2018-2019学年山东省济宁学院附中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案解析）

2018-2019学年山东省济宁学院附中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
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一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分）
1、(3分) 在1x，12，x2+1x，3xyπ，3x+y，1+1x中，分式的个数有（　　）
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
2、(3分) 将分式x3x+y中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（　　）
A.扩大3倍
B.扩大6倍
C.扩大9倍
D.扩大27倍
3、(3分) 要使分式x?2(x+1)(x?2)有意义，x的取值应该满足（　　）
A.x≠-1
B.x≠2
C.x≠-1或?x≠2
D.x≠-1且?x≠2
4、(3分) 婷婷是一位运动鞋经销商，为了解鞋子的销售情况，随机调查了9位学生的鞋子的尺码，由小到大是：20，21，21，22，22，22，22，23，23．对这组数据的分析中，婷婷最感兴趣的数据代表是（　　）
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
5、(3分) 学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了条形统计图，则30名学生参加活动的平均次数是（　　）
A.2
B.2.8
C.3
D.3.3
6、(3分) 若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（　　）
A.17，2
B.18，2
C.17，3
D.18，3
7、(3分) 若关于x的方程x+2x?2=mx?2有增根，则m的值与增根x的值分别是（　　）
A.m=-4，x=2
B.m=4，x=2
C.m=-4，x=-2
D.m=4，x=-2
8、(3分) 若x2-xy+2=0，y2-xy-6=0，则x-y的值是（　　）
A.4
B.2
C.±2
D.±4
9、(3分) 计算999-93的结果更接近（　　）
A.999
B.998
C.996
D.933
10、(3分) 有一类分数，每个分数的分子与分母的和是100，如果分子减k，分母加k，得到的新的分数约分后等于37（其中k是正整数），那么该类分数中分数值最小的是（　　）
A.4258
B.4357
C.3169
D.2971

二、填空题（本大题共 5 小题，共 15 分）
11、(3分) 因式分解：（a+b）2-64=______．12、(3分) 若代数式2x?1?1的值为零，则x=______．13、(3分) 已知一组数据的方差s2=14[（x1-6）2+（x2-6）2+（x3-6）2+（x4-6）2]，那么这组数据的总和为______ ．14、(3分) 已知正数a，b，c是△ABC三边的长，而且使等式a2-c2+ab-bc=0成立，则△ABC是______三角形．15、(3分) 如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 40 分）
16、(8分) 把下列各式因式分解（1）a（x-y）+b（x-y）（2）（x+1）（x-1）-3
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17、(8分) 解方程（1）1x?1=1x2?1（2）x?2x?3=2?13?x
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18、(8分) 甲、乙两地相距160km，一辆长途汽车从甲地开出2小时后，一辆小轿车也从甲地开出，结果小轿车比长途汽车晚40分钟到达乙地，又已知小轿车的速度是长途汽车的2倍，求两车的速度．
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19、(8分) 阅读并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax-3a2就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：x2+2ax?3a2=(x2+2ax+a2)?a2?3a2=(x+a)2?4a2=(x+a+2a)(x+a?2a)=(x+3a)(x?a)像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2-8a+15；（2）若a+b=6，ab=4，求：①a2+b2；②a4+b4的值；（3）已知x是实数，试比较x2-6x+11与-x2+6x-10的大小，说明理由．
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20、(8分) （一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式：①x?1x2+1；②a?2ba2?b2；③x+yx2?y2．其中是“和谐分式”的是______（填序号）；（2）若a为正整数，且x?1x2+ax+4为“和谐分式”，请直接写出a的值．（二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x?1=x?1+2x?1=x?1x?1+2x?1=1+2x?1，则x+1x?1是“和谐分式”．（1）下列分式：①x+1x；②x+2x+1；③y3+1y2．其中是“和谐分式”的是______（填序号）；（2）将“和谐分式”a2?2a+3a?1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a2?2a+3a?1=______+______；（3）先化简3x+6x+1?x?1x÷x2?1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数？
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四、计算题（本大题共 2 小题，共 12 分）
21、(6分) 计算（1）1m?1?11+m（2）（x2-x）?xx?1
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22、(6分) 某教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出扇形统计图中a的值，并求出该校八年级学生总数；（2）分别求出活动时间为5天、7天的学生人数，并补全频数分布直方图；（3）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？（4）如果该市共有八年级学生6000人，请你估计”活动时间不少于4天”的大约有多少人？
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?2018-2019学年山东省济宁学院附中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
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【 第 1 题 】
【 答 案 】
B
【 解析 】
解：分式有1x、x2+1x、3x+y、1+1x这四个，故选：B．根据分式的定义求解可得．本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．

【 第 2 题 】
【 答 案 】
C
【 解析 】
解：原式=27x33x+3y=9x3x+y，故选：C．根据分式的基本性质即可求出答案．本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

【 第 3 题 】
【 答 案 】
D
【 解析 】
解：由题意得：（x+1）（x-2）≠0，解得：x≠-1且x≠2，故选：D．根据分式有意义的条件可得（x+1）（x-2）≠0，再解不等式即可．?此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．

【 第 4 题 】
【 答 案 】
C
【 解析 】
解：经销商最感兴趣的是哪种鞋卖的多，而众数就是一组数据出现次数最多的数，所以经销商最感兴趣的是这组数据的众数．故选：C．经销商最感兴趣是哪种鞋号的人最多．根据众数的意义可得答案．此题主要考查统计量中平均数、中位数、众数、方差的意义．要求学生根据题意来选择合适的统计量来分析数据．

【 第 5 题 】
【 答 案 】
C
【 解析 】
解：（3×1+5×2+11×3+11×4）÷30=（3+10+33+44）÷30=90÷30=3．故30名学生参加活动的平均次数是3．故选：C．平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．注意本题不是求3，5，11，11这四个数的平均数．本题考查加权平均数，条形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

【 第 6 题 】
【 答 案 】
B
【 解析 】
解：∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18，∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2，∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2；故选：B．根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，那么另一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b，方差为a2S2．

【 第 7 题 】
【 答 案 】
B
【 解析 】
解：去分母得：x+2=m，由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，把x=2代入整式方程得：m=4，则m的值与增根x的值分别是m=4，x=2，故选：B．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出m的值及增根即可．此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

【 第 8 题 】
【 答 案 】
C
【 解析 】
解：∵x2-xy+2=0，y2-xy-6=0，∴x2-xy+2+y2-xy-6=0，∴（x-y）2=4，∴x-y的值是：±2．故选：C．直接将两式合并，利用公式法分解因式，进而得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，正确分解因式是解题关键．

【 第 9 题 】
【 答 案 】
A
【 解析 】
解：999-93=93（996-1）≈999，故选：A．根据因式分解解答即可．此题考查因式分解，关键是根据提公因式法解答．

【 第 10 题 】
【 答 案 】
C
【 解析 】
解：由题可得，该分数可表示为3a+k7a?k，∵分子与分母的和是100，∴3a+k+7a-k=100，∴a=10，∴得到的新的分数为3070，又∵当k最小时，分数的值最小，∴当正整数k=1时，分数的值为3169，故选：C．先将该分数可表示为3a+k7a?k，再根据分子与分母的和是100，即可得到的新的分数为3070，最后根据当k最小时，分数的值最小，即可得出当正整数k=1时，分数的值为3169．本题主要考查了列代数式，注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．

【 第 11 题 】
【 答 案 】
（a+b-8）（a+b+8）
【 解析 】
解：（a+b）2-64=（a+b-8）（a+b+8）．故答案为：（a+b-8）（a+b+8）．直接利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

【 第 12 题 】
【 答 案 】
3
【 解析 】
解：由题意得，2x?1?1=0，解得：x=3，经检验的x=3是原方程的根．故答案为：3．由题意得2x?1?1=0，解分式方程即可得出答案．此题考查了分式值为0的条件，属于基础题，注意分式方程需要检验．

【 第 13 题 】
【 答 案 】
24
【 解析 】
解：∵s2=14[（x1-6）2+（x2-6）2+（x3-6）2+（x4-6）2]，∴这组数据的平均数是6，数据个数是4，∴这组数据的总和为4×6=24；故答案为：24．根据方差公式S2=1n[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]中各个字母表示的意义，得出这组数据的平均数是6，数据个数是4，从而得出这组数据的总和．本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=1n[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]．

【 第 14 题 】
【 答 案 】
等腰
【 解析 】
解：∵a2-c2+ab-bc=0，∴（a+c）（a-c）+b（a-c）=0，即（a-c）（a+c+b）=0∵a+b+c≠0，∴a-c=0，故该三角形是等腰三角形．故答案为：等腰．把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．此题主要考查了因式分解的应用以及三角形三边关系，正确的理解题意是解题关键．

【 第 15 题 】
【 答 案 】
aa+b
【 解析 】
解：设第一个图形中下底面积为S．倒立放置时，空余部分的体积为bS，正立放置时，有墨水部分的体积是aS，因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的asas+bs=aa+b；故答案为aa+b．设第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个图可得空余部分的体积，进而可得玻璃瓶的容积，让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可．本题考查了列代数式；用墨水瓶的底面积表示出墨水的容积及空余部分的体积是解决本题的突破点．

【 第 16 题 】
【 答 案 】
解：（1）a（x-y）+b（x-y）=（x-y）（a+b）； （2）（x+1）（x-1）-3=x2-1-3=（x+2）（x-2）．
【 解析 】
（1）直接提取公因式（x-y），进而分解因式即可；（2）直接去括号进而利用平方差公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

【 第 17 题 】
【 答 案 】
解：（1）1x?1=1x2?1方程两边乘?（x-1）（x+1），得?x+1=1，解得：x=0，检验：当?x=0时，（x-1）（x+1）≠0，所以，原分式方程的解为x=0；（2）x?2x?3=2?13?x整理得：x?2x?3=2+1x?3方程两边乘：x-2=2（x-3）+1，得?x-2=2x-6+1，解得：x=3，检验：当?x=3时，x-3=0，所以，x=3不是原分式方程的解，原分式方程无解．
【 解析 】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

【 第 18 题 】
【 答 案 】
解：设长途汽车的速度为xkm/h，则小轿车的速度为2xkm/h，由题意，得160x?1602x=2-4060，解得：x=60，经检验，x=60是原方程的根，∴原方程的根为x=60．∴小轿车的速度为：60×2=120km/h．答：长途汽车的速度为60km/h，则小轿车的速度为120km/h．
【 解析 】
设长途汽车的速度为xkm/h，则小轿车的速度为2xkm/h，根据小轿车与长途汽车之间的时间关系建立方程求出其解即可．本题是一道行程问题的运用题，考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法，在解答中根据时间作为等量关系建立方程是关键，解答时必须验根是容易忘记的地方．

【 第 19 题 】
【 答 案 】
解：（1）a2-8a+15=（a2-8a+16）-1=（a-4）2-12=（a-3）（a-5）； （2）∵a+b=6，ab=4，a2+b2=（a+b）2-2ab=36-8=28．a4+b4=（a2+b2）2-2a2b2=282-2×16=752． （3）x2-6x+11=（x-3）2+2≥2，-x2+6x-10=-（x-3）2-1≤-1，∴x2-6x+11＞-x2+6x-10．
【 解析 】
（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子分解因式；（2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；（3）利用配方法、非负数的性质解答．本题考查的是十字相乘法因式分解、公式法因式分解以及偶次方的非负性，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．

【 第 20 题 】
【 答 案 】
（一）（1）因为①的分子、分母都不能因式分解，所以①不是“和谐分式”；a?2ba2?b2=a?2b(a+b)(a?b)，分子、分母不能约分，故②是“和谐分式”；x+yx2?y2=x+y(x+y)(x?y)=1x?y，分式能约分，故③不是“和谐分式”．故答案为：②（2）当a=4时，x?1x2+ax+4=x?1(x+2)2为“和谐分式”；当a=5时，x?1x2+ax+4=x?1(x+4)(x+1)为“和谐分式”．所以当a=4，5时，x?1x2+ax+4为“和谐分式”．（二）（1）①x+1x=xx+1x=1+1x，故①是“和谐分式”；②x+2x+1=x+1+1x+1=x+1x+1+1x+1，故②是“和谐分式”；③y3+1y2不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，故③不是“和谐分式”．故答案为：①②（2）a2?2a+3a?1=a2?2a+1+2a?1=(a?1)2+2a?1=(a?1)2a?1+2a?1=a-1+2a?1故答案为：a-1，2a?1（3）3x+6x+1?x?1x÷x2?1x2+2x=3x+6x+1-x?1x×x(x+2)(x+1)(x?1)=3x+6x+1-x+2x+1=2x+4x+1=2x+2x+1+2x+1=2+2x+1当x=-3，-2，0，1时，2+2x+1的值为整数．由于x=-1，0，1，-2时，原分式没有意义，所以当x=-3时，分式方程的值为整数．
【 解析 】
解：（一）（1）根据“和谐分式”的定义，逐个判断得结论；（2）可通过试验的办法，得到a的值．（二）（1）根据给出的“和谐分式”的定义，逐个判断得结论；（2）可仿照定义后的例子，把分式变形为“和谐分式”；（3）先化简分式，再把分式化为“和谐分式”的形式，根据值为整数，确定x的值．本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义．注意（二）（3）x的取值范围．

【 第 21 题 】
【 答 案 】
解：（1）1m?1?11+m=m+1?(m?1)(m+1)(m?1)=m+1?m+1(m+1)(m?1)=2(m+1)(m?1)；（2）（x2-x）?xx?1=x（x-1）=x2．
【 解析 】
（1）根据分式的减法可以解答本题；（2）根据分式的乘法可以解答本题．本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．

【 第 22 题 】
【 答 案 】
解：（1）根据题意得：a=1-（5%+10%+15%+15%+30%）=25%，八年级学生总数为20÷10%=200（人）；（2）活动时间为5天的人数为200×25%=50（人），活动时间为7天的人数为200×5%=10（人），补全统计图，如图所示： （3）众数为4，中位数为4；（4）根据题意得：6000×（30%+25%+15%+5%）=4500（人），则活动时间不少于4天的约有4500人．
【 解析 】
（1）扇形统计图中，根据单位1减去其他的百分比即可求出a的值；由参加实践活动为2天的人数除以所占的百分比即可求出八年级学生总数；（2）由学生总数乘以活动实践是5天与7天的百分比求出各自的人数，补全统计图即可；（3）出现次数最多的天数为4天，故众数为4；将实践活动的天数按照从小到大顺心排列，找出最中间的两个天数，求出平均数即可得到中位数；（4）求出活动时间不少于4天的百分比之和，乘以6000即可得到结果．此题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．

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