初中数学中考专区二轮专题吃透动态几何三角形全等之半角模型学案（含答案）

半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。
知识精讲：
过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧：
在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN，
∴BM+DN=MN
∠AMB=∠AMN
AB=AH
△CMN的周长等于正方形周长的一半
在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系；
总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.
题型讲解：
正方形ABCD中，E是CD边上一点.
将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示，观察可知：与DE相等的线段是______,∠AFB=_______.
如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ.

如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△，当∠DAE=45°时，求证：DE=；在（1）的条件下，猜想：有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.

3、如图，E、F是正方形ABCD的边AD、CD上的点，连BE、EF、BF，BF平分∠EBC。
求证：BE=AE+CF

4、正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，求证：EF=BE+DF.

5、在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB,AC上移动时，BM, NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系，
如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_______
如图2，当点M,N边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是______;=_______
点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.

专项练习：
如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交于AB于M，交AC于N,连接MN,求证：MN=BM+CN.

【解析】
半角模型，先证旋转全等△DCN≌△DBQ，再证对称全等△DNM≌△DQM


7、已知四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时，求证：△ABE≌△CBF
当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE,CF,EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想
当∠MBN绕点B旋转到图三这种情况下，猜想线段AE,CF,EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想.

【解析】
半角模型
（1）SAS证全等即可
（2）作∠EBQ=120°，或延长FC至点Q使得CQ=AE，证旋转和对称全等得到AE+CF=EF
（3）在AM上取一点H使得AH=CF，证△BAH≌△BCF，△BFE≌△BHE可得AE=FC+EF

8、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.
求证：CE=CF
若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

【解析】（1）半角模型，证△CBE≌△CDF即可
（2）成立，证完旋转全等（△CBE≌△CDF）再证对称全等（△CEG≌△CFG）即可
9、E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF,H为垂足，求证：AH=AB.

【解析】半角模型，延长EB至点M使得BM=DF，证△ADF≌ABM（旋转全等），再证△AFE≌△AME（对称全等）得AE平分∠FEM即可
10、已知两个全等的等腰直角△ABC,△DEF，其中∠∠ACB=∠DFE=90°，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA,CB（或它们所在直线）于M,N
如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M,求证：AM=MC
如图2，当线段EF与线段BC边交于点N，线段DE与线段AC交于M点，连MN,EC,请探究AM,MN,CN之间的等量关系，并说明理由.
如图3，当线段EF与BC延长线交于点N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN,EC，请猜想AM,MN,CN之间的等量关系，不必说明理由.

【解析】
（1）CE是中垂线，∠FED=45°，所以EM是中垂线，则AM=MC
（2）AM-CN=MN；过E作EG⊥EN交AC于点G，可证△AGE≌△CEN（AAS），再证△EGM≌△ENM（SAS）【半角模型，先证旋转全等，再证对称全等】
（3）AM+CN=MN；过E作EH⊥EN交AC的延长线于点H，可证△AHE≌△CNE（AAS），再证△EHM≌△ENM（SAS）【半角模型，先证旋转全等，再证对称全等】
答案：
1、解析：
∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF,
∵DE=BF,∠AFB=∠AED.
将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，
则∠D=∠ABE=90°
即点E,BP共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ,BE=DQ
∵∠PAQ=45°
∠PAE=45°
∴∠PAQ=∠PAE
在△APE和△APQ中
AE=AQ
∠PAE=∠PAQ
AP=AP
△APE≌△APQ(SAS)
∴PE=PQ
而PE=PB+BE=PB+DQ
∴DQ+BP=PQABD

2、解析：
因为△ABD绕点A旋转，得到
∴AD=，∠DAD’=∠BAC=90°
∵∠DAE=45°
∴∠EAD’=∠DAD’-∠DAE=45°
∴在△AED和△中
AE=AE
∠EAD=∠AED’
AD=AD’
∴△AED≌△AED’
∴DE=D’E
由（1）得△AED≌△AED’，ED=ED’
在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°
∴∠B=∠ACB=45°
∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD’
∴BD=CD’,∠B=∠ACD’=45°
∴∠BCD’=∠ACB+∠ACD’=45°+45°=90°

3、解析：
将△CBF逆时针旋转90°得到△ABG,
由旋转的性质可得AG=CF,∠G=∠BFC,∠ABG=∠CBF
∵BF平分∠EBC,
∴∠EBG=∠ABF=∠BFC
∴∠G=∠EBG
∴EG=EB
∴BE=AE+CF.


4、解析：
如图，由题意得：△ABE≌△ADG
∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,BE=DG
∴FG=BE+DF
∴∠BAE+∠FAD=∠FAD+∠DAG
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°
∴∠BAE+∠FAD=90°-45°，∴∠FAG=45°，∠EAF=∠FAG
在△EAF和△GAF中，
AE=AG
∠EAF=∠GAF
AF=AF
∴△EAF≌△GAF（SAS）
∴EF=FG,而FG=BE+DF
∴EF=BE+DF

5、解析：（1）如图2，延长AC至E，使CE=BM,连接DE
可得△MBD≌△ECD(SAS)
∴DM=DE,∠BDM=∠CDE
∴∠EDM=∠BDC-∠MDN=60°
同理可得△MDN≌△EDN(SAS)
∴MN=NE=NC+BM
∵△AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NV+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB
等边△ABC的周长L=3AB=9，AB=3，则Q=6
（2）如图，BM,NC,MN之间的数量关系BM+NC=MN.此时
（3）（2）中的结论仍然成立，证明参考（1）
专项练习：
1、【解析】
半角模型，先证旋转全等△DCN≌△DBQ，再证对称全等△DNM≌△DQM



2、【解析】
半角模型
（1）SAS证全等即可
（2）作∠EBQ=120°，或延长FC至点Q使得CQ=AE，证旋转和对称全等得到AE+CF=EF
（3）在AM上取一点H使得AH=CF，证△BAH≌△BCF，△BFE≌△BHE可得AE=FC+EF


3、【解析】（1）半角模型，证△CBE≌△CDF即可
（2）成立，证完旋转全等（△CBE≌△CDF）再证对称全等（△CEG≌△CFG）即可

4、【解析】半角模型，延长EB至点M使得BM=DF，证△ADF≌ABM（旋转全等），再证△AFE≌△AME（对称全等）得AE平分∠FEM即可

5、【解析】
（1）CE是中垂线，∠FED=45°，所以EM是中垂线，则AM=MC
（2）AM-CN=MN；过E作EG⊥EN交AC于点G，可证△AGE≌△CEN（AAS），再证△EGM≌△ENM（SAS）【半角模型，先证旋转全等，再证对称全等】
（3）AM+CN=MN；过E作EH⊥EN交AC的延长线于点H，可证△AHE≌△CNE（AAS），再证△EHM≌△ENM（SAS）【半角模型，先证旋转全等，再证对称全等】