角形AOC面积，进而确定出三角形OBD面积，利用反比例函数k的几何意义确定出所求k的值，即可确定出解析式． 此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【 第 10 题 】
【 答 案 】
D
【 解析 】
解：如图1中，过点P作PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F，则△APE∽△ABC，△BPF∽△BAC，得到两种方法． 如图2中，作∠BP′G′=∠ACB时，△BP′G′∽△BCA，当C与G′重合时，则有BC2=BP?BA， ∴4=5PB， ∴PB=45=0.8， ∴当0＜PB≤0.8时，恰有3种不同的剪法， 故选：D． 如图1中，过点P作PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F，则△APE∽△ABC，△BPF∽△BAC，得到两种方法．如图2中，作∠BP′G′=∠ACB时，△BP′G′∽△BCA，当C与G′重合时，则有BC2=BP?BA，求出PB的值，即可判断满足条件的PB的值的范围． 本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【 第 11 题 】
【 答 案 】
45
【 解析 】
解：tanα=2sin30°=2×12=1， ∴α=45°， 故答案为：45． 根据30°的正弦值为12和45°的正切值是1解答． 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【 第 12 题 】
【 答 案 】
＞
【 解析 】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1， ∴点（-1，y1）离对称轴的距离1-（-1）=2, 点（2，y2）离对称轴的距离2-1=1, ∴点（-1，y1）离对称轴的距离比点（2，y2）离对称轴的距离远 ∴y1＞y2． 故答案为＞． 由于二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向上，对称轴为直线x=1，然后根据点A（-1，y1）和点B（2，y2）离对称轴的远近可判断y1与y2的大小关系． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．
【 第 13 题 】
【 答 案 】
28
【 解析 】
解：∵EG∥BC， ∴△EGF∽△ABC， ∴S△AEGS△ABC=（AEAB）2，即S△AEG84=49， 解得，S△AEG=3369， 同理，S△ADF=19×84=849， ∴图中阴影部分的面积=3369-849=28， 故答案为：28． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题关键是掌握：相似三角形的面积比等于相似比平方．
【 第 14 题 】
【 答 案 】
1
【 解析 】
解：∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AC=2AB=2，∠BAC=45°， ∵CA⊥x轴， ∴∠OAB=45°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴OA=22AB=22， ∴C（22，2）， 把C（22，2）代入y=kx得k=22×2=1． 故答案为1． 根据等腰直角三角形的性质得到AC=2AB=2，∠BAC=45°，再判断△OAB为等腰直角三角形得到OA=22，从而得到C（22，2），然后把C点坐标代入y=kx中可求出k的值． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性质．
【 第 15 题 】
【 答 案 】
8：5
【 解析 】
解：过点D作DF∥BE交AC于F， ∵DF∥BE， ∴△AME∽△ADF， ∴AM：MD=AE：EF=4：1=8：2 ∵DF∥BE， ∴△CDF∽△CBE， ∴BD：DC=EF：FC=2：3 ∴AE：EC=AE：（EF+FC）=8：（2+3） ∴AE：EC=8：5． 过点D作DF∥BE，再根据平行线分线段成比例，而为公共线段，作为中间联系，整理即可得出结论． 本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，作出辅助线，利用中间量EF即可得出结论．
【 第 16 题 】
【 答 案 】
22
【 解析 】
解：连接AC，则AC=BC，∠1=∠3， ∵∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠2=90°，即∠ACB=90°， ∴∠ABC=∠BAC=45°， ∴sin∠ABC=22， 故答案为22． 连接AC，证得△ABC是等腰直角三角形，则∠ABC=45°，根据正弦函数的定义，可得答案． 本题考查解直角三角形的运用，构造直角三角形是本题的关键．
【 第 17 题 】
【 答 案 】
乙
【 解析 】
解：∵当x=1时，函数有最小值， ∴抛物线解析式为y=（x-1）2+m， 若甲的结论正确，则抛物线解析式为y=（x-1）2+3， 当x=-1时，y=（-1-1）2+3=7，此时乙的结论错误； 当x=2时，y=（2-1）2+3=4，此时丙的结论正确； 若乙的结论正确，把（-1，0）代入y=（x-1）2+m得（-1-1）2+m=0，解得m=-4，此时甲的结论错误； 当x=2时，y=（2-1）2-4=-3，此时丙的结论错误． 故答案为乙． 设抛物线解析式为y=（x-1）2+m，先假若甲的结论正确，则利用顶点式表示出抛物线解析式为y=（x-1）2+3，接着利用此解析式对乙、丙的结论进行判断；然后假设乙的结论正确，则抛物线解析式为y=（x-1）2-4，接着利用此解析式对甲、丙的结论进行判断． 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【 第 18 题 】
【 答 案 】
65或3
【 解析 】
解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD=90°， ∴BD=AB2+AD2=10， 当PD=DA=8时，BP=BD-PD=2， ∵△PBE∽△DBC， ∴BPBD=PECD，即210=PE6， 解得，PE=65， 当P′D=P′A时，点P′为BD的中点， ∴P′E′=12CD=3， 故答案为：65或3． 根据勾股定理求出BD，分PD=DA、P′D=P′A两种情况，根据相似三角形的性质计算． 本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理和矩形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
【 第 19 题 】
【 答 案 】
解：设y=a（x+1）（x-4）， 将C?（0，-4）代入解析式得a×1×（-4）=4，解得a=-1， 所以此函数的解析式为y=-（x+1）（x-4）， 即y=-x2+3x+4．
【 解析 】
利用抛物线与x轴的两交点坐标，可设交点式y=a（x+1）（x-4），然后把C点坐标代入求出a即可． 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．
【 第 20 题 】
【 答 案 】
解：（1）如图：A1?（2，4），C1?（4，3）； （2）∵△ABC内部一点P的坐标为（x，y）， ∴点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标为：（12x，12y）．
【 解析 】
（1）直接利用已知位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质，即可得出答案． 此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
【 第 21 题 】
【 答 案 】
解：由题意知，tanD=i=33， 即∠D=30°，∠DBC=60° 过E作EF⊥AC于F，得∠BEF=∠D=30°，而∠AEF=60° ∴∠AEB=∠A=30°， ∴AB=BE 由于BD=2BC=600， 而DE=540，故EB=60 ∴AB=60 答：雕像AB的高度为60米．
【 解析 】
作EF⊥AC于F，根据直角三角形的性质计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【 第 22 题 】
【 答 案 】
解：（1）60≤x≤90；????????…（3分） （2）W=（x-60）（-x+140），…（4分） =-x2+200x-8400， =-（x-100）2+1600，…（5分） 抛物线的开口向下，∴当x＜100时，W随x的增大而增大， 而60≤x≤90，∴当x=90时，W=-（90-100）2+1600=1500． ∴当销售单价定为90元时，可获得最大利润，最大利润是1500元． （3）由W=1200，得1200=-x2+200x-8400， 整理得，x2-200x+9600=0， 解得，x1=80，x2=120，…（11分） 可知要使获得利润不低于1200元，销售单价应在80元到120元之间， 而60≤x≤90， 所以，销售单价x的范围是80≤x≤90．
【 解析 】
（1）由题意可知销售单价x的取值范围为：大于等于成本，小于等于成本×（1+50%）． （2）根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式， （3）令函数关系式W=1200，解得x，然后进行讨论． 本题主要考查二次函数的应用，根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，求最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
【 第 23 题 】
【 答 案 】
解：（1）在△ABC和△ACD中， ∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， 故ACAD=ABAC，即AC2=AD?AB， （2）过C作CF∥EB交AB的延长线于F，由于E为CD中点，故BF=BD，∠F=∠ABE，而∠ACD=∠ABE， ∴∠ACD=∠F， ∴在△AFC和△ACD中， ∠ACD=∠F，∠A=∠A， ∴△AFC∽△ACD， ∴ACAD=AFAC， ∴AC2=AD?AF， 又∵AB=3，AC=2， ∴22=（3-BD）（3+BD）， ∴BD=5．
【 解析 】
（1）利用两组角分别相等，可证相似，然后对应边成比例，变形即可求解； （2）过C作CF∥EB交AB的延长线于F，转化成（1）中的相似关系，列比例式，代入AB和AC的值即可求解． 本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等难度的题目．
【 第 24 题 】
【 答 案 】
解：（1）如图，将点D（m，m+1）代入y=-x2+3x+4中，得 m+1=-m2+3m+4， 解得m=-1或m=3， ∵点D在第一象限，故m=3， ∴D（3，4） 令x=0， ∴y=4， ∴C（0，3）， ∴OC=4，CD=3， 令y=0， ∴-x2+3x+4=0， ∴x=-1或x=4 ∴B（4，0），A（-1，0）， ∴CD∥AB，OB=4， ∴OC=OB， ∴∠OCB=45°， ∴点D关于直线BC的对称点E在y轴上． ∴CE=CD=3， ∴OE=1 ∴点D关于直线BC对称的点E的坐标为（0，1）； （2）如图2，作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G， 由（1）知OB=OC=4，∠OBC=45°． ∵∠DBP=45°， ∴∠CBD=∠PBF， ∵∠BFP=∠BGD， ∴△BFP∽△BGD， ∴PFBF=DGBG， ∵CD=3，∠DCB=45°， ∴CG=DG=322 ∵B（4，0），C（0，4）， ∴BC=42， 故BG=BC-CG=42-322=522 ∴PFBF=DGBG=35， 设PF=3t，则BF=5t， ∴OF=5t-4． ∴P（-5t+4，3t） ∵P点在抛物线上， ∴3t=-（-5t+4）2+3（-5t+4）+4 解得t=2225或t=0（舍去）． ∴点P的坐标为（-25，6625）．
【 解析 】
（1）先判断出CD∥AB，求出CD=3，进而判断出点E在y轴上，进而求出CE=3，即可得出结论； （2）先判断出∠CBD=∠PBF，进而判断出△BFP∽△BGD，再求出CG，DG，BG，进而得出DGBG=35，进而设出PF得出BF，OF，得出点P的坐标，代入抛物线解析式中，即可得出结论． 此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
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