(共24张PPT)
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理（一）
课前预习
A. 勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么____________.
a2+b2=c2
1. 求图17-1-2中直角三角形中未知边的长度：b=__________，c=__________.
12
30
B. 勾股定理把三角形有一个直角的“______”的特点，转化为三边“______________”的关系，可以解决生活、生产中的一些实际问题.
2. 如图17-1-3，一棵大树在离地3 m处折断，树的顶端落在离树干底部4 m处，那么这棵树折断之前的高度是______________m.
8
数
形
课堂讲练
知识点1 勾股定理
【例1】如图17-1-4，在四边形ABCD中，∠A＝90°，BD⊥CD，AB＝4，AD＝3，BC＝ ，求CD的长.
1. 如图17-1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，求点C到AB的距离.
解：设点C到AB的距离为h，
在Rt△ABC中，∠C=90°，则有AC2+BC2=AB2，
∵AC=9，BC=12，
∴AB= =15，
∵S△ABC= AC·BC= AB·h，
∴h= .
即点C到AB的距离为 .
知识点2 勾股定理的应用
【例2】如图17-1-6，为修建高速铁路需凿通隧道AC，测得∠BAC=50°，∠B=40°，AB=15 km，BC=12 km，若每天可凿隧道0.3 km，需要几天才能把隧道AC凿通？
解：∵∠A=50°，∠B=40°，
∴∠C=90°.
∵AB=15 km，BC=12 km，
∴AC= =9（km）.
∴ =30（天）
即需要30天才能将隧道凿通.
2. 如图17-1-7，要修建一个育苗棚，棚高h=3 m，棚宽a=4 m，棚长d=12 m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米的塑料薄膜？
解：在直角三角形中，由勾股定理可得，直角三角形的
斜边长为 =5 m,
∴长方形塑料薄膜的面积是5×12=60（m2）.
分层训练
【A组】
2. 已知一个直角三角形三边的平方和为1 800，则斜边长为（ ）
A. 80 B. 30 C. 90 D. 20
B
1. 在平面直角坐标系中，点P（1，3）到原点的距离是（ ）
A. 1 B. 3 C. D. ±
C
3. 已知小龙、小虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160 m，再向东直走80 m后，可到商场，则小虎向西直走多少米后，他与商场的距离为340 m？（ ）
A. 100 m B. 180 m
C. 220 m D. 260 m
4. 如果直角三角形的两直角边长分别为k2-1，2k（k>1），那么它的斜边长是（ ）
A.2k B.k+1
C.k2-1 D.k2+1
C
D
5. 斜边的边长为17 cm，一条直角边长为8 cm的直角三角形的面积是________.
60 cm2
6. 如图17-1-8，图①中x=______，图②中x=_____，
图③中x=_____，图④中x=______.
10
9
3
13
7. 如图17-1-9，在△ABC中，∠ACB=90°，BA=15，AC=12,以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（结果保留π）
8. 在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=_______.
10.125π
8
9. 如图17-1-10，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB=13，BD=12，CD= .
（1）求AD的长；
（2）求△ABC的周长.
解：（1）在Rt△ABD中，AD= =5.
（2）在Rt△ADC中，AC= = ，
则△ABC的周长=AB+BC+AC=13+12+ + =25 .
10. 如图17-1-11，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶点A正上方4 800 m处（即点C），过了10 s后，飞机（即点B）距离这个男孩头顶5 000 m，飞机每小时飞行多少千米？
解：根据题意，得在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5 000 m，AC=4 800 m.
由勾股定理，得AB2=AC2+BC2，
即5 0002=4 8002+BC2，
∴BC=1 400 m.
飞机飞行1 400 m用了10 s，那么它1 h飞行的距离为1 400×6×60=
504 000（m）=504（km）.
即飞机每小时飞行504 km.
【B组】
11. 如图17-1-12，一个梯子AB的长为
2.5 m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5 m，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.9 m，则梯子顶端A下落了多少米？
解：在Rt△ACB中，
AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，
∴AC=2 m.
∵BD=0.9 m，BC=1.5 m,
∴CD=BD+BC=2.4 m.
在Rt△ECD中，
EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49，
∴EC=0.7 m.
∴AE=AC-EC=2-0.7 m=1.3（m）.
∴梯子顶端A下落了1.3 m.
12. 如图17-1-13，由两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两直角边都是c的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么？
解：该图形的面积= （a+b ）·（a+b ）
= ab+ ab+ c2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2,
即a2+b2=c2.
13. 如图17-1-14，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6，腰AB上的高CE=8，求△ABC的周长.
【C组】
解：∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，
∴ AB·CE= BC·AD.
∵AD=6，CE=8，∴4AB=3BC.
∵AB=AC，AD⊥BC,∴BD=DC= BC.
∴BC=2BD.
∴4AB=6BD,即AB= BD.
在Rt△ABD中，
∵AB2-BD2=AD2,∴ .
∴ BD2=36,解得BD= .
∴BC=2BD= ,AB= .
∴△ABC的周长=2AB+BC=2× == .
(共25张PPT)
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理（二）
课前预习
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则点C到AB的距离是（ ）
A
A. 利用勾股定理进行证明：通过对图形的切割、拼接，巧妙利用______________进行证明或求值.
面积关系
B. 利用勾股定理，在数轴上可作长度为二次根式（即______________数）表示的线段，如 ，…
无理
2. 如图17-1-15，在长方形OABC中，OA=2，OC=1. 以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴上原点右边于一点，则这个点表示的实数是__________.
课堂讲练
【例1】如图17-1-16，以直角三角形的边a，b，c为边，向外作等边三角形和半圆，求证：上述两种情况的面积关系满足S1+S2=S3，S4+S5=S6.
知识点1 利用勾股定理进行证明
1. 现用4个全等的直角三角形拼成如图17-1-17所示的“弦图”. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，AB=c,请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明c2=a2+b2；
（2）如果大正方形的面积是6，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值.
解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为 ab，小正方形面积为（b-a）2，
∴c2=4× ab+（b-a）2=2ab+b2-2ab+a2.
即c2=a2+b2.
（2）由图可知，（b-a）2=2，4× ab=6-2=4，∴ab=2.
∴（a+b）2=（b-a）2+4ab=10.
【例2】请在数轴上画出表示 的点.
知识点2 利用勾股定理作长为二次根式的线段
解：如答图17-1-3，步骤如下：
1.在数轴上找到点A，使OA=3.
2.作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB=2.
3.以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于原点O右侧的点C，则点C即为表示 的点.
2. 如图17-1-18，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点.
（1）在图17-1-18①中，以格点为端点，画线段MN= ；
（2）在图17-1-18②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10.
解：（1）如答图17-1-4①.
（2）如答图17-1-4②.
1. 如图17-1-19，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为1和10，则c的面积为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
分层训练
【A组】
B
2. 如图17-1-20，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A. B. C.4 D.5
C
3. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图17-1-21. 如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A. 13
B. 19
C. 25
D. 169
C
4． 如图17-1-22，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A. 2 B. -1
C. -1 D.
C
5. 如图17-1-23，在△ABC中，AB=15，AC=9 ，AD⊥BC于点D，∠ACB=45°，则BC的长为_____.
6. 若Rt△ABC的两边a,c满足|a-5|+ =0，则△ABC的面积为___________.
21
30或32.5
7. 如图17-1-24，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE……依此类推，则第2 019个等腰直角三角形的斜边长是
___________.
8. 如图17-1-25，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，AD=13，BC⊥AB，对角线AC⊥CD，求CD的长.
9. 在图17-1-26中的数轴上表示无理数 的对应点.
解：所画图形如答图17-1-5，其中点A即为所求.
【B组】
10. 如图17-1-27，在正方形网格中，四边形ABCD的每个顶点都在格点上，已知小正方形的边长为1，求这个四边形ABCD的周长和面积.
解：AD= ，AB= ，CD= ，BC= ，
∴这个四边形ABCD的周长= ；
这个四边形ABCD的面积= ×5×2+ × 5×1= .
11. 如图17-1-28，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4.
（1）若BC=2，求AB的长；
（2）若BC=a，AB=c，求代数式（c-2）2-
（a+4）2+4（c+2a+3）的值.
解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,
∴AB= .
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AB=c，AC=4，
∴c2-a2=16.
∴原式=c2-4c+4-（a2+8a+16）+4c+8a+12
=c2-4c+4-a2-8a-16+4c+8a+12
=c2-a2
=16.
12. 在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
（1）若b=2，c=3，求a的值；
（2）若a∶c=3∶5，b=32，求a，c的值.
解：（1）∵a2+b2=c2，∴a= ∴a= .
（2）设a=3x，c=5x，
∵a2+b2=c2，
∴（3x）2+322=（5x）2.解得x=8.
∴a=24，c=40.
【C组】
