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命题特点与趋势：
用运动的观点来探究几何图形变化规律的试题称为动态几何型试题。动态几何型试题以运动为载体。集代数与几何的众多知识于一体,并且渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要数学思想,命题的设置常常带有开放性、操作性和探究性,试题本身有一定的难度和区分度,是中考数学试卷的“压轴题”。因此,动态几何型试题已成为中考及新课程改革的热点试题,从压轴题的命题特点看,动态几何型试题的命制包括点动型、线动型与形动型三个方面。
动态几何
一、
点的运动
点动型试题通常是在三角形、四边形、函数图象等一些几何图形上,设计一个或几个动点,并对这些点在运动变化的过程中相伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考查,点动型试题常常集几何、代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性。
（宿迁）如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠ABC=90° ,AB=8cm,BC=4cm,CD=5cm.
动点P从点B开始沿折线BC-CD-DA以1cm/s的速度运动到点A.设点P运动的时间为t(s),△PAB的面积为S(cm?).
(1)当t=2时,求S的值.
(2)当点P在边DA上运动时,求S关于t的函数表达式.
(3)当S=12时,求t的值.
例1
例1解答
（2）过点D作DH⊥AB于点H.
∵AB=8cm，BC=4cm,CD=5cm,
∴DH=4,AH=3,∴AD=5.
当点P在边DA上运动时，过P作PK⊥AB于点K.
∵DH//DK,∴△APK∽△ADH,∴ = ,
∴ = ,∴PK= (14-t),
∴S= ×8× (14-t)= - t(9≤t≤14).
（1）当t=2时，S= ×8×2=8.
(3)∵当点P在边DC上运动时，△PAB的面积为16,故当S=12时,点P在边BC上运动或点P在边AD上运动.
①当点P在边BC上运动时， ×8t=12,∴t=3.
②当点P在边DA上运动时, - t=12,∴t=
(咸宁）如图,正方形OABC的边OA、OC在坐标轴上,点B的坐标为（-4,4）.点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动;点Q从点O同时出发,以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时,点Q也停止运动.连结BP,过P点作BP的垂线,与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D. BD与y轴交于点E,连结PE.设点P运动的时间为t(s).
(1)∠PBD的度数为___,点D的坐标为___（用t表示）
(2)t为何值时,△PBE为等腰三角形？
(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化,若变化,说明理由；若不变,试求这个定值。
例2
∠PBD=45°;点D的坐标为(t,t).
由题意，可得AP=OQ=1Xt=t,∴AO= PQ.
∵四边形OABC是正方形,∴AO= AB,∴AB= PQ.
∵DP⊥BP,..∠BPD=90°.∴∠BPA=90°- ∠DPQ=∠PDQ.
又∵∠BAP=∠PQD=90°,∴△PAB≌△DQP.
∴AP=DQ=t,BP= PD.
∴∠PBD=∠PDB=45°,点D坐标为(t,t).
例2答案(1)
由△PAB≌△DQP得PB= PD,显然PB≠PE,分两种情况:
(1)若EB=EP,则∠EPB=∠EBP=45°，此时点P与点O重合,t=4.
(2)若BE=BP,则△PAB≌△ECB,∴CE=PA=t.
如图①,过点D作DF⊥OC于点F,
易知四边形OQDF为正方形，则DF=OF=t,EF=4-2t.
∵DF//BC,∴△BCE∽△DFE,
∴ = ,∴ = .
解得t=-4士4 (负根舍去). ..t=4 - 4.
综上，当t=4 -4或4时,△PBE为等腰三角形.
例2答案(2)
△POE周长不随吋同t的变化而变化.
如图②,将△BCE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△BAH,则BE=BH,CE=AH,∠CBE=∠ABH,∠EBH=90°.
∵∠EBP=45°,∴∠PBH=45°,∴∠EBP=∠PBH.
又∵BP=BP,∴△PBE≌△PBH.∴PE=PH,
PE=PH=AH+AP=CE+AP.
∴△POE的周长=OP+OE+PE
=OP+OE+CE+AP
=OA+OC
=4+4
=8
例2答案(3)
(连云港)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A,B的坐标分别为(8,0),(0,6).动点Q从点O,动点P从点A同时出发,分别沿OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动,运动时间为t(秒)(0(1)当t为何值时,点Q与点D重合?
(2)设△QCD的面积为S,试求S与t之间的函数关系式,并求S的最大值.
(3)若☉P与线段QC只有一个交点,请直接写出t的取值范围.
例3
例3答案
(2)由△ACD∽△ABO,易得CD= t,
当0∴- = ,0< < ,∴当t= 时,S有最大值 ；
当 ∵- = , < ,S随t的增大而增大.
所以当t=5时，S有最大值为15> .
（1）∵CA是☉P的直径，∴CD⊥OA,∴CD//BO.
∴△ACD∽△ABO,∴ = .
∵OA=8,OB=6,CA=2t,∴AB=10,
∴AD= t,OQ=t.
当点Q与点D重合时，即OQ+AD=OA,
∴t+ t=8,t= .
（3）0
(盐城)如图①,若二次函数y= x?+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(3,0)两点,点A关于正比例函数y= x的图象的对称点为C.
(1)求b,c的值.
(2)证明:点C在所求的二次函数的图象上.
(3)如图②,过点B作DB⊥x轴交正比例函数y= x 的图象于点D,连结AC,交正比例函数y= x的图象于点E.连结AD,CD.如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动,同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动,当其中一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,连结PQ,QE,PE,设运动时间为t秒,是否存在某一时刻,使PE平分∠APQ,同时QE平分∠PQC?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
例4
∵二次函数y= x2+bx+c的图像过A(-2,0),B(3,0)两点，
∴ -2b+c=0
+3b+c=0
解得b= - ,c=-
例4答案（1）
例4答案（2）
在正比例函数y= x的图象上取一点F(m, m),作FH⊥x轴于点H，
则tan∠FOH= , ∴∠FOH=60°.
连结AC交正比例函数y= x的图象于点E,作CK⊥x轴于点K,
∵点A关于正比例函数y= x的图象的对称点为点C,
∴OE垂直平分AC.
又∠AOE=∠FOH=60° ,OA=2,
∴AE= AOsin60°= , AC=2AE=2 ,
在Rt△ACK中,CK=ACsin∠CAK= ,AK=ACsin∠ACK=3,
∴OK=AK-AO=1,则点C的坐标为(1,- )，
将(1,- )代人y= x2- x- ,左边=右边.
∴点C在所求二次函数的图象上.
例4答案（3）
∵DB⊥x轴交正比例函数y= x的图象于点D,B(3,0),
∴把x=3代人y= x得:y=3 ,即BD=3 .
在Rt△ADB中,AD= =2 .
∵OE垂直平分AC,
∴CD=AD=2 ,∠DAC= ∠DCA,
假设存在某一时刻，使PE平分∠APQ,同时QE平分∠PQC,
则∠APE=∠QPE,∠PQE=∠CQE，
∵∠PAC+∠ACQ+∠CQP+∠QPA=360°,
∴∠PAC+∠APE+∠CQE=180°,
又∵∠PAC+∠APE+∠PEA=180，
∴∠PEA=∠CQE，而∠PAE=∠ECQ,
∴△PAE∽△ECQ,
∴ = ,即：PA·CQ=AE·EC,
∴2t(2 -t)= × ,2t-4 t+3=0.
解得t1= ,t2= >
∴存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC,此时t的值为
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二、
线的运动
线动型试题是以线的移动或旋转来揭示图形的性质或变化规律的试题.
线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化，问题常以求图形面积的最值，或探究运动过程中是否存在某一特殊位置的形式出现。解决此类问题时，一是要选择适当的求图形面积的方法；二是要根据线段的运动变化过程，探究其他图形的变化规律；
（怀化）如图,在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90?,∠1=45?,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过B点时停止运动.设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O′C′,与OA相交于点G,如图②所示,求经过G,O,B三点的抛物线的解析式.
(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.
例5
例5答案
（1）由题意可知，射线OC扫过Rt△ABO的部分为等腰直角三角形，
斜边长为2x，则斜边上的高为 ×2x=x.
∴y= ×2x×x=x2(0≤x≤4).
（2）过点G作GD⊥OB,垂足为D,则在等腰Rt△OO′G中,GD也是斜边OO′的中线,
∵OO′=3×2=6,∴GD=OD= OO′=3.
∴点G的坐标为（3,3).
由抛物线经过O(0,0),B(0,8),可设其解析式为y=ax(x-8).
把G(3,3)代入，得a×3×(3-8)=3,解得a= - .
∴抛物线的解析式为y=- x(x-8)，即y=- x2+ x.
（3）设符合条件的点P的坐标为(x,y),则S= ×8|y|=8,解得y=±2.
当y=2时,由y=- x2+ x=2,解得x=4±
当y=-2时,由y=- x2+ x=-2,解得x=4±
∴符合条件的点P坐标为
， ， ， .
(广东）如图①,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm,点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于点E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒（t>0).
(1)当t=2时,连接DE,DF,求证：四边形AEDF为菱形.
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长.
(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形？若存在,请求出此刻t的值；若不存在,请说明理由.
例6
例6答案（1）
证明：连接DE,DF.
当t=2时,DH=AH=4,即H是AD的中点,
∵EF⊥AD,∴EF是AD的垂直平分线,
∴EA=ED,FA=FD.
又∵EF//BC,
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF.
即AE=ED=DF=AF,∴四边形AEDF为菱形.
例6答案（2）
(2)过E、F分别作EM⊥BC和FN⊥BC,M,N为垂足.
可证△BEM≌△CFN,BM=CN,
∵tanB= = ,EM=DH=2t,
∴BM=CN= t,
∴EF=BC-2BM=10-2× t=10- t.
∴S△PEF= ×EF×HD= ×(10- t)×2t= - t2+10t
当t=2s时，面积有最大值，此时BP=3×2=6.
例6（3）
答：存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形.
分为以下三种情况：
①当PE⊥EF时,如左图.
∵ EF// BC,∴PE⊥BC,即BP=3t,EP= 2t,
在Rt△BPE中,tanB= , ∴ = .
此时,t无解,即不存在P点,使得PE⊥EF.
情况1：
例6（3）
当PF⊥PE时，如左图,∠ FPE=90°
此时,过E,F两点作EM⊥BC,FN⊥BC,
显然,Rt△EMP∽Rt△PNF，Rt△EMB≌Rt△FNC.
即 ,BM= NC,
EM= FN= 2t,tanB= ,
BP=3t, BM=NC= ,即MP=3t- t= t,
PN= BC-BP-NC=10-3t- =10- ,
代人比例式: ,
得 ,解得t= .
情况2：
例6（3）
当PF⊥EF时，如左图.
∵ EF//BC,∴PF⊥BC,
即BP=3t,FP=2t,
即PC=BC-BP=10-3t,
在Rt△CPF中，tanC=tanB= ,
∴ ,∴t= .
综上所述，当t= 或t= 时，△PEF为直角三角形.
情况3：
（广东）如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA,QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA,OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
(2)请判断OA,OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
(3)在平移变换过程中，设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值.
例7
例7答案
（2）OA=OP,OA⊥OP.理由如下：
①当BC向右平移时，如图1
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABO=∠OBQ=45?,
∵PQ=BC,∴AB=PQ.∵OQ⊥BD,∴∠PQO=45?,
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45?,∴OB=OQ.
在△ABO和△PQO中，
AB=PQ,
∠ABO=∠PQO,
OB=OQ
∴△ABO≌△PQO(SAS），∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,
∴∠AOP=∠BOQ=90?,∴OA⊥OP.
②当BC向左平移时，如图2
同理可证，△ABO≌△PQO(SAS).
∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,
∴∠AOP+∠POB=∠POB+∠BOQ,
∴∠AOP=∠BOQ=90?,∴OA⊥OP,∴OA=OP且OA⊥OP.
（1）平行四边形.
理由：∵PQ//AD,且PQ=AD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
例7答案
（3）如图，过点O作OE⊥BC于点E.
①如图1，当点P在点B的右侧时，则BQ=x+2,OE= ,
∴y= ,即y= .
又∵0≤x≤2,∴当x=2时,y有最大值2.
②如图2，当点P在点B的左侧时，
则BQ=2-x,OE= ,∴y= ,
即y= .
又∵0≤x≤2,∴当x=1时,y有最大值 .
综上所述，当x=2时，y有最大值2.
（四川）如图1,在四边形ABCD中，AD//BC,∠B=30°,直线l⊥AB.当直线l沿射线BC方向,从点B开始向右平移时,直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E,F.设直线l向右平移的距离为x,线段EF的长为y,且y与x的函数关系如图2所示，则四边形ABCD的周长为多少？
例8
例8答案
①当EF在AB上平移时,∵直线l⊥AB,∴∠BEF=90?.
又∵∠B=30?,∴∠FEB=60?,EF= BE,即y= x.
又由左图知，当EF平移到点F与点A重合时，BE=4,AE=2.
在Rt△ABE中，AB=4cos30?=4× = .
②当EF平移到点E与点C重合时，由左图知BC=5.
例8答案
②当EF平移到点E与点D重合时，由左图所示，
由①可得∠DEC=60?.
由图2知，AD=7-4=3,CE=7-5=2,DE=2,
∴DE=CE=2,∴△DEC为等边三角形，∴CD=2.
∴四边形ABCD的周长是AB+BC+AD+CD
= +5+3+2=10+
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三、
形的运动
形动型试题主要包含图形的平移、旋转与折叠三大类.
对于形动型的题目，一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小保持不变这一特性；二是要运用特殊与一般的关系，探究图形运动变化过程中的不同阶段；三是要运用类比、转化的方法探究相同运动状态下的共同性质，这种方法能够使得问题解决的过程更加便捷，结论更加准确。
(四川宜宾)如图,在△ABC中,已知AB= AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△DEF运动,并满足:点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE始终经过点A,EF与AC交于M点.
(1)求证:△ABE∽△ECM.
(2)探究:在△DEF的运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由.
(3)当线段AM最短时,求出重叠部分的面积.
例7
（1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵△ABC≌△DEF,∴∠AEF=∠B.
∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,∴∠CEM=∠BAE,
∴△ABE∽△ECM.
(2)∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,
∴∠AME>∠AEF,∴AE≠AM;
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM,
∴CE=AB=5,∴BE=BC-EC=1.
当AM=EM时，∴∠MAE=∠MEA.
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,即∠CAB=∠CEA,
∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA,
∴ ,∴ ,
∴BE= .
综上所述，在△DEF的运动过程中，重叠部分能构成等腰三角形，此时BE的长为1或 .
(3)设BE=x,∵△ABE∽△ECM,
∴ ,∴ ,
∴CM= .
∴AM=5-CM= .
∴当x=3时，AM最短为 ，
又当BE=x=3= 时，即E为BC的中点，
∴AE⊥BC,∴AE= ,
此时，EF⊥AC,∴EM= ,
∴S△AEM= .
(南通)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90° ,AC= ,BC=3,△DEF是边长为a(a为小于3的常数)的等边三角形,将△DEF沿AC方向平移,使点D在线段AC上,DE//AB,设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T.
(1)求证:点E到AC的距离为一个常数.
(2)若AD= ,当a=2时,求T的值.
(3)若点D运动到AC的中点处,请用含a的代数式表示T.
例8
(1)∵在Rt△ABC中，AC= ,BC=3,∴∠A=60°,
∵△DEF是等边三角形，∴∠E=60°,
∵DE//AB,∴∠A=∠CDE=60°,
∴∠CDE=∠E,∴FE//AC.
∵等边△DEF的边长是a,∴等边△DEF的高是 a,
∴点E到AC的距离为常数 a.
(2)设DF、EF分别交AB于点G、H两点，如左图，
∵∠A=60°,∠AGD=∠FDE=60°,
∴△ADG是等边三角形,∴DG=AD= .
由(1)，得△GFH是等边三角形，四边形ADEH是平行四边形,
∴GF=GH=FH=DF-DG=2- . .
∴T=DG+GH+DE+EH=
例8答案
（浙江湖州）如图①,已知菱形ABCD的边长为2 ,点A在x轴的负半轴上,点B在坐标原点,点D的坐标为（- ,3）,抛物线y=ax?+b(a≠0)经过AB,CD的中点.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)将菱形ABCD以每秒一个单位长度的速度,沿着x轴的正方向匀速平移（如图②）,过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF,AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒（0①是否存在这样的t,使△ADF与△DEF相似？若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由.
②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°得△FE′C′,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时,求t的取值范围（写出答案即可）
例9
（1）由题意得AB中点得坐标为（- ,0）CD中点坐标为（0,3）,
分别代入y=ax2+b（a≠0）得 ,b=3解得
∴y=-x2+3.
a=-1
b=3
例9（1）
(Ⅰ)若ADF=90°,∠EDF=120°- 90°=30°，
在直角△DEF中,DE= ,求得EF=1,DF=2.
又∵E(t,3),F(t,-t2+3),∴EF=3-(-t2+3)=t2.
∴t2=1,t>0,t=1.
此时
又∵∠ADF=∠DEF,
∴△ADF∽△DEF.
(Ⅱ)若∠DFA=90°,可证得△DEF∽△FBA,则 .
设EF=m,则FB=3-m,∴ ,即m2-3m+6=0,∵?=(-3)2-4×6=-15<0,
∴此方程无实数根，∴此时t不存在.
(Ⅲ)由题意得∠DAF<∠DAB=60°,
∴∠DFA≠90°,此时t不存在.
综上所述,存在t=1,△ADF与△DEF相似.
② .
例9（2）
(2)①在直角三角形BCE中,∠BEC=90°，BE=3,BC=2 ,
,∴∠C=60°,∠CBE=30°,
又∵AD//BC, ∴∠ADC+∠C=180°,
∴∠ADC=180°-60°=120°.
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角是直角
(宜昌）半径为2cm的☉O与边长为2m的正方形ABCD在水平直线l的同侧,☉O与l相切于点F,DC在l上.
(1)过点B作☉O的一条切线BE,E为切点.
①填空:如图①,当点A在☉上时,∠EBA的度数是____.
②如图②,当E、A、D三点在同一直线上时,求线段OA的长.
(2)以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置,向左移动正方形(图③),至边BC与OF重合时结束移动,M,N分别是边BC ,AD与☉O的公共点,求扇形MON的面积的范围.
例10
①30°.
②如左图.
∵直线l与☉O相切于F,∴∠OFD=90°.
∵正方形ADCB中，∠ADC=90°,∴OF//AD.
∵OF=AD=2,∴四边形OFDA为平行四边形.
∵∠OFD=90°,∴平行四边形OFDA为矩形.
∴DA⊥AO,∵正方形ABCD中,DA⊥AB.
∴O,A,B三点在同一条直线上.
∵E,A,D三点在同一条直线上,∴EA⊥OB.
∵∠OEB=90°,∴∠OEB=∠EAO.
又∵∠EOB=∠AOE.∴△EOA∽△BOE.
∴ ,∴OE2=OA·OB.∴OA(2+OA)=4,
解得，OA=-1± ,∵OA>0,∴OA= -1.
例10（1）
如左图，设∠MON=n°,S扇形MON= .
S随着n的增大而增大,∠MON取最大值时，S扇形MON最大.
过点O作OK⊥MN于点K,
∴∠MON=2∠NOK,NM=2NK.
在Rt△ONK中，sin∠NOK=
∴∠NOK随着NK的增大而增大，∠MON随着MN的增大而增大,∴当MN最大时，∠MON最大,当MN最小时，∠MON最小.
①当M,N,A分别与D,B,O重合时，MN最大,
MN=BD,∠MON=∠BOD=90°,S扇形MON最大=π(cm2)
②当MN=DC=2时，MN最小.
∴ON=MN=OM,
∴∠NOM=60°.
S扇形MON最小= (cm2), ∴ ≤S扇形MON≤π
例10（2）
本专题结束
