苏科版数学八下第9章《中心对称图形—平行四边形》易错培优习题（详细答案）

苏科新版八下第9章《中心对称图形—平行四边形》易错培优习题
一．选择题（共12小题）
1．平行四边形一定具有的性质是（　　）
A．内角和为180° B．是中心对称图形
C．邻边相等 D．对角互补
2．一辆模型赛车，先前进1m，然后沿原地逆时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜90°），被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则旋转角α为（　　）
A．108° B．120° C．72° D．36°
3．如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　）

A．216° B．144° C．108° D．72°
4．如图，已知平行四边形ABCD中，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（﹣4，0），点D的坐标是（﹣2，﹣2），则点B的坐标是（　　）

A．（4，2） B．（6，﹣2） C．（2，2） D．（﹣10，﹣2）
5．下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，?ABCD的周长为60cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（　　）

A．30 cm B．60cm C．40cm D．20 cm
7．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的另一边AD的长是（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4
8．如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　）

A．1 B． C．2 D．3
9．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（　　）

A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D．
10．如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（　　）

A． B． C．4 D．3
11．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有4005个三角形，则n的值是（　　）

A．1002 B．1001 C．1000 D．999
12．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　）

A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2
二．填空题（共8小题）
13．在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形不是中心对称图形的是　 　．
14．若D，E，F分别为△ABC各边的中点，且△DEF的周长为9，则△ABC的周长为　 　．
15．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是　 　．

16．在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件　 　，使△BED与△FDE全等．

17．在△ABC中，AB＝AC，高AH与中线BD相交于点E，如果BC＝2，BD＝3，那么AE＝　 　．
18．如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，则∠EPF＝　 　°．

19．在面积为30的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直直线BC于点E，作AF垂直直线CD于点F，若AB＝10，BC＝12，则CE+CF的值为　 　．
20．如图，正方形ABCD的各边分别平行于x轴或者y轴，蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点（3，0）出发，同时沿正方形ABCD的边做环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以3个单位长度秒的速度做匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以1个单位长度秒的速度做匀速运动，则两只蚂蚁出发后第三次相遇点的坐标是　 　．

三．解答题（共6小题）
21．（1）指出下列旋转对称图形的最小旋转角，并在图中标明它的旋转中心O．
（2）在上述几个图形中有没有中心对称图形？具体指明是哪几个？
解：图形A的最小旋转角是　 　度，它　 　中心对称图形．
图形B的最小旋转角是　 　度，它　 　中心对称图形．
图形C的最小旋转角是　 　度，它　 　中心对称图形．
图形D的最小旋转角是　 　度，它　 　中心对称图形．
图形E的最小旋转角是　 　度，它　 　中心对称图形．
22．如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．

23．如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．






24．在正方形ABCD中，BD为正方形对角线，E，F是BD上两点，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE+∠DCF的度数．






25．已知，在等边△ABC中，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED＝EC
（1）如图1，求证：AE＝DB；
（2）如图2，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之差等于AB的长．









26．已知△ABC中，AB＝AC，点E、D、F分别是AB、BC、AC的中点．
（1）如图①，若∠A＝90°，请判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论．
（2）如图②，若∠A＝120°，BC＝4，求四边形AEDF的周长和面积．
























参考答案
一．选择题（共12小题）
1．平行四边形一定具有的性质是（　　）
A．内角和为180° B．是中心对称图形
C．邻边相等 D．对角互补
【解答】解：A、平行四边形的内角和为360°，故此选项错误；
B、平行四边形是中心对称图形，故此选项正确；
C、平行四边形的对角相等，邻边不一定相等，故此选项错误；
D、平行四边形的对角相等，但不一定互补，故此选项错误；
故选：B．
2．一辆模型赛车，先前进1m，然后沿原地逆时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜90°），被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则旋转角α为（　　）
A．108° B．120° C．72° D．36°
【解答】解：由题意，得赛车所走路线为正五边形，正五边形外角之和为360°，
所以五次旋转角之和为360°，
所以α＝360°÷5＝72°．
故选：C．
3．如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　）

A．216° B．144° C．108° D．72°
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，
因而A、B、D选项都正确，不能与其自身重合的是C选项．
故选：C．
4．如图，已知平行四边形ABCD中，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（﹣4，0），点D的坐标是（﹣2，﹣2），则点B的坐标是（　　）

A．（4，2） B．（6，﹣2） C．（2，2） D．（﹣10，﹣2）
【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（﹣4，0），
∴O是AC的中点，
∴点D与点B关于原点对称，
又∵点D的坐标是（﹣2，﹣2），
∴B（2，2），
故选：C．

5．下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、因为高相等，三个底是平行四边形的底，根据三角形和平行四边形的面积可知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；
B、因为两阴影部分的底与平行四边形的底相等，高之和正好等于平行四边形的高，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；
C、根据平行四边形的对称性，可知小阴影部分的面积等于小空白部分的面积，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；
D、无法判断阴影部分面积是否等于平行四边形面积一半，错误．
故选：D．
6．如图，?ABCD的周长为60cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（　　）

A．30 cm B．60cm C．40cm D．20 cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
又∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝DE，
∴AE+ED＝AE+BE，
∵?ABCD的周长为60cm，
∴AB+AD＝30cm，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD＝30cm，
故选：A．
7．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的另一边AD的长是（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4
【解答】解：过O点作OH⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，∠AOB＝60度，
∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝2，∠BAO＝60°，
∴∠DAO＝30°．
在Rt△AHO中，AO＝2，∠HAO＝30°，
∴AH＝．
所以AD＝2AH＝2．

故选：C．
8．如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　）

A．1 B． C．2 D．3
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝CB＝5，
∴DF＝CF﹣CD＝5﹣3＝2，
故选：C．
9．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（　　）

A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D．
【解答】解：取AB中点E，连接OE、DE、OD，
∵∠MON＝90°，
∴OE＝AB＝2．
在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2．
在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD，
∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2+2．

故选：B．
10．如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（　　）

A． B． C．4 D．3
【解答】解：连接PM、PN．

∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），
∴MN＝＝＝，
∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，
故选：A．
11．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有4005个三角形，则n的值是（　　）

A．1002 B．1001 C．1000 D．999
【解答】解：分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，
图①中三角形的个数为1＝4×1﹣3；
图②中三角形的个数为5＝4×2﹣3；
图③中三角形的个数为9＝4×3﹣3；
…
可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．
按照这个规律，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3，即4n﹣3＝4005，
n＝1002，
故选：A．
12．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　）

A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2
【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
13．在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形不是中心对称图形的是　等边三角形　．
【解答】解：正方形、等腰梯形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中正方形、线段和平行四边形都是中心对称图形，
只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形，
故答案为：等边三角形．
14．若D，E，F分别为△ABC各边的中点，且△DEF的周长为9，则△ABC的周长为　18　．
【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC各边的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，EF＝AB，DF＝AC，
∴△ABC的周长＝2△DEF的周长＝2×9＝18．
故答案为：18．
15．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是　45°　．

【解答】解：∵∠AOC的度数为105°，
由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°，
∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，
∵△AOD中，AO＝DO，
∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，
∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，
由旋转可得，∠C＝∠B＝45°，
故答案为：45°．
16．在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件　D是BC的中点　，使△BED与△FDE全等．

【解答】解：当D是BC的中点时，△BED≌△FDE，
∵E，F分别是边AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
当E，D分别是边AB，BC的中点时，ED∥AC，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴△BED≌△FDE，
故答案为：D是BC的中点．
17．在△ABC中，AB＝AC，高AH与中线BD相交于点E，如果BC＝2，BD＝3，那么AE＝　　．
【解答】解：如图所示，连接DH，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴H为BC的中点，
又∵D为AC的中点，
∴DH为△ABC的中位线，
∴DH∥AB，DH＝AB，
∴△DEH∽△BEA，
∴＝＝＝，
又∵BD＝3，
∴BE＝2，
∴Rt△BEH中，EH＝＝，
∴AE＝2EH＝2，
故答案为：2．

18．如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，则∠EPF＝　40　°．

【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，
∴∠BAD+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，
∵E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，
∴PE是△ABC的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PE∥BC，PF∥AD，
∴∠BPF＝∠BAD，∠APE＝∠ABC，
∴∠APE+∠BPF＝∠BAD+∠ABC＝140°，
∴∠EPF＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40．
19．在面积为30的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直直线BC于点E，作AF垂直直线CD于点F，若AB＝10，BC＝12，则CE+CF的值为　22+或2+　．
【解答】解：分两种情况：
①如图1所示：当∠BAD为锐角时，
∵平行四边形ABCD的面积＝BC?AE＝AB?AF＝30，AB＝10，BC＝12，
∴AE＝2.5，AF＝3，
∵AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴BE＝＝＝，DF＝＝＝3，
∴CE＝CB+BE＝12+，CF＝CD+DF＝10+3，
∴CE+CF＝22+；
②如图2所示：当∠BAD为钝角时，
同理可得：BE＝，DF＝3，
∴CE＝CB﹣BE＝12﹣，CF＝DF﹣CD＝3﹣10，
∴CE+CF＝2+，
综上所述，CE+CF的值为22+或2+．
故答案是：22+或2+．


20．如图，正方形ABCD的各边分别平行于x轴或者y轴，蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点（3，0）出发，同时沿正方形ABCD的边做环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以3个单位长度秒的速度做匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以1个单位长度秒的速度做匀速运动，则两只蚂蚁出发后第三次相遇点的坐标是　（0，﹣3）　．

【解答】解：由已知，正方形周长为4×6＝24，
∵甲、乙速度分别为3单位/秒，1单位/秒，
则两只蚂蚁每次相遇时间间隔为＝6秒，
则两只蚂蚁相遇点依次为（0，3）、（﹣3，0）、（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）．
三．解答题（共6小题）
21．（1）指出下列旋转对称图形的最小旋转角，并在图中标明它的旋转中心O．
（2）在上述几个图形中有没有中心对称图形？具体指明是哪几个？
解：图形A的最小旋转角是　60　度，它　是　中心对称图形．
图形B的最小旋转角是　72　度，它　不是　中心对称图形．
图形C的最小旋转角是　72　度，它　不是　中心对称图形．
图形D的最小旋转角是　120　度，它　不是　中心对称图形．
图形E的最小旋转角是　90　度，它　是　中心对称图形．
【解答】解：（1）如图所示，

（2）图形A的最小旋转角是60度，它是中心对称图形．
图形B的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．
图形C的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．
图形D的最小旋转角是120度，它不是中心对称图形．
图形E的最小旋转角是90度，它是中心对称图形．
故答案为：60，是；72，不是；72，不是；120，不是；90，是．
22．如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．

【解答】解：连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，
则点O即为对称中点．

23．如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．

【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，
∵AF＝DF，
∴△ABF≌△DEF，
∴AB＝DE；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝3，
∴AD＝2AF＝6
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，
∵△ABF≌△DEF，
∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，
∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．

24．在正方形ABCD中，BD为正方形对角线，E，F是BD上两点，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE+∠DCF的度数．

【解答】解：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADP，连接PF，AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，AB＝AD＝CD，
又∵△ABE≌△ADP，
∴PD＝BE＝3，∠ADP＝∠ABE＝45°，
∴∠PDF＝∠ADP+∠ADB＝90°，
∴PF＝＝5，
∴PF＝PE，
又∵AE＝AP，AF＝AF，
∴△AFE≌△AFP（SSS），
∴∠FAP＝∠FAE＝∠EAP＝45°，
∴∠PAD+∠DAF＝45°，
根据正方形的对称性，可得∠DCF＝∠DAF，
又∵∠BAE＝∠DAP，
∴∠BAE+∠DCF＝45°．

25．已知，在等边△ABC中，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED＝EC
（1）如图1，求证：AE＝DB；
（2）如图2，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之差等于AB的长．

【解答】解：（1）如图，作DK∥AC交AB于K，则△BDK是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠EKD＝∠EAC＝120°，∠B＝∠BKD＝60°，
∴DK＝BD，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠KED＝∠EDC，
∵∠ECA+∠ACB＝∠ECD，
∴∠B+∠KED＝∠ECA+∠ACB，
∵∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠KED＝∠ECA，
在△DKE与△EAC中，
，
∴△DKE≌△EAC（AAS），
∴AE＝DK，
∴BD＝AE．
（2）BE﹣AE＝AB；BE﹣BD＝AB；AF﹣AE＝AB；AF﹣BD＝AB．
理由：由旋转可得，△BCE≌△ACF，
∴BE＝AF，
又∵BD＝AE，AB＝BE﹣AE，
∴BE﹣AE＝AB；BE﹣BD＝AB；AF﹣AE＝AB；AF﹣BD＝AB．


26．已知△ABC中，AB＝AC，点E、D、F分别是AB、BC、AC的中点．
（1）如图①，若∠A＝90°，请判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论．
（2）如图②，若∠A＝120°，BC＝4，求四边形AEDF的周长和面积．

【解答】解：（1）四边形AEDF是正方形．
证明：∵AB＝AC，点E、D、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴AE＝DE＝DF＝AF，
∴四边形AEDF是菱形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEDF是正方形．
（2）如图，连接AD，EF，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∵∠A＝120°，BC＝4，
∴∠B＝30°，BD＝2，
∴AD＝tan30°×BD＝2，
∴AB＝2AD＝4，
由题可得，DF是△ABC的中位线，
∴2DF＝AB，即DF＝2，
∴菱形AEDF周长为8．
由题可得，EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF，
即EF＝2，
∴菱形AEDF的面积＝0.5×2×2＝2．