第六章平面向量及其应用 学案+测试（Word版打包19份）

章末检测试卷一(第六章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)
1.若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则等于(　　)
A.(－2,3) B.(0,1)
C.(－1,2) D.(2，－3)
答案　D
解析　＝(－1,2)，＝(1，－1)，
所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3).
2.已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M的坐标分别为(　　)
A.B(5，－5)，M(0,0)
B.B(5，－5)，M
C.B(1,1)，M(0,0)
D.B(1,1)，M
答案　B
解析　＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)
＝(5，－5)，AB中点M.
3.已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任意一点，且(－)·(＋)＝0，则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
答案　A
解析　(－)·(＋)＝0?·(＋)＝0?(－)·(＋)＝0?||＝||，所以△ABC是等腰三角形.
4.已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)
A.－13 B.9 C.－9 D.13
答案　C
解析　设C点坐标为(6，y)，
则＝(－8,8)，＝(3，y＋6).
∵A，B，C三点共线，∴－8(y＋6)－8×3＝0，∴y＝－9.
5.已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　依题意设a＝4k，b＝3k，c＝2k(k>0)，则cos B＝＝＝.
6.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·等于(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
答案　A
解析　∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.
7.已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋λb与a垂直，则λ等于(　　)
A.－2 B.1 C.－1 D.0
答案　C
解析　a＋λb＝(1＋4λ，－3－2λ)，
因为a＋λb与a垂直，所以(a＋λb)·a＝0，
即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1.
8.已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　)
A.2 B. C.0 D.－
答案　B
解析　∵a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，
a·b＝××cos ，
∴3＋m＝××cos ，
∴m＝.
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos A＋acos C＝2c，若a＝b，则sin B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵ccos A＋acos C＝2c，
∴由正弦定理可得sin Ccos A＋sin Acos C＝2sin C，
∴sin(A＋C)＝2sin C，∴sin B＝2sin C，∴b＝2c，
又a＝b，∴a＝2c.
∴cos B＝＝＝，
∵B∈(0，π)，∴sin B＝＝.
10.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
答案　B
解析　为方向上的单位向量，
为方向上的单位向量，
则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向.
又λ∈(0，＋∞)，
所以λ的方向与＋的方向相同.
而＝＋λ，
所以点P在上移动，
所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
11.对于任意的平面向量a，b，c，下列说法中错误的是(　　)
A.若a∥b且b∥c，则a∥c
B.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C.若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
D.(a·b)c＝a(b·c)
答案　ACD
解析　选项A中，若b＝0，则命题不成立；
选项C中，若a和b，c都垂直，显然b，c在模长方面没有任何关系，所以命题不成立；
选项D中，(a·b)c是一个与向量c共线的向量，而a(b·c)是一个与向量a共线的向量，错误；B显然成立.
12.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中正确的是(　　)
A.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
答案　AC
解析　由＝＝，
利用正弦定理可得＝＝，
即tan A＝tan B＝tan C，
所以A＝B＝C，△ABC是等边三角形，A正确；
由acos A＝bcos B，可得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
△ABC是等腰三角形或直角三角形，B不正确；
由bcos C＋ccos B＝b，
可得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
即sin(B＋C)＝sin B，所以sin A＝sin B，
则A＝B，△ABC是等腰三角形，C正确；
由余弦定理可得cos C＝>0，角C为锐角，角A，B不一定是锐角，D不正确.
13.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　)
A.若＝＋，则点M是边BC的中点
B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是的△ABC面积的
答案　ACD
解析　A.＝＋?－＝－，即＝，则点M是边BC的中点；
B.＝2－，则点M在边CB的延长线上，所以B错误.
C.如图，设BC中点D，则＝－－＝＋＝2，由重心性质可知C成立.
D.＝x＋y，且x＋y＝?2＝2x＋2y，2x＋2y＝1，设＝2，
所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
14.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________.
答案　
解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，
依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
15.在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝________.
答案　105°或15°
解析　由正弦定理＝，
得sin B＝＝＝.
∵0°∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，则A＝________；若m∥n，则A＝________.
答案　　
解析　若m⊥n，
则cos A－sin A＝0，
所以tan A＝，则A＝.
若m∥n，则sin A＋cos A＝0，
所以tan A＝－，则A＝.
17.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝________.
答案　2
解析　以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系(图略)，
则由题意得A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，M.
所以＝，＝，
所以·＝－＝2.
三、解答题(本大题共6小题，共82分)
18.(12分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥.
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值.
解　(1)因为＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，
所以＝＋＋＝(3,3＋m＋n)，
因为∥，所以＝λ，
即解得n＝－3.
(2)因为＝＋＝(2,3＋m)，
＝＋＝(4，m－3)，
又⊥，所以·＝0，
即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1.
19.(12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1).
(1)求a·b，|a＋b|；
(2)求a与b的夹角的余弦值.
解　(1)因为e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以a＝3e1－2e2＝(3，－2)，
b＝4e1＋e2＝(4,1)，
所以a·b＝(3，－2)·(4,1)＝12－2＝10，
a＋b＝(7，－1)，
所以|a＋b|＝＝5.
(2)设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
20.(14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.求tan C的值.
解　由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，所以－cos 2B＝sin2C.
由A＝，得B＋C＝π，
则－cos 2B＝－cos＝sin 2C
＝2sin Ccos C，
所以sin2C＝2sin Ccos C，又sin C≠0，解得tan C＝2.
21.(14分)甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？
解　如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在C处相遇.
在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，
∠ABC＝180°－45°－15°＝120°.
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，
即(28t)2＝92＋(20t)2－2×9×20t×，
128t2－60t－27＝0，∴t＝或t＝－(舍去)，
所以甲船用小时能最快追上乙船.
22.(15分)在△ABC中，若c＝，C＝，求a－b的取值范围.
解　∵C＝，∴A＋B＝π，
∴外接圆直径2R＝＝＝2.
∴a－b＝2Rsin A－·2Rsin B
＝2sin A－sin B＝2sin A－sin
＝sin.
∵0∴－－1<sin<.
即a－b∈(－1，).
23.(15分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置.
解　(1)由＝，
可得＝＋＝－＋.
∵＝，∴＝＋＝－＋.
(2)将＝－＋，＝－＋
代入＝＋λ＝＋μ，
则有＋λ＝＋μ，
即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)，
∵，不共线，
∴解得
(3)设＝m，＝n.
由(2)知＝＋，
∴＝－＝n－＝n－＝·＋＝m＝m－m，
∴解得
∴＝，即＝2，
∴点P在BC的三等分点且靠近点C处.
章末检测试卷一(第六章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则等于(　　)
A.(－2,3) B.(0,1)
C.(－1,2) D.(2，－3)
答案　D
解析　＝(－1,2)，＝(1，－1)，
所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3).
2.已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任意一点，且(－)·(＋)＝0，则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
答案　A
解析　(－)·(＋)＝0?·(＋)＝0?(－)·(＋)＝0?||＝||，所以△ABC是等腰三角形.
3.已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)
A.－13 B.9 C.－9 D.13
答案　C
解析　设C点坐标为(6，y)，
则＝(－8,8)，＝(3，y＋6).
∵A，B，C三点共线，∴－8(y＋6)－8×3＝0，∴y＝－9.
4.已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　依题意设a＝4k，b＝3k，c＝2k(k>0)，则cos B＝＝＝.
5.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·等于(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
答案　A
解析　∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.
6.已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋λb与a垂直，则λ等于(　　)
A.－2 B.1 C.－1 D.0
答案　C
解析　a＋λb＝(1＋4λ，－3－2λ)，
因为a＋λb与a垂直，所以(a＋λb)·a＝0，
即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1.
7.已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　)
A.2 B. C.0 D.－
答案　B
解析　∵a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，
a·b＝××cos ，
∴3＋m＝××cos ，
∴m＝.
8.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
答案　B
解析　为方向上的单位向量，
为方向上的单位向量，
则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向.
又λ∈(0，＋∞)，
所以λ的方向与＋的方向相同.
而＝＋λ，
所以点P在上移动，
所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.已知A(2，－3)，＝(3，－2)，点M为线段AB的中点，则下列点的坐标正确的是(　　)
A.B(5，－5) B.B(1,1)
C.M D.M(0,0)
答案　AC
10.对于任意的平面向量a，b，c，下列说法中错误的是(　　)
A.若a∥b且b∥c，则a∥c
B.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C.若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
D.(a·b)c＝a(b·c)
答案　ACD
解析　选项A中，若b＝0，则命题不成立；
选项C中，若a和b，c都垂直，显然b，c在模长方面没有任何关系，所以命题不成立；
选项D中，(a·b)c是一个与向量c共线的向量，而a(b·c)是一个与向量a共线的向量，错误；B显然成立.
11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中正确的是(　　)
A.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
答案　AC
解析　由＝＝，
利用正弦定理可得＝＝，
即tan A＝tan B＝tan C，
所以A＝B＝C，△ABC是等边三角形，A正确；
由acos A＝bcos B，可得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
△ABC是等腰三角形或直角三角形，B不正确；
由bcos C＋ccos B＝b，
可得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
即sin(B＋C)＝sin B，所以sin A＝sin B，
则A＝B，△ABC是等腰三角形，C正确；
由余弦定理可得cos C＝>0，角C为锐角，角A，B不一定是锐角，D不正确.
12.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　)
A.若＝＋，则点M是边BC的中点
B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是的△ABC面积的
答案　ACD
解析　A.＝＋?－＝－，即＝，则点M是边BC的中点；
B.＝2－，则点M在边CB的延长线上，所以B错误.
C.如图，设BC中点D，则＝－－＝＋＝2，由重心性质可知C成立.
D.＝x＋y，且x＋y＝?2＝2x＋2y，2x＋2y＝1，设＝2，
所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________.
答案　
解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，
依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
14.在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝________.
答案　105°或15°
解析　由正弦定理＝，
得sin B＝＝＝.
∵0°∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.
15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，则A＝________；若m∥n，则A＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
答案　　
解析　若m⊥n，
则cos A－sin A＝0，
所以tan A＝，则A＝.
若m∥n，则sin A＋cos A＝0，
所以tan A＝－，则A＝.
16.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝________.
答案　2
解析　以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系(图略)，
则由题意得A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，M.
所以＝，＝，
所以·＝－＝2.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥.
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值.
解　(1)因为＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，
所以＝＋＋＝(3,3＋m＋n)，
因为∥，所以＝λ，
即解得n＝－3.
(2)因为＝＋＝(2,3＋m)，
＝＋＝(4，m－3)，
又⊥，所以·＝0，
即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1.
18.(12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1).
(1)求a·b，|a＋b|；
(2)求a与b的夹角的余弦值.
解　(1)因为e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以a＝3e1－2e2＝(3，－2)，
b＝4e1＋e2＝(4,1)，
所以a·b＝(3，－2)·(4,1)＝12－2＝10，
a＋b＝(7，－1)，
所以|a＋b|＝＝5.
(2)设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
19.(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.求tan C的值.
解　由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，所以－cos 2B＝sin2C.
由A＝，得B＋C＝π，
则－cos 2B＝－cos＝sin 2C
＝2sin Ccos C，
所以sin2C＝2sin Ccos C，又sin C≠0，解得tan C＝2.
20.(12分)甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？
解　如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在C处相遇.
在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，
∠ABC＝180°－45°－15°＝120°.
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，
即(28t)2＝92＋(20t)2－2×9×20t×，
128t2－60t－27＝0，∴t＝或t＝－(舍去)，
所以甲船用小时能最快追上乙船.
21.(12分)在△ABC中，若c＝，C＝，求a－b的取值范围.
解　∵C＝，∴A＋B＝π，
∴外接圆直径2R＝＝＝2.
∴a－b＝2Rsin A－·2Rsin B
＝2sin A－sin B＝2sin A－sin
＝sin.
∵0∴－－1<sin<.
即a－b∈(－1，).
22.(12分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置.
解　(1)由＝，
可得＝＋＝－＋.
∵＝，∴＝＋＝－＋.
(2)将＝－＋，＝－＋
代入＝＋λ＝＋μ，
则有＋λ＝＋μ，
即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)，
∵，不共线，
∴解得
(3)设＝m，＝n.
由(2)知＝＋，
∴＝－＝n－＝n－＝·＋＝m＝m－m，
∴解得
∴＝，即＝2，∴点P在BC的三等分点且靠近点C处.

6.1　平面向量的概念
学习目标　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
知识点一　向量的概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.
知识点二　向量的几何表示
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||.
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，).
3.模、零向量、单位向量
向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
思考　“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
答案　错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.
知识点三　相等向量与共线向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.
(2)规定：零向量与任意向量平行.
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
思考　(1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
答案　(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.
1.如果||>||，那么>.(　×　)
提示　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
2.若a，b都是单位向量，则a＝b.(　×　)
提示　a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b的方向可能不同.
3.力、速度和质量都是向量.(　×　)
提示　质量不是向量.
4.零向量的大小为0，没有方向.(　×　)
提示　任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.
一、向量的概念
例1　(多选)下列说法错误的有(　　)
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量都是相等的
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
答案　BCD
解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.
反思感悟　解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
跟踪训练1　下列说法中正确的是(　　)
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
答案　D
解析　不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
二、向量的几何表示及应用
例2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解　(1)向量，，如图所示.
(2)由题意，可知与方向相反，故与共线，
∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，∴||＝||＝200 km.
反思感悟　作向量的方法
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练2　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解　(1)根据相等向量的定义，所作向量b与向量a方向相同，且长度相等(作图略).
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略).
三、相等向量与共线向量
例3　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与共线的向量；
(2)写出模与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量.
解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，EF＝BC.
又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)模与的模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
反思感悟　相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
跟踪训练3　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有几个？
解　(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.
(2)存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个.
(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个.
特殊向量的作用
典例　给出下列命题：
①若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；
④若a＝b，b＝c，则a＝c，
其中正确的是________.(填序号)
答案　④
解析　由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a＝0，则对于任意的向量b，都有a∥b，知①错误；取b＝0，则对于任意的向量a，c都有a∥b，b∥c，知②错误；两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知③错误；由两个向量相等的概念可知④正确.
[素养提升]　(1)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需要准确理解概念进行推理，这正体现了数学中逻辑推理的核心素养.
(2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆.
例如：零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立.
1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(　　)
A.单位圆 B.一段弧
C.线段 D.直线
答案　A
2.(多选)下列说法错误的有(　　)
A.共线的两个单位向量相等
B.相等向量的起点相同
C.若∥，则一定有直线AB∥CD
D.若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
答案　ABCD
解析　A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错，直线AB与CD可能重合；D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线.
3.若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
答案　C
解析　因为＝，
所以四边形ABCD为平行四边形，
又||＝||，即邻边相等，
所以四边形ABCD为菱形.
4.如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有________.(填序号)
①＝；
②∥；
③与共线；
④＝.
答案　①②③
解析　与方向相同，长度相等，∴①正确；
∵A，O，C三点在一条直线上，
∴∥，②正确；
∵AB∥DC，∴与共线，③正确；
与方向不同，∴二者不相等，④错误.
5.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
答案　0
解析　与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行.
1.知识清单：
(1)向量的基本概念.
(2)向量的几何表示.
(3)相等向量与共线向量(平行向量).
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视零向量这一特殊向量.
1.给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.
其中是向量的有(　　)
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
答案　A
解析　速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有大小和方向.
2.(多选)下列命题中错误的有
A.温度含零上和零下温度，所以温度是向量
B.向量的模是一个正实数
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.若|a|>|b|，则a>b
答案　ABD
解析　温度没有方向，所以不是向量，故A错；向量的模也可以为0，故B错；向量不可以比较大小，故D错；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故若a与b不共线，则应均为非零向量，故C对.
3.设O是△ABC的外心，则，，是(　　)
A.相等向量 B.模相等的向量
C.平行向量 D.起点相同的向量
答案　B
解析　因为O是△ABC的外心，所以||＝||＝||.
4.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　)
A.＝ B.||＝||
C.> D.<
答案　B
解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等.
5.下列说法正确的是(　　)
A.若a∥b，则a＝b
B.若|a|＝|b|，则a＝b
C.若a＝b，则a与b共线
D.若a≠b，则a一定不与b共线
答案　C
解析　A中，当a∥b时，不能得到a＝b，A不正确；B中，向量的模相等，但a与b的方向不确定，B不正确；D中，a≠b，a可与b共线.
6.若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移的大小是________ km，方向是________.
答案　5　西北方向
7.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
答案　2
解析　由题意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，
设AC与BD的交点为O，
∴在Rt△ABO中，||＝||·cos 30°＝2×＝，
∴||＝2||＝2.
8.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是________.(填序号)
①与相等的向量只有1个(不含)；
②与的模相等的向量有9个(不含)；
③的模恰为的模的倍；
④与不共线.
答案　①②③
解析　由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项①②正确.而Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，所以||＝||，故||＝||，因此选项③正确.由于＝，因此与是共线的，故填①②③.
9.如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，求证：＝.
证明　∵＝，∴AB＝DC且AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴＝，
又＝，∴CN＝MA，CN∥MA，
∴四边形CNAM是平行四边形，
∴＝，∴CM＝NA，CM∥NA.
∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN.
又DN∥MB，∴与的模相等且方向相同，
∴＝.
10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位移.
解　(1)向量，，，如图所示.
(2)由题意知＝，
∴AD∥BC，AD＝BC，
则四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，则B地相对于A地的位移为“北偏东60°，长度为6千米”.
11.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(　　)
A.||＝|| B.与共线
C.与共线 D.＝
答案　C
12.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||＝________.
答案　1
解析　连接AC，由||＝||得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，
则||＝||＝×2＝1.
13.已知在四边形ABCD中，＝且||＝||＝||＝2，则该四边形内切圆的面积是________.
答案　
解析　由＝知四边形ABCD为平行四边形，由||＝||＝||知四边形ABCD为菱形，△ABD为等边三角形，故∠ABC＝120°，菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处，令其半径为r，则r＝||sin 60°＝，所以S圆＝πr2＝π×2＝.
14.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 km，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向
40 km处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移.
解　(1)如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB＋BC＝70(km).
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为||＝＝50(km)，由于sin∠BAC＝，故方向为北偏东∠BAC，其中sin∠BAC＝.
15.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
解　(1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同.
16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值.
解　(1)画出所有的向量，如图所示.
(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，
||取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.
所以||的最大值为，最小值为.
6.2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算
学习目标　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.
知识点一　向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作?OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
思考　|a＋b|与|a|，|b|有什么关系？
答案　(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
知识点二　向量加法的运算律
向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
1.0＋a＝a＋0＝a.(　√　)
2.＋＝.(　√　)
3.＋＝0.(　√　)
4.＋>.(　×　)
5.||＋||＝||.(　×　)
一、向量加法法则
例1　(1)如图①所示，求作向量a＋b.
(2)如图②所示，求作向量a＋b＋c.
解　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示.
(2)方法一　(三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求.
　　　
方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，
则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，
则＝＋＝a＋b＋c即为所求.
反思感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别
联系
三角形法则
(1)首尾相接
(2)适用于任何向量求和
三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则
(1)共起点
(2)仅适用于不共线的两个向量求和
跟踪训练1　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.
(1)＋＝________；(2)＋＝________；(3)＋＝________.
答案　(1)　(2)　(3)0
解析　(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝.
(2)因为＝，故＋与方向相同，长度为的长度的2倍，故＋＝.
(3)因为＝，故＋＝＋＝0.
二、向量加法运算律的应用
例2　化简：
(1)＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋.
解　(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
跟踪训练2　已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
答案　2
解析　|＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
三、向量加法的实际应用
例3　河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度.
解　设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作＝a，＝b，以，为邻边作矩形OACB，连接，如图，则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度.
∴||＝＝＝20(km/h)，
tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°，
∴小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行.
反思感悟　应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.
跟踪训练3　如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
解　如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||cos 30°
＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°
＝10×＝5(N).
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
1.化简＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　根据平面向量的加法运算，
得＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
2.下列等式不正确的是(　　)
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；
②＋＝0；
③＝＋＋.
A.②③ B.② C.① D.③
答案　B
解析　②错误，＋＝0，①③正确.
3.在四边形ABCD中，＝＋，则(　　)
A.四边形ABCD一定是矩形
B.四边形ABCD一定是菱形
C.四边形ABCD一定是正方形
D.四边形ABCD一定是平行四边形
答案　D
解析　由＝＋知，A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形.
4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
5.已知向量a表示“向东航行3 km”，b表示“向南航行3 km”，则a＋b表示_________.
答案　向东南航行3 km
解析　根据题意由于向量a表示“向东航行3 km”，向量b表示“向南航行3 km”，那么可知a＋b表示向东南航行3 km.
1.知识清单：
(1)向量加法的三角形法则.
(2)向量加法的平行四边形法则.
(3)向量加法的运算律.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点.
1.化简＋＋等于(　　)
A. B. C.0 D.
答案　D
解析　＋＋＝＋＝.
2.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)
A.0 B.
C. D.
答案　D
解析　＋＋＝＋＋＝＋＝.
3.若正方形ABCD的边长为1，则|＋|等于(　　)
A.1 B.
C.3 D.2
答案　B
解析　在正方形ABCD中，AB＝1，可知AC＝，
所以|＋|＝||＝AC＝.
4.已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是(　　)
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝ D.＋＝
答案　C
5.(多选)下列说法错误的有(　　)
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同
B.在△ABC中，必有＋＋＝0
C.若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D.若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|
答案　ACD
解析　A错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；
B正确；C错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；D错，|a＋b|≤|a|＋|b|.
6.已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则a＋b＋c＋d＝________.
答案　e
解析　a＋b＋c＋d＝＋＋＋＝＝e.
7.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
答案　1
解析　如图，由题意知△ABD为等边三角形，
所以|＋|＝||＝||＝1.
8.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.
(1)＋＋＝________；
(2)＋＋＝________.
答案　(1)　(2)0
9.如图，已知在?ABCD中，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：
(1)＋；(2)＋.
解　(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量即为所求.
(2)在AB上取点G，使AG＝AB，则向量即为所求.
10.在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
解　作出图形，如图所示.
设船速v船与岸的方向成α角，
由图可知v水＋v船＝v实际，
结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，
∴α＝60°，从而船行进的方向与水流方向成120°角.
∴船是沿与水流方向成120°角的方向行进.
11.在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为(　　)
A.2 B.4 C.12 D.6
答案　B
解析　因为＋＝，
所以＋＋的长度为的模的2倍.
又||＝＝2，
所以向量＋＋的长度为4.
12.若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是(　　)
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
答案　D
解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC＝1，AD＝，∴∠ABD为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形.
13.已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.
答案　0
解析　如图所示，连接AG并延长交BC于点E，点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0，∴＋＋＝0.
14.如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N.则F1和F2的合力为________ N.
答案　12
解析　如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝.
在△OCA中，||＝24，
||＝12，∠OAC＝60°，
∴∠OCA＝90°，∴||＝12.
∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为与F2成90°角，竖直向上.
15.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
证明　＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
16.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：＋＋＝0.
证明　由题意知，＝＋，
＝＋，＝＋.
由平面几何知识可知，＝，＝，
所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋)＋0
＝＋＋＝＋＋＝0.
6.2.2　向量的减法运算
学习目标　1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.
知识点一　相反向量
1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
知识点二　向量的减法
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
思考　若a，b是不共线向量，|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？
答案　如图所示，设＝a，＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
1.相反向量就是方向相反的向量.(　×　)
提示　相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系.
2.向量与是相反向量.(　√　)
提示　与大小相等、方向相反.
3.a－b＝b－a.(　×　)
提示　向量减法不满足交换律.
4.两个相等向量之差等于0.(　×　)
提示　两个相等向量之差等于0.
一、向量的减法运算
例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
　　　
方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可.
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
跟踪训练1　如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：b＋c－a.
解　方法一　以，为邻边作?OBDC，连接OD，AD，
则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.
方法二　作＝＝b，
连接AD，则＝－＝c－a，
＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.
二、向量减法法则的应用
例2　(1)化简：(－)＋(－)＝________.
答案　
解析　原式＝＋＋－＝＋－＝.
(2)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　)
A.0 B.
C. D.
答案　A
解析　＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0.
反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和.
②起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.
跟踪训练2　如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.
答案　a＋c－b
解析　由已知＝，
则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b.
1.在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a B.a＋b
C.b－a D.a－b
答案　D
解析　＝－＝a－b.
2.化简－＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.
3.已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　　)
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
答案　A
解析　由－＝－，可得＝，
所以四边形ABCD一定是平行四边形.
4.下列等式成立的个数是(　　)
①a＋b＝b＋a；
②a－b＝b－a；
③0－a＝－a；
④－(－a)＝a；
⑤a＋(－a)＝0.
A.5 B.4 C.3 D.2
答案　B
解析　由题意知，①③④⑤成立.
5.(多选)下列各向量运算的结果与相等的有(　　)
A.＋ B.－
C.－ D.－
答案　AD
解析　由题意知，AD正确.
1.知识清单：
(1)向量的减法运算.
(2)向量减法的几何意义.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视向量共起点，才可用减法法则.
1.如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　)
A.a＋b和a－b
B.a＋b和b－a
C.a－b和b－a
D.b－a和b＋a
答案　B
解析　由向量的加法、减法法则，
得＝＋＝a＋b，
＝－＝b－a.
2.－－＋等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
3.下列各式中，恒成立的是(　　)
A.＝ B.a－a＝0
C.－＝ D.－＋＝0
答案　D
解析　选项D中，－＋＝＋＋＝＋＝0.
4.(多选)下列四个式子中可以化简为的是(　　)
A.＋－ B.－
C.＋ D.－
答案　AD
5.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A.a－b＋c
B.b－(a＋c)
C.a＋b＋c
D.b－a＋c
答案　A
解析　＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
6.－－－＝________.
答案　
解析　－－－＝(－)－(＋)
＝－0＝.
7.若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
答案　2
解析　|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
8.在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为________.
答案　
解析　如图，作菱形ABCD，
则|－|＝|－|
＝||＝.
9.如图，已知a，b，求作a－b.
解　如图，即为所求作的a－b.
10.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，试求：|a－b＋c|.
解　作＝，连接CF(图略)，则＋＝，
而＝－＝－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
∴|a－b＋c|＝2.
11.若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　)
A.[3,8] B.(3,8)
C.[3,13] D.(3,13)
答案　C
解析　∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||，
∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13.
12.平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则(　　)
A.A，B，C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
答案　C
解析　如图所示，作?ABCD，
则＋＝，
－＝－＝.
∵|m|＝|n|，∴||＝||.
∴?ABCD为矩形，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°.
13.已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
答案　13
解析　∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.
∵＝a，＝b，
∴a－b＝－＝，∴|a－b|＝||＝13.
14.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c.证明：b＋c－a＝.
证明　b＋c－a＝＋－＝＋－＝－＝＋＝.
15.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
答案　2
解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，
由向量加减法的几何意义可知，
＝＋，＝－，
∵|＋|＝|－|，
∴||＝||，
又||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
16.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
解　∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝c，
＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
6.2.3　向量的数乘运算
学习目标　1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.
知识点一　向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝0.
当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
知识点二　向量数乘的运算律
1.(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识点三　向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
思考　向量共线定理中为什么规定a≠0?
答案　若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线.
(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.
1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(　×　)
提示　当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一.
2.若b＝λa，则a与b共线.(　√　)
3.若λa＝0，则a＝0.(　×　)
提示　若λa＝0，则a＝0或λ＝0.
4.|λa|＝λ|a|.(　×　)
提示　|λa|＝|λ|·|a|.
一、向量的线性运算
例1　(1)若a＝2b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　)
A.－a B.－b
C.－c D.以上都不对
答案　C
解析　原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b
＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.
(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
答案　4b－3a
解析　由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，
所以x＝4b－3a.
反思感悟　向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.
跟踪训练1　计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
解　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.
二、用已知向量表示其他向量
例2　如图，在?ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a－b B.a＋b
C.a＋b D.a－b
答案　D
解析　因为E是BC的中点，
所以＝＝－＝－b，
所以＝＋＝＋＝a－b.
反思感悟　用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
跟踪训练2　在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　)
A.＋ B.－
C.－ D.＋
答案　D
解析　示意图如图所示，
由题意可得＝＋
＝＋
＝＋(－)＝＋.
三、向量共线的判定及应用
例3　设a，b是不共线的两个向量.
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
(1)证明　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，
∴与共线，且有公共点B，
∴A，B，C三点共线.
(2)解　∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a与b不共线，∴
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
反思感悟　(1)证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可.
(2)利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
跟踪训练3　已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________.
答案　A，B，D
解析　∵＝e1＋2e2，＝＋
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2，
∴，共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
三点共线的常用结论
典例　如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　连接AO(图略)，∵O是BC的中点，
∴＝(＋).
又∵＝m，＝n，∴＝＋.
又∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，则m＋n＝2.
[素养提升]　(1)本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点?存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1.
(2)应用时一定注意O是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养.
1.下列运算正确的个数是(　　)
①(－3)·2a＝－6a；
②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；
③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；③(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.
2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.(a－b) B.－(a－b)
C.(a＋b) D.－(a＋b)
答案　C
解析　因为M是BC的中点，所以＝(a＋b).
3.设P是△ABC所在平面内一点，＋＝2，则(　　)
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
答案　B
解析　因为＋＝2，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确.
4.化简4(a－3b)－6(－2b－a)＝________.
答案　10a
解析　4(a－3b)－6(－2b－a)＝4a－12b＋12b＋6a＝10a.
5.设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝________.
答案　－
解析　因为A，B，D三点共线，
故存在一个实数λ，使得＝λ，
又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，
所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
所以解得k＝－.
1.知识清单：
(1)向量的数乘及运算律.
(2)向量共线定理.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量.
1.下列说法中正确的是(　　)
A.λa与a的方向不是相同就是相反
B.若a，b共线，则b＝λa
C.若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D.若b＝±2a，则|b|＝2|a|
答案　D
解析　显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.
2.(多选)下列各式计算正确的有(　　)
A.(－7)6a＝－42a
B.7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C.a－2b＋a＋2b＝2a
D.4(2a＋b)＝8a＋4b
答案　ACD
解析　ACD正确，B错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
3.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)
A.k＝0 B.k＝1
C.k＝2 D.k＝
答案　D
解析　∵向量m与向量n共线，
∴设m＝λn(λ∈R)，∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1，
∵e1与e2不共线，
∴∴
4.下列各组向量中，一定能推出a∥b的是(　　)
①a＝－3e，b＝2e；
②a＝e1－e2，b＝－e1；
③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋.
A.① B.①② C.②③ D.①②③
答案　B
解析　①中，a＝－b，所以a∥b；
②中，b＝－e1＝＝－a，所以a∥b；
③中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线.
5.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是(　　)
①m(a－b)＝ma－mb；
②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；
④若ma＝na，则m＝n.
A.②④ B.①② C.①③ D.③④
答案　B
解析　由向量数乘的运算律知①②正确；③中当m＝0时，ma＝mb，但a不一定等于b，故错误；④中当a＝0时等式成立，但m不一定等于n，故错误.
6.已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________.
答案　±
解析　由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.
∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝，即λ＝±.
7.(a＋2b)－(5a－2b)＋a＝________.
答案　－a＋b
解析　原式＝a＋b－a＋b＋a＝a＋b＝－a＋b.
8.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示)
答案　－a＋b
解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋＝－a＋b.
9.计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).
解　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)
＝6a＋2b.
10.设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka＋b与8a＋kb的方向相反，求k的值.
解　由题意可知存在实数λ使2ka＋b＝λ(8a＋kb)，
即2ka＋b＝8λa＋λkb，
所以
解得或
∵2ka＋b与8a＋kb的方向相反，
则k＝2不符合题意，舍去，
∴k＝－2.
11.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　如图，＋＝＋＋＋
＝＋＝(＋)
＝×2＝.
12.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝＋λ，则λ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵A，B，D三点共线，
∴＋λ＝1，λ＝.
13.如果实数p和非零向量a与b满足pa＋(p＋1)b＝0，则向量a和b________.(填“共线”或“不共线”)
答案　共线
解析　由题知实数p≠0，则pa＋(p＋1)b＝0可化为a＝－b，由向量共线定理可知a，b共线.
14.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
答案　3
解析　∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心.
∴＋＝3，∴m＝3.
15.已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形.
证明　如图所示.
∵＝＋＋
＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2.
∴与共线，且||＝2||.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形.
16.设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论.
解　b与a＋c共线.证明如下：
∵a＋b与c共线，
∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，
∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa.②
由①－②得，a－c＝λc－μa.
∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.
又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.
∴a＋c＝－b.
故a＋c与b共线.
6.2.4　向量的数量积
学习目标　1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.
知识点一　两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
知识点二　向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
思考　若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0.
答案　在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
知识点三　投影向量
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
知识点四　平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.
(2)a⊥b?a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
知识点五　平面向量数量积的运算律
1.a·b＝b·a(交换律).
2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).
3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
思考　若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?
答案　不可以.
已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc?a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：
如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，
b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.
所以a·b＝b·c，但是a≠c.
1.向量a在向量b上的投影向量一定与b共线.(　√　)
2.若a·b<0，则a与b的夹角为钝角.(　×　)
3.向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c).(　×　)
4.已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.(　×　)
一、求两向量的数量积
例1　已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
解　(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
反思感悟　求平面向量数量积的方法
计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
跟踪训练1　已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b).
解　(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6|a|2＋5a·b－6|b|2
＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72
＝－268.
二、向量的模和夹角的计算问题
例2　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案　2
解析　方法一
|a＋2b|＝
＝
＝
＝＝2.
方法二　(数形结合法)
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
①求|b|；
②当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值.
解　①因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，
即|a|2－|b|2＝，
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
②因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2
＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，
所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
反思感悟　(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方.
(2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.
跟踪训练2　已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角.
解　∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2.
|a|＝|b|＝2，∴a·b＝2，
设a与b的夹角为θ，∴cos θ＝＝，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
三、与垂直有关的问题
例3　已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A.4 B.－4 C. D.－
答案　B
解析　由题意知，＝＝，
所以m·n＝|n|2＝n2，
因为n·(tm＋n)＝0，
所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，
所以t＝－4.
反思感悟　解决有关垂直问题时利用a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量).
跟踪训练3　已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小.
解　设a与b的夹角为θ，
由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2
＝3＋10cos θ－8＝0，
所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，
所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
1.对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是(　　)
A.|a·b|＝|a||b| B.|a＋b|＝|a|＋|b|
C.(a·b)c＝a(b·c) D.|a|＝
答案　D
解析　因为a·b＝|a||b|cos θ(θ为a，b夹角)，
所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；
根据向量加法的平行四边形法则，
|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；
因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；
因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，
所以|a|＝，所以D正确.
2.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　)
A.e1在e2方向上的投影向量为cos θe2
B.e＝e
C.(e1＋e2)⊥(e1－e2)
D.e1·e2＝1
答案　ABC
解析　因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ，
则|e1|＝|e2|＝1，则e1在e2方向上的投影向量为|e1|cos θe2＝cos θe2，故A正确；
e＝e＝1，故B正确；
(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝0，
故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确；
e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ，故D错误.
3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　)
A.－2 B.－1 C.1 D.2
答案　B
解析　因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.
4.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为________.
答案　
解析　|a－b|＝＝＝，
设向量a与a－b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
5.已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b的方向上的投影向量为________.
答案　e
解析　设a与b的夹角为θ，
因为a·b＝|a||b|cos θ＝12，
又|b|＝5，所以|a|cos θ＝，
即a在b方向上的投影向量为e.
1.知识清单：
(1)向量数量积的定义.
(2)向量数量积的性质.
(3)投影向量.
(4)向量数量积的运算律.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视向量数量积不满足结合律；向量夹角共起点；a·b>0?两向量夹角为锐角，a·b<0?两向量夹角为钝角.
1.已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　A
解析　a·b＝|a||b|cos?＝1×2×cos?＝1.
2.在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　)
A.－2 B.2 C.－2 D.2
答案　B
解析　·＝||||cos∠ABC＝2××cos 45°＝2.
3.已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于(　　)
A.16 B.256 C.8 D.64
答案　A
解析　方法一　∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.
方法二　由题意知2a＝b，
∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16.
4.已知|a|＝8，与a同向的单位向量为e，|b|＝4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为(　　)
A.4e B.－4e C.2e D.－2e
答案　D
解析　向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cos 120°e＝4×cos 120°e＝－2e.
5.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
答案　A
解析　∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②
由①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.
6.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________.
答案　等边三角形
解析　·＝||||cos∠BAC，
即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，
因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.
7.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝________.
答案　
解析　∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝.
8.已知向量⊥，||＝3，则·＝________.
答案　9
解析　∵⊥，∴·＝·(－)
＝·－2＝·－9＝0，即·＝9.
9.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；(2)|c＋2d|.
解　(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b
＝2×4－2×1＋3×2×1×＝9.
(2)|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b
＝16×4＋9×1＋24×2×1×＝97，
∴|c＋2d|＝.
10.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，求β的余弦值.
解　因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，
所以|a|＝3，
b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，
所以|b|＝2，
a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，
所以cos β＝＝＝.
11.在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于(　　)
A. B.6 C.12 D.18
答案　D
解析　如图，过点O作OD⊥AB于D，
可知AD＝AB＝3，
则·＝(＋)·＝·＋·＝3×6＋0＝18.
12.已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60° ，则·等于(　　)
A.－a2 B.－a2 C.a2 D.a2
答案　D
解析　如图所示，由题意，得BC＝a，
CD＝a，∠BCD＝120°.
∴·＝(＋)·
＝·＋2
＝a·a·cos 60°＋a2＝a2.
13.已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　)
A.－7 B.7 C.25 D.－25
答案　D
解析　由题意知∠ABC＝90°，
所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)
＝－20cos C－15cos A
＝－20×－15×＝－16－9＝－25.
14.已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的最小值为__________，最大值为__________.
答案　0 1
解析　∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b|≤1.
15.已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－b－a|＝1，则|c|的取值范围为(　　)
A.[－1，＋1] B.[－1，＋2]
C.[1，＋1] D.[1，＋2]
答案　A
解析　如图所示，
令＝a，＝b，＝a＋b，＝c，则||＝.
又|c－b－a|＝1，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知当点C与O，D共线时，||取到最值，最大值为＋1，最小值为－1，
所以|c|的取值范围为[－1，＋1].
16.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1 (k∈R)，求k的取值范围.
(1)证明　因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间的夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c.
(2)解　因为|ka＋b＋c|>1，所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2.
所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).
6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
学习目标　1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
知识点　平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底.(　×　)
提示　只有不共线的两个向量才可以作为基底.
2.{0，e}可以作为基底.(　×　)
提示　由于0和任意向量共线，故{0，e}不可作为基底.
3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(　×　)
提示　基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.
4.若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.(　√　)
一、平面向量基本定理的理解
例1　(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　)
A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2
答案　ACD
解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.
反思感悟　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
跟踪训练1　已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________.
答案　3
解析　因为{a，b}是一个基底，
所以a与b不共线，
由平面向量基本定理得所以
所以x－y＝3.
二、用基底表示向量
例2　如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，，.
解　因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，
所以＝＝a，＝＝＝b.
＝＋＋
＝－－＋
＝－×b－a＋b＝b－a.
延伸探究　
1.本例中若取BC的中点G，则＝________.
答案　a＋b
解析　＝＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
所以＝＋＝＋
＝b＋a－b＝a＋b.
2.本例中若EF的中点为H，试表示出.
解　＝－＝－
＝－－，
因为＝b－a，
所以＝－b＋a－b＝a－b.
反思感悟　平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量.
跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为________，以{a，c}为基底时，可表示为________.
答案　a＋b　2a＋c
解析　以{a，b}为基底时，＝＋＝a＋b；
以{a，c}为基底时，将平移，使B与A重合，
再由三角形法则或平行四边形法则即得＝2a＋c.
1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：
①与；②与；③与；④与.
其中可作为该平面其它向量基底的是(　　)
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
答案　B
解析　易知与不共线，与不共线.
2.如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是(　　)
A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B.对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内
D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
答案　A
解析　B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任意向量；C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
3.给出下列三种说法：
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量.
其中，说法正确的为(　　)
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
答案　B
4.在△ABC中，若＝(＋)，则下列关系式正确的是(　　)
A.BD＝2CD B.BD＝CD
C.BD＝3CD D.CD＝2BD
答案　B
解析　由＝(＋)得2＝＋，
即－＝－，
即＝，∴BD＝CD.
5.如图，?ABCD的对角线AC和BD交于点M，＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，，.
解　＝＋＝a＋b，
＝－＝b－a，
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝＝a＋b.
＝－＝－a－b，＝＝b－a，
所以＝－＝a－b.
1.知识清单：
(1)平面向量基本定理.
(2)基底.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量.
1.如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为(　　)
A.－4e1－2e2 B.－2e1－4e2
C.e1－3e2 D.3e1－e2
答案　C
2.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)
A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
答案　A
解析　＝＝(－)＝(＋)
＝(5e1＋3e2).
3.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则等于(　　)
A. B. C.3 D.
答案　A
解析　由题意可得，＝－＝－，
＝＋＝＋＝＋＝＋，
据此可知λ＝，μ＝，∴＝.
4.设{a，b}为基底，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于(　　)
A.2 B.－2 C.10 D.－10
答案　A
解析　＝＋＋＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b，∵A，B，D三点共线，∴＝λ，即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b，
∵{a，b}为基底，∴解得λ＝，k＝2.
5.(多选)若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是(　　)
A.{e1－e2，e2－e1} B.{2e1－e2，e1－e2}
C.{2e2－3e1，6e1－4e2} D.{e1＋e2，e1＋3e2}
答案　ABC
解析　选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2，也为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.
6.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为______________.
答案　(－∞，4)∪(4，＋∞)
解析　若能作为平面内的一个基底，则a与b不共线.a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.
7.已知λ1>0，λ2>0，{e1，e2}是一个基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________.(填“共线”或“不共线”)
答案　不共线　不共线
8.已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________.
答案　　－
解析　由条件可知解得
9.已知G为△ABC的重心，设＝a，＝b.试用a，b表示向量.
解　连接AG并延长，交BC于点D，
则D为BC的中点，
＝＝×(＋)
＝＋＝a＋b.
10.在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以＝e1，＝e2表示.
解　＝－＝e1－e2，
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以＝＝(e1－e2)，
所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.
11.若1＝a，2＝b，＝λ2(λ≠－1)，则等于(　　)
A.a＋λb B.λa＋(1－λ)b
C.λa＋b D.a＋b
答案　D
解析　∵＝λ，
∴－1＝λ(2－)，∴(1＋λ)＝1＋λ2，
∴＝1＋2＝a＋b.
12.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为(　　)
A.AB边中线的中点
B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.△ABC的重心
D.AB边的中点
答案　B
解析　∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，
∴＝＝，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心).
13.已知a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c＝________.(用a，b表示)
答案　2a－2b
解析　设c＝λa＋μb，
则－2e1＋4e2＝λ(e1＋e2)＋μ(2e1－e2)
＝(λ＋2μ)e1＋(λ－μ)e2，
因为e1，e2不共线，
所以解得
故c＝2a－2b.
14.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示)
答案　a＋b
解析　＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋＝a＋b.
15.已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，与不共线.
(1)在△OAB中，若点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；
(2)点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值.
解　(1)∵＝2，∴＝，
∴＝(－)＝－，
又∵＝r＋s，
∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0.
(2)∵四边形OABP为平行四边形，
∴＝＋，
又∵＝m＋，
∴－＝m＋，
依题意，是非零向量且不共线，
∴m＝－1.
16.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.
解　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上，
则存在λ，μ，使＝λ，＝μ，
即＝＋＝λ＋μ.
在Rt△OCM中，∵||＝2，
∠COM＝30°，∴∠OCM＝90°，
∴||＝4，∴＝4，
又||＝||＝2，∴＝2，
∴＝4＋2，即λ＝4，μ＝2，
∴λ＋μ＝6.
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
学习目标　1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.
知识点一　平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
知识点二　平面向量的坐标表示
1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
2.在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
思考　点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？
答案
区别
表示形式不同
向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同
点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系
当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点三　平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式
文字语言表述
向量加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
1.零向量的坐标是(0,0).(　√　)
2.两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.(　×　)
3.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.(　√　)
4.向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化.(　×　)
一、平面向量的坐标表示
例1　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标.
解　(1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°
＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°
＝4×＝2.
∴A(2，2)，故a＝(2，2).
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，
∴C，∴＝＝，
即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋＝(2，2)＋
＝.
∴点B的坐标为.
反思感悟　在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.
跟踪训练1　已知点M(5，－6)，且＝(－3,6)，则N点的坐标为________.
答案　(2,0)
解析　∵＝(－3,6)，设N(x，y)，
则＝－＝(x－5，y＋6)＝(－3,6).
∴解得即N(2,0).
二、平面向量加、减运算的坐标表示
例2　已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　)
A.(－7，－4) B.(7,4)
C.(－1,4) D.(1,4)
答案　A
解析　设C(x，y)，则＝－＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
即x＝－4，y＝－2，
故C(－4，－2)，则＝－＝(－7，－4).
反思感悟　平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
跟踪训练2　在?ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，求的坐标.
解　∵＝＋，
∴＝－＝(－1，－1)，
∴＝－＝(－3，－5).
1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(　　)
A.(－2,1) B.(2，－1)
C.(2,0) D.(4,3)
答案　B
解析　由题意得b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1).
2.已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　)
A. B.
C.(－8,1) D.(8,1)
答案　C
解析　＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1).
3.若A(3,1)，B(2，－1)，则的坐标是(　　)
A.(－2，－1) B.(2,1)
C.(1,2) D.(－1，－2)
答案　C
解析　＝－＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2).
4.若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝________.
答案　(－2，－4)
解析　＝＋＝－＝(2,3)－(4,7)
＝(－2，－4).
5.若a＝(－2,2)，b＝(3，－4)，c＝(1,5)，则a＋b＋c＝________.
答案　(2,3)
解析　a＋b＋c＝(－2＋3＋1,2－4＋5)＝(2,3).
1.知识清单：
(1)平面向量的正交分解及坐标表示.
(2)平面向量加、减运算的坐标表示.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标.
1.已知M(2,3)，N(3,1)，则的坐标是(　　)
A.(2，－1) B.(－1,2)
C.(－2,1) D.(1，－2)
答案　B
解析　＝－＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2).
2.已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则a－b等于(　　)
A.(1,2) B.(2,0)
C.(0,2) D.(2,1)
答案　C
解析　a－b＝(1,1)－(1，－1)＝(0,2).
3.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　　)
A.(－7,0) B.(7,6)
C.(6,7) D.(7，－6)
答案　D
解析　设D(x，y)，因为＝，
所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)，
所以x＝7，y＝－6.
所以D(7，－6).
4.设＝(2,3)，＝(m，n)，＝(－1,4)，则等于(　　)
A.(1＋m,7＋n) B.(－1－m，－7－n)
C.(1－m,7－n) D.(－1＋m ，－7＋n)
答案　B
解析　＝＋＋
＝－－－
＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3)
＝(－1－m，－7－n).
5.已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝，则P点的坐标为(　　)
A.(－14,16) B.(22，－11)
C.(6,1) D.
答案　D
解析　设P(x，y)，则＝(10－x，－2－y)，
＝(x＋2，y－7)，
∵＝，即∴
6.已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为________.
答案　(－1,2)
解析　设点C的坐标为(x，y)，则由已知得＝，
所以(x，y)＝(－1,2).
7.已知A(2,0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝，其中O为原点，则x＝________，y＝________.
答案　－1　－2
解析　由题意知解得
8.已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则＋的坐标是________.
答案　(－18,18)
解析　＋＝(－8－2,10－(－4))＋(－8－0,10－6)
＝(－10,14)＋(－8,4)＝(－18,18).
9.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标.
解　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
c＝(c1，c2)，
则a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.
因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2).
10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3，2).若＋＋＝0，求的坐标.
解　设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2,2)，故＝(2,2).
11.已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么a－b等于(　　)
A.(4,0) B.(0,4) C.(3，－6) D.(－3,6)
答案　C
解析　∵a∥b，∴设a＝λb，
则得
∴b＝(－2,4)，
∴a－b＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6).
12.向量＝(7，－5)，将按向量a＝(3,6)平移后得到向量，则的坐标形式为(　　)
A.(10,1) B.(4，－11)
C.(7，－5) D.(3,6)
答案　C
解析　与方向相同且长度相等，
故＝＝(7，－5).
13.已知A，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.
答案　或－
解析　由题意知＝＝(sin α，cos β)，
∴sin α＝－，cos β＝，
又∵α，β∈，
∴α＝－，β＝或－，
∴α＋β＝或－.
14.将向量a＝(－2，－2)绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，则b的坐标为________.
答案　(2，－2)
解析　易知a与x轴正半轴的夹角为150°，
逆时针旋转120°得到向量b在第四象限，
与x轴正半轴夹角为30°，∴b＝(2，－2).
15.已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.
解　设D(x，y)，当平行四边形为ABCD时，
由＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，
且＝，得D(2,2).
当平行四边形为ACDB时，
由＝(1,2)，＝(x－3，y－4)，且＝，
得D(4,6).
当平行四边形为ACBD时，
由＝(5,3)，＝(－1－x,3－y)，且＝.
得D(－6,0).
故D点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0).
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
学习目标　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
知识点二　平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.
注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝.(　×　)
提示　当y1y2＝0时不成立.
2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(　×　)
3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(　√　)
4.向量a＝(1,2)与向量b＝(4,8)共线.(　√　)
一、平面向量数乘运算的坐标表示
例1　(1)已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b等于(　　)
A.(1，－2) B.(1,2)
C.(5,6) D.(2,0)
答案　A
解析　b＝2a＋b－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2).
(2)已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则等于(　　)
A.(－2，－2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(－1，－1)
答案　D
解析　＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1).
反思感悟　平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练1　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
解　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)
＝－＝.
二、向量共线的判定
例2　下列各组向量中，共线的是(　　)
A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B.a＝(2,3)，b＝(3,2)
C.a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
答案　D
解析　A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，
∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，
∴a∥b.
反思感悟　向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练2　下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是(　　)
A.e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B.e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D.e1＝(2，－3)，e2＝
答案　B
解析　A选项，∵e1＝0，e1∥e2，∴不可以作为基底；
B选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e1与e2不共线，故可以作为基底；
C选项，3×10－5×6＝0，e1∥e2，故不可以作为基底；
D选项，2×－(－3)×＝0，
∴e1∥e2，不可以作为基底.
三、利用向量共线的坐标表示求参数
例3　(1)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________.
答案　－3
解析　由题意知－6＝2λ，所以λ＝－3.
(2)已知点P(－1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).若向量与向量a＝(λ，1)共线，则λ＝________.
答案　－
解析　点P(－1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1)，
所以向量＝2(1－(－1)，－1－2)＝(4，－6)，
又因为与向量a＝(λ，1)共线，
所以4×1＋6λ＝0，
解得λ＝－.
反思感悟　利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.
提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.
跟踪训练3　(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　)
A.－1或 B.1或－
C.－1 D.
答案　D
解析　非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，
所以－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1，
∴m＝.
(2)已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________.
答案　－
解析　＝－＝(1－k,2k－2)，
＝－＝(1－2k，－3)，
由题意可知∥，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，
解得k＝－(k＝1不合题意舍去).
定比分点坐标公式及应用
典例　(1)直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使＝λ，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P分P1P2所成的比为λ，求P点的坐标.
解　设P(x，y).
∵＝(x－x1，y－y1)，
＝(x2－x，y2－y)，
＝λ，
∴(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
∴?
(2)如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标.
解　∵D是AB的中点，
∴点D的坐标为，
∵＝2，∴＝2，
设G点坐标为(x，y)，
由定比分点坐标公式可得
x＝＝，
y＝＝，
即点G的坐标为.
[素养提升]　(1)用有向线段的定比分点坐标公式可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比.事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题.如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性.定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法.
(2)通过定比分点坐标公式的推导与应用，培养逻辑推理和数学运算素养.
1.下列各组向量中，共线的是(　　)
A.a＝(－1,2)，b＝(4,2)
B.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
C.a＝，b＝(10,5)
D.a＝(0，－1)，b＝(3,1)
答案　B
解析　若a与b(b≠0)共线，
则存在实数λ使得a＝λb，
经过验证，只有B满足条件，b＝－2a.
2.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为(　　)
A.2 B.－2
C.3 D.－3
答案　D
解析　因为a∥b，
所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.
3.已知＝(4,1)，＝(－1，k)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为(　　)
A.4 B.－4 C.－ D.
答案　C
解析　因为A，B，C三点共线，所以∥，
所以4k＋1＝0，即k＝－.
4.与a＝(12,5)平行的单位向量为(　　)
A.
B.
C.或
D.
答案　C
解析　设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，
则∴或
5.已知向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b与c共线，则λ＝________.
答案　－
解析　因为向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，
所以2a＋b＝(4,2λ＋1)，
所以由2a＋b与c共线得－8－(2λ＋1)＝0，
解得λ＝－.
1.知识清单：
(1)平面向量数乘运算的坐标表示.
(2)两个向量共线的坐标表示.
2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错.
1.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)
A.e1＝(2,2)，e2＝(1,1)
B.e1＝(1，－2)，e2＝(4，－8)
C.e1＝(1,0)，e2＝(0，－1)
D.e1＝(1，－2)，e2＝
答案　C
解析　选项C中，e1，e2不共线，可作为一个基底.
2.如果向量a＝(k，1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于(　　)
A.±2 B.－2 C.2 D.0
答案　B
解析　∵a与b共线且方向相反，∴存在实数λ(λ<0)，使得b＝λa，即(4，k)＝λ(k,1)＝(λk，λ)，∴
解得或(舍去).
3.下列向量中，与向量c＝(2,3)不共线的一个向量p等于(　　)
A.(5,4) B. C. D.
答案　A
解析　因为向量c＝(2,3)，对于A,2×4－3×5＝－7≠0，所以A中向量与c不共线.
4.已知平面向量a＝(－2,0)，b＝(－1，－1)，则a－2b等于(　　)
A.(1,2) B.(－1，－2)
C.(－1,2) D.(1，－2)
答案　A
解析　a－2b＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2).
5.向量a＝(1，－2)，a∥b，则b可能是(　　)
A.(4,8) B.(8,4)
C.(－4，－8) D.(－4,8)
答案　D
解析　由a∥b可排除A，B，C.
6.已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝________，b＝________.
答案　(3,5)　(－2，－2)
解析　由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，
所以2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，
所以a＝(3,5)，2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，
所以b＝(－2，－2).
7.已知＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1).若A，C，D三点共线，则k＝________.
答案　4
解析　因为＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1)，
所以＝＋＝(10，k＋1)，
又因为A，C，D三点共线，所以∥.
所以10×1－2(k＋1)＝0，解得k＝4.
8.已知A(2,4)，B(－4,6)，若＝，＝，则的坐标为________.
答案　
解析　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则(x1－2，y1－4)＝(－6,2)＝(－9,3)，
∴x1＝－7，y1＝7，即C(－7,7).
(x2＋4，y2－6)＝(6，－2)＝，
∴x2＝4，y2＝，即D，
则＝.
9.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值.
解　ma＋4b＝(2m,3m)＋(－4,8)＝(2m－4,3m＋8)，
a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，
因为ma＋4b与a－2b共线，
所以4(3m＋8)－(－1)×(2m－4)＝0，得m＝－2.
10.已知两点A(3，－4)，B(－9,2)，点P在直线AB上，且||＝||，求点P的坐标.
解　设点P的坐标为(x，y)，
①若点P在线段AB上，则＝，
∴(x－3，y＋4)＝(－9－x,2－y).
解得x＝－1，y＝－2，
∴P(－1，－2).
②若点P在线段BA的延长线上，则＝－，
∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x,2－y).
解得x＝7，y＝－6，
∴P(7，－6).
综上可得，点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6).
11.已知向量a＝(3,5)，b＝(cos α，sin α)，且a∥b，则tan α等于(　　)
A. B. C.－ D.－
答案　B
解析　由a∥b，得5cos α－3sin α＝0，即tan α＝.
12.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n等于(　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
答案　C
解析　由于p＝ma＋nb，即(9,4)＝(2m，－3m)＋(n,2n)＝(2m＋n，－3m＋2n)，
所以2m＋n＝9且－3m＋2n＝4，
解得m＝2，n＝5，所以m＋n＝7.
13.(多选)在下列向量组中，不能把向量a＝(－3,7)表示出来的是(　　)
A.e1＝(0,1)，e2＝(0，－2)
B.e1＝(1,5)，e2＝(－2，－10)
C.e1＝(－5,3)，e2＝(－2,1)
D.e1＝(7,8)，e2＝(－7，－8)
答案　ABD
解析　因为A，B，D中都是两个共线向量，而C中两向量不共线，故C可以把向量a＝(－3,7)表示出来.
14.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)
A.k＝－2 B.k＝
C.k＝1 D.k＝－1
答案　C
解析　因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1.
15.已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ(λ∈R).
(1)当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上？
(2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围.
解　设P(x1，y1)，则＝(x1－2，y1－3).
因为＝(3,1)，＝(5,7)，所以＝＋λ
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以所以
所以点P的坐标是(5＋5λ，4＋7λ).
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝.
所以当λ＝时，点P在函数y＝x的图象上.
(2)当点P在第三象限时，有成立，
解得λ<－1.
所以实数λ的取值范围是(－∞，－1).
16.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标.
解　设P(x，y)，
则＝(x－1，y)，＝(5,4)，＝(－3,6)，
＝(4,0).
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ).
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由与共线得(5λ－4)6＋12λ＝0.
解得λ＝，∴＝＝，
又＝＋＝(1,0)＋＝，
∴点P的坐标为.
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
学习目标　1.掌握平面向量数量积的坐标表示.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.
知识点　平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.
(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(3)cos θ＝＝.
思考　若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？
答案　不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1y2－x2y1＝0.(　×　)
2.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.(　×　)
提示　当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0°，不是锐角.
3.两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(　×　)
4.若向量a＝(1,0)，b＝，则|a|＝|b|.(　×　)
提示　|a|＝1，|b|＝＝，显然|a|≠|b|.
一、数量积的坐标运算
例1　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　)
A.10 B.－10 C.3 D.－3
答案　B
解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
反思感悟　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系
(1)|a|2＝a·a.
(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
跟踪训练1　向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.2
答案　C
解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，
则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
二、平面向量的模
例2　已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，求a－2b及其模的大小.
解　∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
∴|a－2b|＝＝.
反思感悟　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方.
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
跟踪训练2　已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A. B. C.5 D.25
答案　C
解析　∵a＝(2,1)，∴a2＝5，
又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
三、平面向量的夹角、垂直问题
例3　(1)已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
又因为θ∈[0，π]，则θ＝.
所以向量a与b夹角的大小为.
(2)设向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，若m⊥n，则实数x的值为(　　)
A.－1 B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　因为向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，m⊥n，
所以m·n＝(2x－1)×1＋3×(－1)＝2x－1－3＝0，解得x＝2.
反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
跟踪训练3　已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
答案　7
解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3).
又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　)
A.3 B.－3 C. D.－
答案　A
解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
2.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　|a|＝＝5，|b|＝＝13.
a·b＝3×5＋4×12＝63.
设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝.
3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)
A.1 B. C.2 D.4
答案　C
解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
∴n2＝3，∴|a|＝＝2.
4.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于(　　)
A.(－3,6) B.(3，－6)
C.(6，－3) D.(－6,3)
答案　A
解析　由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，
则|b|＝＝|λ|＝3，
又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).
5.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于(　　)
A. B. C.2 D.10
答案　B
解析　由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.
再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，
可得|a＋b|＝.
1.知识清单：
(1)平面向量数量积的坐标表示.
(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量).
(3)cos θ＝(θ为非零向量a，b的夹角).
2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.
1.设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是(　　)
A.|a|＝|b| B.a·b＝0
C.a∥b D.(a－b)⊥b
答案　D
解析　a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，
所以(a－b)⊥b.
2.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5，
∴cos θ＝＝＝(θ为a，b的夹角).
又∵a，b的夹角的范围为[0，π].
∴a与b的夹角为.
3.已知向量a＝(1,2)，b＝(－1，m)，若a⊥b，则m的值为(　　)
A.－2 B.2 C. D.－
答案　C
解析　因为向量a＝(1,2)，b＝(－1，m)，a⊥b，
所以a·b＝－1＋2m＝0，解得m＝.
4.a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于(　　)
A.23 B.57 C.63 D.83
答案　D
解析　3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.
5.已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,4)，且a∥b，则|a－b|等于(　　)
A.5 B.3 C.2 D.2
答案　B
解析　因为a∥b，所以4＋2x＝0，所以x＝－2，
a－b＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6)，
所以|a－b|＝3.
6.已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则a·(a＋2b)＝________.
答案　4
解析　∵a＋2b＝(1,5)，∴a·(a＋2b)＝4.
7.设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________.
答案　－1
解析　由题意得ma－b＝(m＋1，－m)，
根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，
所以m＝－1.
8.设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
答案　－2
解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，
即m＋2＝0，解得m＝－2.
9.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解　(1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
∴a－b＝(2，－4)，
∴|a－b|＝2.
∴|a－b|＝2或2.
10.已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围.
解　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).
11.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于(　　)
A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
答案　B
解析　因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
由(m＋n)⊥(m－n)，
可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
12.已知＝(－2,1)，＝(0,2)且∥，⊥，则点C的坐标是(　　)
A.(2,6) B.(－2，－6)
C.(2，－6) D.(－2,6)
答案　D
解析　设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)，
∵∥，∴2(x＋2)＝0，①
∵⊥，∴2x＋y－2＝0，②
由①②可得∴C(－2,6).
13.设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“?”为m?n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p?q＝(－4，－3)，则q的坐标为________.
答案　(－2,1)
解析　设q＝(x，y)，则p?q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3).
∴∴∴q＝(－2,1).
14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是________.
答案　
解析　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
∵AB＝，BC＝2，
∴A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)，
∵点E在边CD上，且＝2，
∴E.∴＝，＝，
∴·＝－＋4＝.
15.已知向量a＝(1,1)，b＝(1，m)，其中m为实数，则当a与b的夹角在内变动时，实数m的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.
C.∪(1，) D.(1，)
答案　C
解析　如图，作＝a，则A(1,1).
作，，
使∠AOB1＝∠AOB2＝，
则∠B1Ox＝－＝，
∠B2Ox＝＋＝，
故B1，B2(1，).
又a与b的夹角不为0，故m≠1.
由图可知实数m的取值范围是∪(1，).
16.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值.
(1)证明　∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3).
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解　∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得∴C点坐标为(0,5).
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴·＝8＋8＝16.
又||＝2 ，||＝2 ，
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝>0，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
学习目标　1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.3.培养学生运算能力，分析和解决实际问题的能力.
知识点一　向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
知识点二　向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
思考　物理问题中有哪些量是向量？它们与向量的哪些运算相关？
答案　物理中的向量：①物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法.③动量mv是数乘向量.④力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.
1.若△ABC为直角三角形，则有·＝0.(　×　)
2.若向量∥，则AB∥CD.(　×　)
3.功是力F与位移s的数量积.(　√　)
4.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.(　√　)
一、利用向量证明平面几何问题
例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明　方法一　设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋，
＝＋＝b＋，
所以·＝·
＝－－a·b＋
＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
方法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则＝(2,1)，＝(1，－2).
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
反思感悟　用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤
(1)利用线性运算证明的四个步骤
①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何问题向量化.
(2)利用坐标运算证明的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把几何问题向量化.
跟踪训练1　已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，
(1)用，表示；
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形.
(1)解　因为2＋＝0，
所以2(－)＋(－)＝0，
2－2＋－＝0，
所以＝2－.
(2)证明　如图，＝＋＝－＋＝(2－).
故＝.即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形.
二、利用向量解决平面几何求值问题
例2　如图，已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||＝________.
答案　
解析　由题意知2＝＋，
因为＝5p＋2q，＝p－3q，
所以2＝＋＝6p－q，
所以2||＝|6p－q|
＝＝15，所以||＝.
反思感悟　(1)用向量法求长度的策略
①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.
②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想
①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
跟踪训练2　在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是(　　)
A.2 B. C.3 D.
答案　B
解析　∵BC的中点为D，＝，
∴||＝.
三、向量在物理中的应用
例3　一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________ km/h.
答案　5
解析　如图所示，船速|v1|＝5 km/h，水流速度为v2，
实际航行方向v与水流方向v2成30°角，
∴|v2|＝＝5(km/h).
反思感悟　用向量解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型.
(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值.
(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象.
跟踪训练3　一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________.
答案　－40
解析　∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，
∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).
又∵＝(－1,4)，
∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，
即三个力的合力做的功等于－40.
1.在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　)
A.是正三角形 B.是直角三角形
C.是等腰三角形 D.形状无法确定
答案　C
解析　(＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形.
2.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　)
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
答案　A
解析　∵＝(3,3)，＝(－2，－2)，
∴＝－，∴与共线.
又||≠||，∴该四边形为梯形.
3.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　)
A.30° B.60° C.90° D.120°
答案　D
解析　作＝F1，＝F2，＝－G(图略)，
则＝＋，
当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，
所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.
4.在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为＝＋，所以点D在AB边的中位线上，从而有S△ABD＝S△ABC.
5.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝________.
答案　1
解析　由已知得A(1,0)，C(0,1)，
所以＝(0,1)，＝(－1,1).
所以·＝1.
1.知识清单：
(1)平面几何中的向量方法.
(2)向量在物理中的应用.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：要注意选择恰当的基底.
1.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　)
A.7 B.10 C.14 D.70
答案　D
解析　F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.
2.已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案　C
解析　＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，
＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，
·＝21－21＝0，∴⊥.
则∠A＝90°，
又||≠||，
∴△ABC为直角三角形.
3.点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高所在直线的交点
答案　D
解析　∵·＝·，∴(－)·＝0，
∴·＝0，∴OB⊥AC.
同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高所在直线的交点.
4.在Rt△ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于(　　)
A.2 B.1 C. D.4
答案　B
解析　∵＝＋(＋)，
∴－＝(＋)，＝(＋)，
∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.∴||＝1.
5.在四边形ABCD中，若＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)
A. B.2 C.5 D.10
答案　C
解析　∵·＝0，∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积
S＝||||＝××2＝5.
6.已知点A(1,1)，M(x，y)，且A与M不重合，若向量与向量a＝(1,2)垂直，则点M的坐标x，y之间的关系为________________.
答案　x＋2y－3＝0(x≠1)
解析　·a＝(x－1，y－1)·(1,2)＝x－1＋2y－2＝x＋2y－3＝0.
又A与M不重合，所以x≠1.
7.一条河宽为8 000 m，一船从A出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ h.
答案　0.5
解析　v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，
|v1|＝20，|v2|＝12，
∴|v|＝
＝＝16(km/h).
∴所需时间t＝＝0.5(h).
∴该船到达B处所需的时间为0.5 h.
8.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________.
答案　－
解析　如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，
∴C(2,1).
∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E，F(1,1)，
∴＋＝，＝(－2,1)，
∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－.
9.已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，求使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值.
解　∵＝－，
∴x2＋x＋－＝0，
即＝－x2－(x－1)，
∵A，B，C三点共线，
∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.
当x＝0时，x2＋x＋＝0，＝0，
此时B，C两点重合，不合题意，舍去.
故x＝－1.
10.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.
解　建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h，设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2.由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,10)，向量v2＝(20,0)，则v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)，所以|v|＝＝20(km/h).因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h.
11.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于(　　)
A. B.2
C.3 D.2
答案　B
解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.
设||＝a(a>0)，则A(0,0)，C(4，a)，
D(0，a)，E(2,0)，
所以＝(2，－a)，＝(4，a).
因为⊥，所以·＝0，
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8.
所以a＝2，所以＝(2，－2)，
所以||＝＝2.
12.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　)
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5
答案　B
解析　如图，D为BC边的中点，
则＝(＋).
因为3－－＝0，
所以3＝2，所以＝，
所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.
13.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N.
答案　10
解析　设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，
且|F1|＝|F2|，F1＋F2＋G＝0.
∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，
∴每根绳子的拉力都为10 N.
14.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝________.
答案　－
解析　＝＋，＝＋，且＝－，
所以·＝(＋)·(＋)
＝2－2＝－1＝－.
15.在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点.
(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值.
解　(1)由题意得，＝(t－4,2)，＝(2，t)，
＝(6－t，t－2)，
若∠A＝90°，则·＝0，即2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2；
若∠B＝90°，则·＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，
∴t＝6±2；
若∠C＝90°，则·＝0，
即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解，
∴t的值为2或6±2.
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，
设点D的坐标为(x，y)，
即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，
∴即D(10－t，t－2)，
∴||＝＝，
∴当t＝6时，||取得最小值4.
16.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风吹向北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.
解　如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.可求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是 km/h.
6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
学习目标　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
知识点一　余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理
语言叙述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C
推论
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
思考　在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？
答案　a2＝b2＋c2，即勾股定理.
知识点二　余弦定理可以用于两类解三角形问题
1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角.
2.已知三角形的三边，求三角形的三个角.
知识点三　解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
1.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.(　×　)
2.在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.(　√　)
3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.(　√　)
4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角.(　×　)
一、已知两边及一角解三角形
例1　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a；
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a.
解　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
当a＝6时，由余弦定理cos A＝＝0，
A＝90°，C＝60°.
反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
跟踪训练1　已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ ；sin A＝ .
答案　2　
解析　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝.
二、已知三边解三角形
例2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角.
解　∵a>c>b，∴A为最大角.
由余弦定理的推论，得
cos A＝＝＝－.
又∵0°∴最大角A为120°.
反思感悟　已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角.
跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求最小角.
解　易知a根据余弦定理，得cos A＝
＝＝.
∵A∈(0，π)，
∴A＝.
三、利用余弦定理判断三角形的形状
例3　在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
解　由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
反思感悟　(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形?a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形?a2＋b2④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝.
跟踪训练3　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，则△ABC是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
答案　直角
解析　由余弦定理得c2＝bc·＋ac·＋ab·，
即c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形.
1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的第三条边长为(　　)
A.52 B.2 C.16 D.4
答案　B
解析　设第三条边长为x，
则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，
∴x＝2.
2.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
由余弦定理，得cos C＝
＝＝.
又∵C为锐角，∴C＝.
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为(　　)
A. B. C.或 D.或
答案　A
解析　∵a2－b2＋c2＝ac，
∴cos B＝＝＝，
又B为△ABC的内角，∴B＝.
4.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(　　)
A.90° B.120° C.135° D.150°
答案　B
解析　设△ABC三边分别为AB＝5，AC＝7，BC＝8，
则由余弦定理得
cos B＝＝＝，B为△ABC的内角，
∴∠B＝60°，
∵BC>AC>AB，∴A>B>C，
∴最大角与最小角的和为A＋C＝180°－B＝120°.
5.在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，则A＝ .
答案　
解析　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4，
所以c＝－.
由余弦定理，得cos A＝＝，
又A为△ABC的内角，所以A＝.
1.知识清单：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理解决的两类问题.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：不要忽视三角形中的隐含条件.
1.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于(　　)
A. B. C. D.5
答案　A
解析　由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，
所以c＝.
2.(2019·安徽合肥八中质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形中的最大角的大小为(　　)
A.150° B.120° C.92° D.135°
答案　B
解析　设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，
由余弦定理，得cos C＝＝＝－.
因为C为△ABC的内角，
所以此三角形中的最大角C＝120°.
3.(2019·四川绵阳中学月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，c＝2，cos A＝，则b等于(　　)
A. B. C.2 D.3
答案　D
解析　∵a＝，c＝2，cos A＝，
∴由余弦定理，可得cos A＝＝＝，
整理可得3b2－8b－3＝0，
∴b＝3或b＝－(舍去).
4.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A. B.8－4 C.1 D.
答案　A
解析　由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，
∴(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)
＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，
∴ab＝.
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于(　　)
A.4 B. C.3 D.
答案　D
解析　由三角形内角和定理，可知
cos C＝－cos(A＋B)＝－，
又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×＝17，
所以c＝.
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，且b2＋c2＝3＋bc，则角A的大小为 .
答案　60°
解析　∵a＝，且b2＋c2＝3＋bc，
∴b2＋c2＝a2＋bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，
∵0°∴A＝60°.
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2答案　
解析　因为a2＋b2所以△ABC是钝角三角形，且C>.
又因为sin C＝，所以C＝.
8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ .
答案　
解析　由题意得a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
所以c＝.
9.在△ABC中，a∶b∶c＝2∶4∶5，判断三角形的形状.
解　因为a∶b∶c＝2∶4∶5，
所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0).
c最大，cos C＝<0，
所以C为钝角，
从而△ABC为钝角三角形.
10.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值.
解　(1)∵cos A＝2cos2－1,2cos2＋cos A＝0，
∴2cos A＋1＝0，∴cos A＝－， ∴A＝120°.
(2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
11.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，
∴cos B＝＝＝.
12.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，
因为l＝5c，所以a＝b＝2c，
由余弦定理，得cos C＝＝＝.
13.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,7) B.(1,5) C.(，5) D.(，5)
答案　C
解析　∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，
∴cos A＝>0，
且cos C＝>0，∴7∴14.如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为 .
答案　
解析　∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，
∴在△ABD中，
有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，
∴BD＝.
15.在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长.
解　方法一　由条件知
cos A＝＝＝，
设中线长为x，由余弦定理，知
x2＝2＋AB2－2××ABcos A
＝42＋92－2×4×9×＝49，
所以x＝7.
所以AC边上的中线长为7.
方法二　设AC中点为M，连接BM(图略).
则＝(＋)，
∴2＝(2＋2＋2·)
＝(92＋72＋2||||cos∠ABC).
由余弦定理，得2||||cos∠ABC＝||2＋||2－||2＝92＋72－82，
∴||2＝(92＋72＋92＋72－82)＝49.
∴BM＝7，即AC边上的中线长为7.
16.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从点O沿OD走到点D用了2 min，从点D沿DC走到点C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，求该扇形的半径.
解　依题意得OD＝100 m，
CD＝150 m，连接OC，易知
∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，
因此由余弦定理，得
OC2＝OD2＋CD2－2OD×CD×cos∠ODC，
即OC2＝1002＋1502－2×100×150×，
解得OC＝50(m).
第2课时　正弦定理
学习目标　1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.
知识点一　正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
即＝＝.
知识点二　正弦定理的变形公式
1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径).
思考　在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？
答案　等于2R(R为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.
1.正弦定理对任意的三角形都成立.(　√　)
2.在△ABC中，等式bsin C＝csin B总能成立.(　√　)
3.在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.(　×　)
4.任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.(　×　)
一、已知两角及任意一边解三角形
例1　在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形.
解　根据正弦定理，得b＝＝＝10.
又C＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝＝20.
反思感悟　(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
跟踪训练1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.
解　因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2(＋).
二、已知两边及其中一边的对角解三角形
例2　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形.
解　∵＝，∴sin C＝＝＝，
∵0°当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
延伸探究
若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
解　∵＝，∴sin A＝＝＝.
∵c＝>2＝a，∴C>A.
∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个.
反思感悟　这一类型题目的解题步骤为
①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；
②用三角形内角和定理求出第三个角；
③根据正弦定理求出第三条边.
其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值.
跟踪训练2　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝，
∵AB三、三角形形状的判断
例3　在△ABC中，已知＝，且sin2A＋sin2B＝sin2C.求证：△ABC为等腰直角三角形.
证明　∵＝，
∴＝，
又∵＝，
∴＝，
∴a2＝b2即a＝b，
设＝＝＝k(k≠0)，
则sin A＝，sin B＝，sin C＝，
又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，
∴＋＝，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC为等腰直角三角形.
反思感悟　判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)；
②＝，＝，＝；
(2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：
①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)；
②＝，＝，＝.
跟踪训练3　在△ABC中，已知2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.正三角形
答案　B
解析　方法一　(利用边的关系进行判断)
由正弦定理和余弦定理，
2sin Acos B＝sin C可化为
2a·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形.
方法二　(利用角的关系进行判断)
因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
即C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B).
由2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
得2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，所以sin(A－B)＝0.
因为－π所以△ABC是等腰三角形.
1.在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　根据正弦定理，得＝＝.
2.在△ABC中，若sin A＝sin C，则△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
答案　B
解析　由sin A＝sin C及正弦定理，知a＝c，
∴△ABC为等腰三角形.
3. 在△ABC中，一定成立的等式是(　　)
A.asin A＝bsin B B.acos A＝bcos B
C.asin B＝bsin A D.acos B＝bcos A
答案　C
解析　由正弦定理＝，得asin B＝bsin A.
4.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　)
A.4 B.4 C.4 D.4
答案　C
解析　易知A＝45°，由＝得
b＝＝＝4.
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，求△ABC最短边的边长.
解　由三角形内角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝75°，所以B是最小角，b为最短边.由正弦定理，得＝，即＝，则b＝.
1.知识清单：
(1)正弦定理.
(2)正弦定理的变形推论.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽视分类讨论.
1.在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　)
A.1 B.2 C. D.
答案　B
解析　∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.
由正弦定理，得c＝＝＝2.
2.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案　B
解析　由题意可知＝b＝，则sin B＝1，
又B∈(0，π)，故B为直角，△ABC是直角三角形.
3.在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为(　　)
A.1 B.2 C.－1 D.
答案　B
解析　由正弦定理＝，
可得＝，∴sin B＝，
由a>b，得A>B，∴B∈，∴B＝.
故C＝，由勾股定理得c＝2.
4.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
答案　D
解析　由正弦定理，得＝，
∴sin B＝＝＝.
∵a>b，∴A>B，
又∵A＝60°，∴B为锐角.
∴cos B＝＝＝.
5.在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为(　　)
A.A>B B.AC.A≥B D.A，B的大小关系不确定
答案　A
解析　设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵sin A>sin B，
∴2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)，
即a>b，故A>B.
6.在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝ .
答案　或
解析　由正弦定理，得sin A＝＝＝，
又A∈(0，π)，a>b，∴A>B，∴A＝或.
7.在△ABC中，已知a＝，sin C＝2sin A，则c＝ .
答案　2
解析　由正弦定理，得c＝＝2a＝2.
8.在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径为 .
答案　
解析　△ABC外接圆直径2R＝＝＝.
9.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
解　∵＝，
∴a＝＝＝10.
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
又∵＝，
∴b＝＝＝20sin 75°
＝20×＝5(＋).
10.在△ABC中，已知acos＝bcos，试判断△ABC的形状.
解　方法一　∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理，可得a·＝b·，∴a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形.
方法二　∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理，可得2Rsin2A＝2Rsin2B，
又∵A，B∈(0，π)，∴sin A＝sin B，
∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去).
故△ABC为等腰三角形.
11.在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　B
解析　由正弦定理知＝，
∴＝，∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，
又∵0°12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于(　　)
A. B.－ C.± D.
答案　A
解析　因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin 2B＝10sin Bcos B，所以cos B＝，又B为三角形内角，所以sin B＝＝.
所以sin C＝sin 2B＝2××＝.
又cos B>cos 45°，所以B<45°，C＝2B<90°，
cos C＝＝.
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 .
答案　(，2)
解析　在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理可得＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c>b>csin B，即14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求B；
(2)若b＝3，sin C＝sin A，求a，c.
解　(1)由bsin A＝acos B及正弦定理，
得sin Bsin A＝sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，∴sin B＝cos B，
∴tan B＝.
∵0(2)由sin C＝sin A及正弦定理，
得c＝a，①
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋c2－2accos B，
即a2＋c2－ac＝9，②
联立①②，解得a＝3，c＝3.
15.锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.则下列三个不等式中成立的是 .
①sin A>sin B；
②cos A③sin A＋sin B>cos A＋cos B.
答案　①②③
解析　A>B?a>b?sin A>sin B，故①成立.
函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数，
∵A>B，∴cos A在锐角三角形中，∵A＋B>，
∴0<－B函数y＝sin x在区间上是增函数，
则有sin A>sin，即sin A>cos B，
同理sin B>cos A，故③成立.
16.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
解　(1)a＝10，b＝20，a讨论如下：
∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10，∴a∴本题无解.
(2)a＝2，b＝6，a∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，
∴bsin A由正弦定理得sin B＝＝＝，
又∵0°当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
∴当B＝60°时，C＝90°，c＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝2.
第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例
学习目标　1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
知识点一　距离问题
类型
图形
方法
两点间不可到达的距离
余弦定理
两点间可视不可到达的距离
正弦定理
两个不可到达的点之间的距离
先用正弦定理，
再用余弦定理
知识点二　高度问题
类型
简图
计算方法
底部可达
测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达
点B与C，D共线
测得CD＝a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线
测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
知识点三　角度问题
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.
1.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.(　√　)
2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.
(　√　)
3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.
(　√　)
4.高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决.(　√　)
一、距离问题
例1　如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则BC为 m.
答案　60(－)
解析　由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
由正弦定理，BC＝·sin∠CAB＝·sin 30°
＝×＝60(－).
反思感悟　求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.
跟踪训练1　A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为 km.
答案　
解析　由余弦定理，
得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C
＝72＋52－2×7×5×
＝39.
∴AB＝.
二、高度问题
例2　如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是(　　)
A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m
答案　D
解析　在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得＝，
BC＝＝10(m).
在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BC×tan 60°＝10(m).
反思感悟　此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.
跟踪训练2　某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为 m.(精确到1 m)
答案　811
解析　如图，过点D作DE∥AC交BC于点E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，得
AB＝＝＝1 000(m).
在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m).
所以山的高度为811 m.
三、角度问题
例3　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解　如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at海里，
AC＝at海里，
B＝90°＋30°＝120°，
由＝，
得sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
跟踪训练3　当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是(　　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
答案　B
解析　设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m.
由正弦定理，得＝，
∴x＝sin(120°－α).
∵30°<120°－α<120°，
∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值.
即当竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长.
1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为(　　)
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
答案　A
解析　∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，
由＝，得AB＝100×＝50(m).
2.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为(　　)
A.20 m B.30 m
C.20 m D.30 m
答案　B
解析　由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝＝＝30(m).
3.如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是(　　)
A.a，c，α B.b，c，α
C.c，a，β D.b，α，γ
答案　D
4.甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是 (　　)
A.6 km B.3 km C.3 km D.3 km
答案　C
解析　由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.
由正弦定理，得BS＝＝＝3(km).
5.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　)
A. B. C.－1 D.－1
答案　C
解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100(m).
在△ADC中，＝，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.
1.知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：方位角是易错点.
1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)
A.α>β B.α＝β
C.α＋β＝90° D.α＋β＝180°
答案　B
2.两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离分别为a n mile,2a n mile，灯塔A在观测站的北偏东35°的方向上，灯塔B在观测站的南偏东25°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A.3a n mile B.a n mile
C.a n mile D.a n mile
答案　B
解析　由余弦定理，得AB＝＝a(n mile).
3.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)
A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m
答案　D
解析　由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理，得＝，
即AB＝＝＝4(m).
4.如图，已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
答案　B
解析　如题图，因为△ABC为等腰三角形，
所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，
60°－50°＝10°.
所以灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
5.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为(　　)
A.(30＋30)m B.(30＋15)m
C.(15＋30)m D.(15＋15)m
答案　A
解析　在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，由正弦定理，得PB＝＝30(＋)m，所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.
6.某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 km.
答案　15
解析　设灯塔位置为A，船的初始位置为O，船的终止位置为B，
由题意知∠AOB＝30°，∠OAB＝120°，
所以由正弦定理，得AB＝15，
即此时船与灯塔的距离是15 km.
7.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝ cm.
答案　
解析　如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，则在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，
由正弦定理，得x＝＝＝ (cm).
8.一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为 km.
答案　30
解析　如图所示，
在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，则∠ABC＝45°，
AC＝60 km，根据正弦定理，
得BC＝＝＝30(km).
9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以
5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上.
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α.
解　(1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，
AC＝5×2＝10.
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，
解得BC＝14，v甲＝＝7(n mile/h)，
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α.
由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝.
10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.求索道AB的长.
解　在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]
＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由＝，得AB＝·sin C＝×＝1 040(m).
所以索道AB的长为1 040 m.
11.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)
A.10 m B.5 m
C.5(－1) m D.5(＋1) m
答案　D
解析　方法一　设AB＝x，则BC＝x.
∴BD＝10＋x.
∴tan∠ADB＝＝＝.
解得x＝5(＋1).
∴A点离地面的高AB等于5(＋1) m.
方法二　∵∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.
由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC
＝·sin 30°＝ .
∴AB＝ACsin 45°＝5(＋1)m.
12.已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B岛与C岛之间的距离是(　　)
A.10 海里 B. 海里
C.5 海里 D.5 海里
答案　D
解析　如图所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10 海里.
由正弦定理得＝，所以BC＝5(海里).
13.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
答案　B
解析　依题意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
14.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为 .
答案　
解析　由题图知，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，
所以BC＝20，
由正弦定理得
sin∠ACB＝·sin∠BAC＝，
由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，
故cos∠ACB＝.
故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
15.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.
解　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A
＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6.
∴BC＝.又∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
又0°<∠ABC<60°，∴∠ABC＝45°，
∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝.
又∵0°<∠BCD<60°，∴∠BCD＝30°，
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.
∴t＝(小时)≈15(分钟).
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.
16.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离.
解　由题意得在△ABC中，AB－AC＝1.5×8＝12(km).
在△ACD中，AD－AC＝1.5×20＝30(km).
设AC＝x km，AB＝(12＋x)km，AD＝(30＋x)km.
在△ABC中，cos∠ACB＝
＝＝，
在△ACD中，cos∠ACD＝
＝＝.
∵B，C，D在一条直线上，
∴＝－，
即＝，
解得x＝.
∴AB＝ km，AD＝ km.
即震中A到B，C，D三市的距离分别为 km， km， km.
再练一课(范围：6.2.1～6.2.4)
1.在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　＋＋＝(＋)＋＝＋＝＋＝.
2.已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于(　　)
A.－6 B.6 C.－6 D.6
答案　C
3.已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ等于(　　)
A. B. C.－ D.－
答案　C
解析　∵A，B，D三点共线，
∴＋λ＝1，∴λ＝－.
4.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
5.设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(　　)
A.150° B.120° C.60° D.30°
答案　B
解析　由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2?2a·b＝－|a|2?2|a|·|b|·cos θ＝－|a|2?cos θ＝－?θ＝120°.
6.若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝______.
答案　a－b＋c
解析　因为2－(c＋b－3y)＋b＝0，
所以3y－a＋b－c＝0，所以y＝a－b＋c.
7.已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD是____.
答案　平行四边形
解析　＋＝＋，
∴－＝－，
∴＝，
则BA＝CD且BA∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形.
8.如图，在△ABC中，若AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·＝________.
答案　－
解析　根据条件：
＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋；
所以·＝·(－)
＝·－2＋2
＝×3×3×－×9＋×9＝－.
9.已知向量a，b满足(2a＋b)·(a－b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，求a与b的夹角.
解　设a与b的夹角为θ，依题意有：(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝7－2cos θ＝6，所以cos θ＝，
因为0≤θ≤π，故θ＝.
10.已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
解　a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝
＝＝5.
|a－b|＝＝
＝＝5.
11.如图所示，O为线段A0A201外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A201中任意相邻两点间的距离相等，＝a，OA201＝b，用a，b表示＋＋＋…＋，其结果为(　　)
A.100(a＋b) B.101(a＋b)
C.201(a＋b) D.202(a＋b)
答案　B
解析　设A0A201的中点为A，则A也是A1A200，…，A100A101的中点，可得＋＝2＝a＋b，同理可得，＋＝＋＝…＝＋＝a＋b，故＋＋＋…＋＝101×2
＝101(a＋b).
12.已知向量a的终点与向量b的起点重合，向量c的起点与向量b的终点重合，则下列结论正确的为________.(填序号)
①以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)；
②以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－a－b－c；
③以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－b－c.
答案　①②③
解析　根据题意画出图形如图所示，可知：以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)，①正确；以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(a＋b＋c)＝－a－b－c，②正确；以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(b＋c)＝－b－c，③正确.
13.设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.
解　∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝
＝＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
14.如图所示，半圆的直径AB＝6，点C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3.
(1)求证：向量∥；
(2)求||.
(1)证明　由题意知，在△BED中，BD＝5，DE＝3，BE＝4，∴∠DEB＝90°.又点C为半圆上一点，AB为直径，
∴∠ACB＝90°，∴AC∥DE，∴∥.
(2)解　由(1)知AC∥DE，∴△ABC∽△DBE，∴＝，即＝，∴AC＝，即||＝.
15.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.则向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模为________.
答案　
解析　(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得a·b＝－6，∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，
∴|a＋b|＝，
设a与a＋b的夹角为θ，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，
∴cos θ＝＝＝，
则a在a＋b方向上的投影向量的模为|a|cos θ＝4×＝.
16.在Rt△ABC中，斜边BC＝a，PQ是以点A为圆心，a为半径的圆上的一条直径，向量与的夹角为θ.当θ取何值时，·有最大值，并求此最大值.
解　·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·＋(－)·－·
＝0＋·－a2
＝||·||cos θ－a2＝a2(cos θ－1)，
当θ＝0°，即和同方向时，·有最大值0.
再练一课(范围：6.4.3)
1.在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于(　　)
A.60° B.45°或135°
C.120° D.30°
答案　C
解析　∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac，
∴ac＝－2accos B，cos B＝－，
又0°∴B＝120°.
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin A＋bsin BA.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
答案　C
解析　根据正弦定理可得a2＋b2由余弦定理得cos C＝<0，故C是钝角，△ABC是钝角三角形.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c等于(　　)
A.1 B.2 C.4 D.6
答案　C
解析　∵a2＝c2＋b2－2cbcos A，
∴13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，
即c2－3c－4＝0，
解得c＝4或c＝－1(舍去).
4.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，则sin B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由2b2－2a2＝ac＋2c2，得2(a2＋c2－b2)＋ac＝0.
由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accos B，
∴4accos B＋ac＝0.
∵ac≠0，∴4cos B＋1＝0，cos B＝－，又B∈(0，π)，
∴sin B＝＝.
5.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2－b2＝ab，C＝，则的值为(　　)
A. B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　由余弦定理得c2－b2＝a2－2abcos C＝a2－ab＝ab，所以a＝2b，所以由正弦定理得＝＝2.
6.若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B，则B＝ .
答案　45°
解析　由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，故cos B＝.
又因为B为三角形的内角，所以B＝45°.
7.在△ABC中，B＝60°，a＝1，c＝2，则＝ .
答案　2
解析　∵由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝3，
∴b＝，∴由正弦定理得，＝＝＝2.
8.在△ABC中，a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝ .
答案　30°
解析　由sin C＝2sin B，根据正弦定理，得c＝2b，
把它代入a2－b2＝bc，得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.
由余弦定理，得cos A＝＝＝＝，
又∵0°∴A＝30°.
9.在△ABC中，若ccos B＝bcos C，cos A＝，求sin B的值.
解　由ccos B＝bcos C，结合正弦定理，
得sin Ccos B＝sin Bcos C，
故sin(B－C)＝0，∵0∴－π∵cos A＝，∴由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2·＝b2，得3a2＝2b2，
再由余弦定理，得cos B＝，故sin B＝.
10.在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝，试判断三角形的形状.
解　方法一　由正弦定理知，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，R为△ABC外接圆半径.
∵＝，结合正弦定理得，
∴＝，
∴sin Acos B＋sin Bcos B＝sin Acos B＋sin Acos A，
∴sin Bcos B＝sin Acos A，∴sin 2B＝sin 2A，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
方法二　由＝，得1＋＝1＋，
＝，
由余弦定理，得＝＝·，
∴＝.
a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，a2c2－a4＝b2c2－b4，
c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2).
∴a2＝b2或c2＝a2＋b2.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　　)
A. B.或 C. D.或
答案　B
解析　∵cos B＝，
∴a2＋c2－b2＝2accos B，
代入已知等式得2ac·cos Btan B＝ac，
即sin B＝，则B＝或.
12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由正弦定理＝和3sin A＝5sin B，得3a＝5b，即b＝a，又b＋c＝2a，∴c＝a，由余弦定理得cos C＝＝－，∴C＝.
13.若△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为(　　)
A. B. C. D.9
答案　B
解析　设另一条边长为x，则由余弦定理得，
x2＝22＋32－2×2×3×＝9，∴x＝3.
设cos θ＝，θ为长度为2,3的两边的夹角，
则sin θ＝＝.∴2R＝＝＝.
14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝6，则＝ .
答案　1
解析　由余弦定理得cos A＝＝＝，所以＝＝＝＝1.
15.在△ABC中，若a2＝bc，则角A是(　　)
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
答案　A
解析　∵cos A＝＝
＝>0，
∴0°16.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝，试判断△ABC的形状.
解　(1)∵2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，由正弦定理得，
2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝＝.
∵0°(2)∵A＋B＋C＝180°，
∴B＋C＝180°－60°＝120°，
由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝，
∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝，
∴sin B＋cos B＝，即sin(B＋30°)＝1.
又∵0°∴30°∴B＋30°＝90°，即B＝60°，
∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形.
微专题1　平面向量数量积的综合应用
向量的数量积运算、向量的垂直是考查的热点，平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式考查.解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、直观想象等核心素养.
一、平面向量数量积的计算
例1　(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
答案　12
解析　因为·＝2·，
所以·－·＝·，
所以·＝·.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||||cos?，
化简得||＝2.
故·＝·(＋)＝||2＋·
＝(2)2＋2×2cos?＝12.
(2)在△ABC中，已知与的夹角是90°，||＝2，||＝1，M是BC上的一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________.
答案　
解析　根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，
所以＝(0,2)，＝(1,0)，＝(1，－2).
设M(x，y)，则＝(x，y)，
所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，
所以x＝2y，
又＝λ＋μ，
即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，
所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.
反思感悟　平面向量数量积的运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为a，b的夹角).
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
提醒：解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.
二、平面向量数量积的应用
1.求模
例2－1　已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||＝________.
答案　2
解析　因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)
＝4×＝4，
则||＝2.
2.求夹角
例2－2　已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________.
答案　－
解析　因为2＝，
所以E为BC的中点.
设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，
·＝·(－)
＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，
所以cos θ＝＝＝－.
3.垂直问题
例2－3　△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A.|b|＝1 B.a⊥b
C.a·b＝1 D.(4a＋b)⊥
答案　D
解析　∵b＝－＝，
∴|b|＝||＝2，故A错；
∵·＝2×2×cos 60°＝2，
即－2a·b＝2，
∴a·b＝－1，故B，C都错；
∵(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0，
∴(4a＋b)⊥，故选D.
反思感悟　(1)求向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：由向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
(3)两向量垂直的应用
a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
三、平面向量的数量积与三角函数的综合问题
例3　(1)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]，若f(x)＝a·b，求f(x)的最值.
解　f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
(2)已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.
①若m⊥n，求α；
②若|m－n|＝，求cos 2α的值.
解　①若m⊥n，则m·n＝0，
即－sin α(sin α－2)－cos2α＝0，
即sin α＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.
②若|m－n|＝，则(m－n)2＝2，
即(2sin α－2)2＋(－2cos α)2＝2，
即4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2，
即8－8sin α＝2，
可得sin α＝，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.
反思感悟　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求解.
章末复习
一、向量的线性运算
1.
向量运算
法则(或几何意义)
向量的线性运算
加法
减法
数乘
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
2.向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线?x1y2－x2y1＝0.
3.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养.
例1　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是(　　)
A.(7，－2) B.(1，－2)
C.(1，－3) D.(7,2)
答案　A
解析　∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)，
∴2a－b＝2(2,1)－(－3,4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4＋3,2－4)＝(7，－2).
(2)设D为△ABC所在平面内一点，则＝3，则(　　)
A.＝－＋
B.＝－
C.＝－
D.＝－＋
答案　D
解析　∵＝3，∴－＝3(－)，
∴2＝3－，∴＝－.
反思感悟　向量线性运算的基本原则和求解策略
(1)基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量.因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
(2)求解策略
①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.
②首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝.
③平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用.
跟踪训练1　在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
答案　A
解析　作出示意图如图所示.
＝＋＝＋
＝×(＋)＋(－)
＝－.
二、向量的数量积运算
1.向量的夹角及垂直问题
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，利用这两个结论，可以判断两个向量的位置关系.
(2)两个向量的夹角公式(θ为两个非零向量a，b的夹角)：
cos θ＝＝.
2.向量的长度(模)与距离的问题
求向量的模主要有以下两种方法：
(1)利用公式|a|2＝a2将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和性质进行展开、合并，使问题得以解决；
(2)利用公式|a|＝将其转化为实数运算，使问题得以解决.
3.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养.
例2　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.
解　(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，
得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝＝1，|b|＝＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝＝(k>0).
(2)a·b＝＝≥×2＝，当且仅当k＝1时等号成立，
此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
反思感悟　数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b?x1y2－x2y1＝0，
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量).
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量)
cos θ＝＝ .
跟踪训练2　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为 .
答案　
解析　由⊥知·＝0，
即·＝(λ＋)·(－)
＝(λ－1)·－λ2＋2
＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，
解得λ＝.
三、余弦定理、正弦定理
1.解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程.三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积.
2.解斜三角形共包括四种类型：
(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；
(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；
(3)已知三边(先用余弦定理求角)；
(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数).
3.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.
例3　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2B＝A＋C，向量m＝(3a，b)，n＝(2b，c)，m∥n.求A.
解　方法一　∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，
∴B＝，A＋C＝.
∵m∥n，∴2b2＝3ac，
∴由正弦定理，得2sin2B＝3sin Asin C，
即sin Asin C＝，
∴sin Asin＝，
∴sinA＝，
∴sin Acos A＝cos2A，
∴cos A＝0或tan A＝，∴A＝或A＝.
方法二　2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝a2＋c2－ac.(*)
∵m∥n，∴2b2＝3ac，∴b2＝ac.
将b2＝ac代入到(*)中，
得2a2－5ac＋2c2＝0，
解得a＝2c或c＝2a.
当a＝2c时，b＝c，cos A＝＝0，
∴A＝；
当c＝2a时，b＝a，cos A＝＝，
∴A＝.
综上，A＝或A＝.
反思感悟　通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B?A＝B；sin(A－B)＝0?A＝B；sin 2A＝sin 2B?A＝B或A＋B＝等.
利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换.
跟踪训练3　在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求C的大小；
(2)如果a＋b＝6，·＝4，求c的值.
解　(1)由正弦定理，得＝＝，即tan C＝.
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)·＝||||cos C＝abcos C＝4，
且cos C＝cos ＝，∴ab＝8.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－2ab－2abcos 
＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12.
∴c＝2.
1.已知平面向量＝(1,2)，＝(3,4)，则向量等于(　　)
A.(－4，－6) B.(4,6)
C.(－2，－2) D.(2,2)
答案　C
解析　＝－＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，故选C.
2.设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　A
解析　c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，
又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.
3.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　)
A.－ B.
C.1 D.－1
答案　A
解析　由平面向量基本定理，化简＝＋＝＋＝－＋(＋) ＝－，
所以λ＝，μ＝－，即λ＋μ＝－.
4.已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(t,2－t)，a－b与a垂直，则|a－b|的最小值为(　　)
A. B.1 C. D.2
答案　B
解析　由题意知a－b与a垂直，
则(a－b)·a＝0，可得a·b＝a2＝1.
又由|a－b|＝
＝＝，
所以当t＝1时，|a－b|取得最小值1.
5.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝bcos C＋ccos B，且a＝1，B＝120°，则b＝ .
答案　
解析　∵c＝bcos C＋ccos B，
∴由正弦定理可得sin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝sin(B＋C)＝sin A，
∴c＝a＝1，
∵B＝120°，
∴由余弦定理可得，b＝＝＝.