(共11张PPT)
小专题(三)
构造直角三角形,利用勾股定理解决有关问题的技巧
◎技巧1:利用特殊角构造直角三角形
1.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠A=105°,AC=2,求
BC的长
解:过点A作AD⊥BC于点D
∠B=45°,∠BAC=105°
∠C=30°
AC
2=1
2
B
在Rt△ACD中,
DC=√AC2-AD2
∠B=45°,∠BAD=45°,
∠B=∠BAD,∴.BD=AD=1
BC=BD
+CD=3+1
2.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠A=15°,BC=3
,求AC,AB的长
解:过点A作AD⊥BC于点D
设CD=x,∠B=45°,∠BAC=15°
∠ACD=60°,∴∠CAD=30°,
AC=2x,AD=√(2x)
B
C
D
∠B=45°,∠BAD=45°,∠B=∠BAD,
BD=AD=3x
而BC=3-1,CD=3x-(3-1)=x
(3-1)x=3-1,x=1
AC=2.AD=BD=N3
AB=√(3)2+(3)2=√6
3.(常州中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C
45°,∠ADB=∠ABC=105°
(1)若AD=2,求AB的长;
(2)若AB+CD=23+2,求AB的长
解:过点D作DE⊥AB于点E,
作BF⊥CD于点F
(1)AB=√6+√2
(2)设AE=DE=x,则BD
E
B
2x
BE=3x
∠CBD=105°-30°=75°,,∠CDB=60°,DF=x,
BF=CF=3x,
I
AB+CD=x+3x+x+3x=2
3x
+2x=23+2,:x=1,∴,AB=3+
C技巧2:利用公共边构造直角三角形
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交CB
于点D,CD=3,BD=5,求AD的长
解:过点D作DE⊥AB于点E,
AD平分∠CAB,∠C
90°
DE=CD=3,又∵∴BD=5
E
B
在Rt△BDE中,BE=√52-32=4,
设AC=AE=x,在R△ABC中,x2+(3+5)2=(x
4)2,3=6,在Rt△ADE中,AD=√32+6
5.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠CAD
2∠BAD,若BD=3,CD=8,求AB的长
解:过点A作AE平分∠CAD交
CD于点E,过点E作EM⊥AC
于点M,BD=DE=EM=3,
CE=5,CM=4,设AD
B
D
E
x2+82=(x+4)2,∴x=6,AB=3√5(共26张PPT)
小专题(五)
巧用勾股定理求最短路径的长
◎技巧1:用平移法求平面中的最短问题
如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分另
是50cm,30cm,10cm,A和B是这个台阶的两个相
对的端点,A点上有一只壁虎,它想到B点去吃可口
的食物,请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台
阶面爬到B点,至少需爬
(单位:c
m)k-50B
30
0
A13
cm
B
40
cm
C130
cm
).169cm
2.如图,知∠B=∠C=∠D=∠E=90°,且AB=CD
3,BC=4,DE=EF=2,则AF的长是10
B
C
EF
◎技巧2:用对称法求平面中的最短问题
3.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC
上,BD=3,DC=1.点P是AB上的动点,求PC+PD
的最小值
解:作点C关于AB的对称点C′交
AB于E点,连接CD交AB于点P.
此时PC+PD的值最小.易知PC+
PD=C′D,连接BC′,则△BCC′为等
腰直角三角形,BC′=BD+DC
B
D
C
3+1=4,在Rt△BDC′中CD
BD2+BC′
32+42=5
PC+PD的最小值为5
4.高速公路的同一侧有A,B两城镇,如图,它们到高速
公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km,BB′
4km,A'B′=8km.要在高速公路上A′,B′之间建
个出口P,使A,B两城镇到P的距离之和最小.求这
个最短距离
解:如图,作点B关于直线
MN的对称点C,连接AC交
MN于点P,则点P即为所MAP
建的出口,此时A,B两城镇
BD1BC
到出口P的距离之和最小,
最短距离为AC的长,作AD⊥BB′于点D.在
Rt△ADC中,AD=A'B′=8km,DC=6km,,AC
AD2+DC2=10
km
这个最短距离为10km
一技巧3:用垂线段法求平面中的最短问题
5.某校想把一块三角形废地开辟为植物园,如图.测得
ac=80
mbc=60
m
AB=100
m
(1)若入口E在边AB上,且与A,B的距离相等,求
从入口E到出口C的最短路线长
(2)若线段CD是一条水渠,且点D在边AB上,点D
距点A多远时,水渠的长度最短
解:(1)连接CE,则CE即为从
入口E到出口C的最短路线,
延长CE至点F,使EF=CE,连
接AF,E在边AB上,且与A
B
B距离相等,易得△CEB≌△FEA(SAS),∴∠B
∠EAF,BC=AF,又AC=80m,BC=60m,AB
100m,:AC2+BC2=802+602=1002=AB(共14张PPT)
小专题(四)
与勾股定理有关的分类讨论
◎类型1:锐角和钝角不明确时需分类讨论
为12cm,则△ABC的面积为66或126cm2
1.在△ABC中,AB=13cm,AC=20cm,BC边上的
2在△ABC中,AB=AC=5,S△ABC=7.5,求BC的长
解:当△ABC为锐角三角形(如图①),过点B作BD
AC于点D.
△ABC
AC·BD=7.5
2
BD=3
在Rt△ABD中,AD=√52-32=4,CD=1,
在Rt△CBD中,BC=√32+12=10;
当△ABC为钝角三角形时(如图②),同理可求BC
310
综上,BC的长为√10或3√10
D
B
B
类型2:应用勾股定理时,直角边与斜边不明确需分
类讨论
3.已知以直角三角形的两边分别为边长的正方形面积
为7和16,则以第三边为边长的正方形的面积为
9或23
4.如图,在R△ABC中,∠ACB
90°,AC=4,BC=2,以AB为边向
外作等腰R△ABD,求CD的长
解:分三种情况:
①如图①,当BD为斜边时,过点D作DE⊥AC于点
E,△ABC≌△DAE,易求CD=213
②如图②,当AD为斜边时,过点D作DE⊥BC于点
E,△ABC≌△BDE,易求CD=2√10
③如图③,当AB为斜边时,过点D作DE⊥BC于点
E,过A作AF⊥DE于点F,则四边形ACEF为长方
形,△BED≌△DFA
设DF=BE=x,则DE=AF=4-x,CE=BC+BE=2+
x,在长方形ACEF中,AF=CE,4-x=2+x,x=1,
CD=32
综上,CD的长为213或210或32
类型3:腰和底不明确需分类讨论
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
AB=5cm,AC=3cm,动点P从点
B出发沿射线BC以1cm/s的速度
移动,设运动的时间t秒,当△
ABPB
P
C
为等腰三角形,则t的值为5或8或
25
6.如图,在一张长为7cm,宽为5cm的白纸片上,现要
剪下一个腰长为4cm的等腰三角形,要求:等腰三
角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两
个顶点在矩形的边上,求剪下的等腰三角形的面积
解:当AE=AF=4时,如图①,D
4
°6△AEF
AE·AF
4
8cm2,当AE=EF=4时,如图②,则A
B
BE=5-4=1,BF=EF2-BB=142-13
15
△AEF
AE·BF
4
15=215cm2,当
AE=EF=4时,如图③,则DE=7-4=3,DF
EF2-DE2=42-32=7
°△AEF
AE·DF=×4×7=27
2
2
