2.3.4 平面向量共线的坐标表示
类型一 向量共线的判定
例1 (1)下列各对向量中，共线的是( )
A.a＝(2,3)，b＝(3，－2) B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)
C．a＝(，－1)，b＝(1，) D．a＝(1，)，b＝(，2)
(2)已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB与直线CD平行吗？
跟踪训练1 下列各组向量中，共线的是( )
A.a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
类型二 三点共线问题
例2 设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．
跟踪训练2 已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证点A，B，C共线．
类型三 向量共线的应用
例3 如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
跟踪训练3 若平行四边形ABCD的三个顶点为A(1,5)，B(－1，－2)，C(3，－1)，求顶点D的坐标．
【巩固提升】
一、选择题
1．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A．(2,1) B．(－6，－3) C．(－1,2) D．(－4，－8)
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6) C．(－4，－8) D．(－5，－10)
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )
A. B. C．1 D．2
4．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是( )
A．(－9,1) B．(9，－1) C．(9,1) D．(－9，－1)
5．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)，若∥，则实数m的值为( )
A. B．－ C．3 D．－3
6．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λb＝0，则m＝( )
A．0 B．2 C．0或2 D．0或－2
二、填空题
7．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
8．已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下列结论：
①直线OC与直线BA平行； ②＋＝；
③＋＝； ④＝－2.
其中，正确结论的序号为________．
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(1，λ)，c＝(3,4)．若a＋b与c共线，则实数λ＝________.
10．已知向量a＝(1,2)，写出一个与a共线的非零向量的坐标________．
三、解答题
11．已知a＝(x,1)，b＝(4，x)，a与b共线且方向相同，求x.
12．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.
13．如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．
14．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
2.3.4学案答案
例1（1）D
(2)因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，
＝(2－1,7－5)＝(1,2)，
因为2×2－1×4＝0，所以∥.
又＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，
＝(2,4)，2×4－2×6≠0，
所以与不平行．
所以A，B，C不共线，AB与CD不重合．
所以直线AB与CD平行．
跟踪训练1 D
例2. 方法一 ∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ.
∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
即
解得k＝－2或k＝11.
方法二 由题意知，共线．
∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.
跟踪训练2证明：由题意知＝－＝(4,8)，＝－＝(6,12)，所以＝，
即与共线．又因为与有公共点A，所以点A，B，C共线．
例3 ∵＝＝(0,5)＝，∴C(0，)．
∵＝＝(4,3)＝，∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝.
∵∥，
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
又＝，＝，
∵∥，∴x－4＝0，即7x－16y＝－20.②
2.3.1 平面向量基本定理
类型一 平面向量基本定理的理解
例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2； ②e1－2e2与e2－2e1；
③e1－2e2与4e2－2e1； ④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
跟踪训练1 下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )
A.①② B．②③ C．①③ D．①②③
类型二 用基底表示平面向量
例2 如图所示，在?ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a，b表示；
(2)若本例中的基向量“，”换为“，”即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
类型三 向量的夹角
例3 已知|a|＝|b|，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角及a－b与a的夹角．
跟踪训练3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角．
【巩固提升】
一、选择题
1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线 B．共线 C．相等 D．不确定
2．当向量a与b共线时，则这两个向量的夹角θ为( )
A．0° B．90° C．180° D．0°或180°
3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基底表示，则＝( )
A.(a－b) B．2b－a C.(b－a) D．2b＋a
4．在正方形ABCD中，与的夹角等于( )
A．45° B．90° C．120° D．135°
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A. B. C. D.
6．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
二、填空题
7．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
8．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________.
9．在正方形ABCD中，E是DC边上的中点，且＝a，＝b，则＝________.
10.如图，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
三、解答题
11．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
12．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．
13．如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.
14．在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点．求：
(1)与夹角的大小；
(2)与夹角的大小．
2.3.1答案
例1③
跟踪训练1 B
例2. ＝a－b.
＝b－a.
跟踪训练2. (1) ＝a＋b.
(2)＝－2b＋a.
＝－2a＋b.
例3. 【解析】 如图，作＝a，＝b，∠AOB＝120°，以，为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形．
所以与的夹角∠AOC＝60°，
与的夹角即为与的夹角∠ABC＝30°.
所以a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°.
跟踪训练3. 解析：如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，以OA，OB为邻边作?OACB，
则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形．
所以∠OAB＝60°＝∠ABC.
即a－b与a的夹角为60°.
因为|a|＝|b|，所以?OACB为菱形．
所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°.
即a＋b与a的夹角为30°.
巩固提升答案
1—6BDBDCB
7.3
8. 2a－b
9. b－a
10.
11. 解析：因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又因为e1，e2不共线，
所以解得所以c＝a－2b.
12. 解析：＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－
＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
13. 解析：根据平面向量基本定理可设＝ma＋nb(m，n∈R)，
则＝－＝(m－1)a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b，
∵A、M、D三点共线，∴＝λ(λ为实数)，∴＝－λa＋b，
∴消去λ得m＋2n＝1.
而＝－＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b，
∵C、M、B三点共线，∴＝μ(μ为实数)，
∴＝－a＋μb，
∴消去μ得4m＋n＝1.
由解得∴＝a＋b.
14. (1)如图所示，在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，
所以AB2＋BC2＝()2＋1＝22＝AC2，
所以△ABC为直角三角形．
因为tanA＝＝＝，
所以A＝30°.
又因为D为AC的中点，所以∠ABD＝∠A＝30°，
＝.
在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°，所以与的夹角为120°.
(2)因为＝，所以与的夹角也为120°.
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
类型一 求向量的坐标
例1 在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．
跟踪训练1 如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；＝________；＝________.
类型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A.(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a,2a＋3b的坐标．
跟踪训练2 (1)已知A、B、C的坐标分别为(2，－4)、(0,6)、(－8,10)，则＋2＝____________，－＝____________；
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,1)，若用a和b表示c，则c＝____________.
类型三 向量坐标运算的应用
例3 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
跟踪训练3 若保持本例条件不变，B为线段AP的中点，则t＝______.
【巩固提升】
一、选择题
1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是( )
A．(1，－2) B．(7,6) C．(5,0) D．(11,8)
2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是( )
A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4,2) D．(4，－2)
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0)
4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A. B. C．(3,2) D．(1,3)
6．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的点P满足＝＋λ，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B. C. D.
二、填空题
7．在平面直角坐标系内，已知i、j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量用坐标表示a＝________.
8．如下图所示，已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则向量的坐标为________．
9．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________.
10．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________．(只填序号)
①＝2i＋3j； ②＝3i＋4j； ③＝－5i＋j； ④＝5i－j.
三、解答题
11．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标．
12．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c.
(1)求p的坐标 ；
(2)若以a，b为基底，求p的表达式．
13．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，
∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
14．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
2.3.2-3答案
例1.a＝＝(，)，b＝＝.
跟踪训练1. (1，－1) (1,1) (－1,1)
例2.（1）A
(2) a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
跟踪训练2.
（1）＋2＝(－18,18)，－＝(－3，－3)．
(2)设c＝xa＋yb，则(x,2x)＋(－2y,3y)＝(x－2y,2x＋3y)＝(4,1)．
故解得所以c＝2a－b.
例3. (1)＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在第二象限，则所以－＜t＜－.
(2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则＝，所以该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．
跟踪训练3. 2
巩固提升答案
1-6DDAAAA
7. (1，－2)
8. (2，6)
9.-1
10. ①③④
11. 解析：由图形可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)．
12. 解析：(1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．
(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
所以
所以所以p＝－a－15b.
13. 解析：(1)设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，
即A(2，6)，
所以＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
14.解析：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以
所以
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1.
所以M.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以
