2．2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
类型一 已知向量作和向量
例1 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.
类型二 向量的加法运算
例2 化简：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
跟踪训练2 化简：
(1)＋＋；
(2)(＋)＋＋.
类型三 向量加法的实际应用
例3 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．现有一艘船从长江南岸A点出发，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h.
(1)试用向量表示水速、船速及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与水速之间的夹角表示，精确到度)．
跟踪训练3 本例中若该船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4 km/h，求水速大小．
【巩固提升】
一、选择题
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于( )
A. B. C. D.
2．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝0＋a＝a B.＋＋＝0
C.＋＝0 D.＋＝＋＋
3．设a表示“向东走5 km”，b表示“向南走5 km”，则a＋b表示( )
A．向东走10 km B．向南走10 km
C．向东南走10 km D．向东南走5 km
4．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．不确定
5．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B. C. D.
6．设a＝(＋C)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的有( )
①a∥b ②a＋b＝a ③a＋b＝b ④|a＋b|<|a|＋|b|
⑤|a＋b|＝|a|＋|b| ⑥|a＋b|>|a|＋|b|
A．①②⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．③④⑤⑥
二、填空题
7．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c＝________.
8．化简(＋)＋(＋)＋＝________.
9．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
10.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，则A和B处所受力的大小为________(绳子的重量忽略不计)．
三、解答题
11．如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
12.如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；
(2)＋.
13．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
14．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．
2.1.1 课后巩固提升答案
1—6 ABDACC
7. （注意是零向量，你要写上箭头）
8.
9.1
10. 5 N,5 N
11. 解析：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(1)；
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(2)；
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(3)．
12.
解析：(1)由图可知，四边形OABC为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
(2)由图可知，＝＝＝，所以＋＝＋＝.
13. 解析：如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，∴AB＝||＝3.
∴在Rt△BDC中，CD＝.
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
14.解析：如图，作?OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
设向量，分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且||＝300 N.
所以||＝||cos 30°＝150(N)，
||＝||cos 60°＝150 (N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
类型一 已知向量作差向量
例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
类型二 向量的减法运算
例2 化简(－)－(－)．
跟踪训练2 在四边形ABCD中，－－＝________.
类型三 利用已知向量表示未知向量
例3 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
跟踪训练3 本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？
【巩固提升】
一、选择题
1．下列运算中正确的是( )
A.－＝ B.－＝ C.－＝ D.－＝0
2．下列四式中不能化简为的是( )
A.＋(＋) B．(＋)＋(－)
C.－＋ D.＋－
3．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于( )
A. B. C. D.
4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c
5．给出下列各式：
①＋＋； ②－＋－；
③－－； ④－＋＋.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．平面内有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若|m|＝|n|，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
二、填空题
7.＋－＝________.
8．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
9．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
10．给出下列命题：
①若＋＝，则－＝；
②若＋＝，则＋＝；
③若＋＝，则－＝；
④若＋＝，则＋＝.
其中正确命题的序号为________．
三、解答题
11．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
12．化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
13.如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示； (2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示； (4)用d，c表示.
若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．
2.2.2向量减法巩固提升答案
1-6 CDCAAC
7.
8. 2
9. 2
10. ①②③④
11.
12．解析：(1)方法一 原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
方法二 原式＝＋＋＋
＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝.
(2)方法一 原式＝－＝.
方法二 原式＝－(＋)＝－＝.
13. 解析：＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＋＋＝a＋d＋e.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
14.解析：设＝a，＝b，
则a－b＝，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
∵＝a＋b，且在菱形OACB中，
对角线OC平分∠BOA.
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
类型一 向量的线性运算
例1 (1)计算：
4(a＋b)－3(a－b)－8a；
②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)．
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．
跟踪训练1 化简：
(1)－2；
(2).
类型二 向量共线条件的应用
例2 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
跟踪训练2 (1)已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于( )
A.－9 B．－4 C．4 D．9
(2)设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A.10 B．－10 C．2 D．－2
类型三 用已知向量表示其他向量
例3 如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________.
跟踪训练3 在本例中，若条件改为＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量.
【巩固提升】
一、选择题
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b B．a C．a－6b D．a－8b
2．点C在直线AB上，且＝3，则等于( )
A．－2 B. C．－ D．2
3．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 B. C．－1或4 D．3或4
4.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝( )
A．a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
5．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝( )
A. B. C. D.
6．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
二、填空题
7．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.
8．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
9．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．
10．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________.
三、解答题
11．计算
(1)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)；
(2)－.
12．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.
13．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e、f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
14．如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，A，D，E三点共线，求证：存在一个实数λ，使得＝λ(＋)．
2.2.3答案
例1(1)①－7a＋7b.
②－a－c.
5
(2)－i－5j.
3
跟踪训练1：(1)0（零向量）
511
(2)a－b.
318
→→→→→
例2(1)证明：因为AB＝e1＋
e2
，BD＝BC＋CD＝2e1
＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB.
→→
所以AB，BD共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)k＝±1.
跟踪训练2(1)B(2)C
11
例3.(1)e2
＋e1
(2)e1
－e2
24
11
跟踪训练3.－e2
－e
221
巩固提升：
1-6DDADAA
7.2
32
8.－
55
3
9.±
5
10.－2
72
11.(1)原式＝a＋b.
123
(2)原式＝0(零向量).
12.解析：如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.
在△ABC中，EP是中位线，
→1→1
所以PE＝BC＝a.
22
→1→1→1
在△ABD中，FP是中位线，所以PF＝AD＝－DA＝－b.
222
→→→→→111
在△EFP中，EF＝EP＋PF＝－PE＋PF＝－a－b＝－(a＋b)．
222
→→→→
13.解析：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2
－1－3)f＝－8e－2f.
→→→→→
(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以AD与BC方向相同，且AD的长度为
→
BC的长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
→1→→
14．证明：由向量加法的平行四边形法则可知AD＝(AB＋AC)．
2
→→
因为A，D，E三点共线，所以可设AE＝μAD，
→μ→→μ→→→
则AE＝(AB＋AC)．令λ＝，可得AE＝λ(AB＋AC)．
22
→→→
所以，存在一个实数λ，使得AE＝λ(AB＋AC)．
