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【精选专题讲义】人教版初中数学全套88讲
第33讲 等腰三角形（1）知识点、考点与考题专题精讲（解析版）
【资料介绍】该资料结合正数与负数一次方程及方程组知识与考点精编而成，学生版+教师版讲义双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于教师备课，为授课
1、了解等腰三角形的概念；
2、掌握等腰三角形的性质；
3、培养学习数学的兴趣，应用等腰三角形的性质进行计算和解决生产、生活中的有关问题
1．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和____第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差_____第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
2. 三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于____且小于____．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是___．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．
直接根据两已知角求第三个角；
依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
3. 三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的____．
三角形共有__ 个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为_ _．
②三角形的一个外角等于和它_ __ _的两个内角的和．
③三角形的一个外角_ __和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
4．等腰三角形的概念与性质
（1）等腰三角形的概念
有__ _相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：__ ___ _】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【简称：__ ___ _】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
参考答案：
1.（1）大于 ；（3） 小于
2.（1）0° 180°；（2） 180°
3.（1）外角 六；（2）①360° ②不相邻 ③大于
4.（1）两条边；（2）①两腰 ②等边对等角 ③三线合一
1. 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【例1】若等腰三角形底角为72°，则顶角为（ ）
【解析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以计算其顶角的度数．
解：∵等腰三角形底角为72°
∴顶角=180°﹣（72°×2）=36°
故选D．
练1. 等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．30° B．150° C．60°或120° D．30°或150°
【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．
解：当高在三角形外部时，顶角是150°；
当高在三角形内部时，顶角是30°；
所以等腰三角形的顶角的度数为30°或150°；
故选D．
2. 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【例2】如图射线BA、CA交于点A．连接BC，己知AB=AC，∠B=40度．那么x的值是（ ）
A．80 B．60 C．40 D．100
【解析】根据等腰三角形的性质及三角形内角与外角的关系解答即可．
解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，
∴x=∠C+∠B=80°．
故选A．
总结：本题利用了等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
练2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．
故选D．
练3.如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【解析】先根据三角形外角性质，用∠C表示出∠AED，再根据等边对等角和三角形内角和定理，列出等式即可求出∠C的度数，再求∠DAE也就不难了．
解：设∠C=x，∵AB=AC
∴∠B=∠C=x
∴∠AED=x+10°
∵AD=DE，∴∠DAE=∠AED=x+10°
根据三角形的内角和定理，得x+x+（20°+x+10°）=180°
解得x=50°，则∠DAE=60°
故选C．
总结：此题能够根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质，用同一个未知数表示各角，进一步根据三角形的内角和定理列方程求解．
3. 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【例3】已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜ B．x≥ C．x＞ D．0＜x＜10
【解析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．就即可求解．
解：因为等腰三角形的两腰相等，差为0，一定小于底边，只需考虑2x＞5，解得x＞．
故选C．
练4. 一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为 cm．
【解析】本题没有明确说明已知的边长那一条是腰长，所以需要分两种情况讨论．
解：分两种情况讨论
①腰长为5时，三边为5、5、2，满足三角形的性质，周长=5+5+2=12cm；
②腰长为2cm时，三边为5、2、2，
∵2+2=4＜5，
∴不满足构成三角形．
∴周长为12cm．
故答案为：12．
4． 等腰三角形的性质；全等三角形的性质．
【例4】已知等腰△ABC的周长为18cm，BC=8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（ ）
A．7cm B．2cm或7cm C．5cm D．2cm或5cm
【解析】分两种情况讨论：
（1）若BC为等腰△ABC的底边；
（2）若BC为等腰△ABC的腰．
解：（1）在等腰△ABC中，若BC=8cm为底边，
根据三角形周长计算公式可得腰长=5cm；
（2）在等腰△ABC中，若BC=8cm为腰，
根据三角形周长计算公式可得底边长18﹣2×8=2cm
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′与△ABC的边长及腰长相等．
即△A′B′C′中一定有一条边等于2或5．
故选D．
练5. 已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是 ．
【解析】△ACD和△ABD都是等腰三角形，但没有说具体的边相等，所以应分情况讨论．
（1） AD=BD，DC=AD，那么△ADB和△ADC是全等三角形，可求得∠ADC=90°，那么∠C=45°；
（2）AB=BD，CD=AD，那么∠B=∠C=∠DAC，∠BAD=∠BDA=2∠C，然后用∠C表示出△ABC的内角和，即可求得5∠C=180°，那么∠C=36°．
解：应分两种情况：
（1）
AD=BD，DC=AD，那么△ADB和△ADC是全等三角形，可求得∠ADC=90°，那么∠C=45°；
（2）
AB=BD，CD=AD，那么∠B=∠C=∠DAC，∠BAD=∠BDA=2∠C，然后用∠C表示出△ABC的内角和，即可求得5∠C=180°，那么∠C=36°．
故填36°或45°．
总结：本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质；本题的易错点在于判断此题应分情况讨论，难点在于画出图形，得到各种情况里所求的角的关系．
5．线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【例5】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为 °．
【解析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．
解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．
故填45．
总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．
练6．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于 ．
【解析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，当∠A为锐角时，∠B等于70°，当∠A为钝角时，∠B等于20°．
解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况：
①当∠A为锐角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，
∴∠A=40°，
∴∠B===70°；
②当∠A为钝角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，
∴∠1=40°，∴∠BAC=140°，
∴∠B=∠C==20°．
故答案为：70°或20°．
6. 等腰三角形的性质；坐标与图形性质．
【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（0，），点C在坐标平面内．若以A，B，C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C有 个．
【解析】本题应该分几种情况讨论，已知的边AB可能是底边，也可能是腰．当AB是底边时，则点C可能位于AB的两侧，就有两个满足条件的三角形；当AB是腰时再分点A是顶角顶点或点B是顶角顶点，两种情况讨论．
解：（1）当AB是底边时，则点C可能位于AB的两侧，就有两个满足条件的三角形；
（2）当AB是腰时且点A是顶角顶点时，点C一定在经过点B且与AB成30°角的直线上，这样的直线有两条，则以点A为圆心AB为半径作弧，与两条直线有两个交点，则可作出两个满足条件的三角形．
同理当AB是腰且点B是顶角顶点时也有2个满足条件的三角形．因此满足条件的点共有6个．
练7．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案．
解：如上图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，﹣2）（0，4）．
故选B．
总结：本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决特殊的问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
1．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（ ）
A．44° B．68° C．46° D．22°
2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
4．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC﹣BD，则∠B：∠C的值是 ．
6．△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB= ．
7．等腰△ABC的两边长为2和5，则第三边长为 ．
1．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3．如图所示，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为 ．
5．从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于 度．
6．△ABC中，AB=AC，∠A=36°，则∠B的度数是 度．
7．如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为 ．
8．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是 ．
9．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC，若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 ．
10．夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图，中塔左右两边所挂的最长钢索AB=AC，塔柱底端D与点B间的距离是228米，则BC的长是 米．
参考答案：
当堂检测
1.
考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析： 本可先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B的度数，进而在Rt△DCB中，求得∠DCB的度数．
解答： 解：∵∠A=44°，AB=AC ∴∠B=∠C=68° ∵∠BDC=90° ∴∠DCB=22°． 故本题选D．
点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．
2．
考点： 等腰三角形的判定．
专题： 分类讨论．
分析： 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
解答： 解：如上图：分情况讨论． ①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故选：C．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
3．
考点： 等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质．
分析： 由已知条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于180°得到各个角的度数，应用度数进行判断，答案可得．
解答： 解：设CE与BD的交点为点O， ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB， 再根据三角形内角和定理知，∠ABC=∠ACB==72°， ∵BD是∠ABC的角的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°=∠A， ∴AD=BD， 同理，∠A=∠ACE=∠BCE=36°，AE=CE， ∵∠DBC=36°，∠ACB=72°， 根据三角形内角和定理知，∠BDC=180°﹣72°﹣36°=72°， ∴BD=BC， 同理CE=BC， ∵∠BOC=180°﹣36°﹣36°=108°， ∴∠ODC=∠DOC=∠OEB=∠EOB=72°， ∴△ABC，△ADB，△AEC，△BEO，△COD，△BCE，△BDC，△BOC都是等腰三角形，共8个． 故选D．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和定理求解；得到各角的度数是正确解答本题的关键．
4．
考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
专题： 动点型．
分析： 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．
解答： 解：如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个； ②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个． 综上所述，符合条件的点P的个数共4个． 故选C．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
5．
考点： 全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 在AC上截取AE=AB，构造两个全等的三角形和等腰三角形，利用三角形内角和外角的关系解答．
解答： 解：在AC上截取AE=AB=X，于是AB=AE 又∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠EAD 又∵AD=AD ∴△ABD≌△AED ∴∠1=∠B，DE=BD=CE=X ∴在等腰三角形DEC中，∠B=∠1=2∠C ∴∠B：∠C=2：1或2．
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理及等腰三角形的性质；解答此题的关键是在AC上截取AE=AB，利用了全等的三角形和等腰三角形的性质和三角形内角和外角的关系．
6．
考点： 等腰三角形的判定．
专题： 压轴题．
分析： 由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可．
解答： 解：∵∠A=80°，∠B=50°， ∴∠C=180°﹣80°﹣50°=50°， ∴AB=AC=5． 故填5．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质；求出∠C的度数是解题的关键．
7．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解．
解答： 解：∵等腰△ABC的两边长为2和5，根据等腰三角形两腰相等的性质可知第三边可能是2或5 ∵2+2＜5 ∴2，2，5不能构成三角形，舍去 ∵5+2＞5 ∴2，5，5能构成三角形 故第三边长为5． 故填5．
点评： 本题综合考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．常常利用两边和大于第三边来判断能否构成三角形．
家庭作业
1．
等腰三角形的判定．
压轴题；分类讨论．
根据题意，结合图形，分情况讨论：①BP为底边；②BP为等腰三角形一腰长．
解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P； ②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P； ③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点． 故选：C．
本题综合考查等腰三角形的判定，需对知识进行推理论证、运算及探究．
2．
考点： 等腰三角形的判定．
分析： 根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
解答： 解：如图， ①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC于点P2； ②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）； ③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）． 2+（3﹣1）+（3﹣1）=6，∴符合条件的点有六个． 故选C．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
3．
考点： 等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质．
专题： 压轴题．
分析： 由已知条件，根据等腰三角形的定义及等角对等边先得出∠ABC的度数，由∠ABC的平分线交AC于D，得到其它角的度数，然后进行判断．
解答： 解：∵在△ABC中，∠A=36°，∠C=72° ∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=72°=∠C ∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形 BD平分∠ABC交AC于D， ∴∠ABD=∠DBC=36° ∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形 ∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C ∴△BDC是等腰三角形 ∴共有3个等腰三角形 故选D．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质及三角形内角和定理；求得各角的度数是正确解答本题的关键．
4．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解答： 解：（1）若4为腰长，9为底边长， 由于4+4＜9，则三角形不存在； （2）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为9+9+4=22． 故填22．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
5．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，最后根据三角形内角和定理不难求解．
解答： 解：（1）如图（1）， ∵AB=AC，AD=BD=BC， ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD， ∴∠BDC=2∠A， ∴∠ABC=2∠A， ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴5∠A=180°， ∴∠A=36°． ∴底角∠C=2∠A=72°； （2）如图（2） AD=BD，BC=CD，设∠A=β，则∠ABD=β， ∴∠1=2β=∠2， ∴∠C=3β， ∴7β=180°， ∴β=； 即∠C=×（180﹣）=， ∴原等腰三角形纸片的底角为72°或．
点评： 本题考查等腰三角形的性质，判断出底角与顶角的关系是解题的关．
6．
考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
分析： 由已知条件根据等边对等角以及三角形的内角和定理即可求得∠B的度数．
解答： 解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠C=（180°﹣36°）÷2=72°． 故填72．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；要掌握等腰三角形的顶角和底角之间的关系：顶角=180°﹣底角的2倍．
7．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 由已知条件根据等腰三角形三线合一的性质可得到BD=DC，再根据三角形的周长定义求解．
解答： 解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC． ∵AB+AC+BC=32， 即AB+BD+CD+AC=32， ∴AC+DC=16 ∴AC+DC+AD=24 ∴AD=8． 故填8．
点评： 本题考查等腰三角形的性质；由已知条件结合图形发现并利用AC+CD是△ABC的周长的一半是正确解答本题的关键．
8．
考点： 等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系．
专题： 压轴题．
分析： 本题可根据已知条件得出底边的长为：10﹣2x，再根据第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求出第三边长的范围．
解答： 解：依题意得：10﹣2x﹣x＜x＜10﹣2x+x， 解得＜x＜5． 故填＜x＜5．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元一次不等式组等知识；根据三角形三边关系定理列出不等式，接着解不等式求解是正确解答本题的关键．
9．
考点： 翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据折叠的性质及等边对等角的性质，可得到∠BAE=∠EAC=∠ECA，根据三角形内角和定理即可求得∠ECA的度数，再根据直角三角形的性质不难求得AC的长．
解答： 解：∵AE=EC， ∴∠EAC=∠ECA， ∵将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上， ∴∠BAE=∠EAC， ∴∠BAE=∠EAC=∠ECA， ∵∠B+∠ECA+∠CAB=180° ∴∠ECA=30° ∵AB=2 ∴AC=2AB=4． 故答案为：4．
点评： 本题考查等腰三角形的性质及直角三角形性质和翻折变换等知识；对于翻折变换问题，找准对应的相等关系是正确解答的关键．
10．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 应用题．
分析： 根据题意，知此三角形是等腰三角形，又等腰三角形底边上的高也是底边上的中线，从而可求得BC的长．
解答： 解：∵AB=AC，BD=228米，AD⊥BC， ∴BD=CD， ∴BC=2BD=456米． 故填456．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质；能够运用数学知识解决实际问题，在实际问题中找着已知条件是正确解答题目的关键．
【资料介绍】该资料结合等腰三角形（1）的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
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教学目标
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知识梳理
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典例精讲
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家庭作业
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【精选专题讲义】人教版初中数学全套88讲
第33讲 等腰三角形（1）知识点、考点与考题专题精讲（学生版）
【资料介绍】该资料结合正数与负数一次方程及方程组知识与考点精编而成，学生版+教师版讲义双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于教师备课，为授课
1、了解等腰三角形的概念；
2、掌握等腰三角形的性质；
3、培养学习数学的兴趣，应用等腰三角形的性质进行计算和解决生产、生活中的有关问题
1．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和____第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差_____第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
2. 三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于____且小于____．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是___．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．
直接根据两已知角求第三个角；
依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
3. 三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的____．
三角形共有__ 个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为_ _．
②三角形的一个外角等于和它_ __ _的两个内角的和．
③三角形的一个外角_ __和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
4．等腰三角形的概念与性质
（1）等腰三角形的概念
有__ _相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：__ ___ _】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【简称：__ ___ _】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
1. 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【例1】若等腰三角形底角为72°，则顶角为（ ）
练1. 等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．30° B．150° C．60°或120° D．30°或150°
2. 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【例2】如图射线BA、CA交于点A．连接BC，己知AB=AC，∠B=40度．那么x的值是（ ）
A．80 B．60 C．40 D．100
练2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
练3.如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
3. 等腰三角形的性质；三角形三边关系．菁优网版权所有
【例3】已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜ B．x≥ C．x＞ D．0＜x＜10
练4. 一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为 cm．
4． 等腰三角形的性质；全等三角形的性质．
【例4】已知等腰△ABC的周长为18cm，BC=8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（ ）
A．7cm B．2cm或7cm C．5cm D．2cm或5cm
练5. 已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是 ．
5．线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【例5】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为 °．
练6．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于 ．
6. 等腰三角形的性质；坐标与图形性质．
【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（0，），点C在坐标平面内．若以A，B，C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C有 个．
练7．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
1．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（ ）
A．44° B．68° C．46° D．22°
2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
4．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC﹣BD，则∠B：∠C的值是 ．
6．△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB= ．
7．等腰△ABC的两边长为2和5，则第三边长为 ．
1．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3．如图所示，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为 ．
5．从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于 度．
6．△ABC中，AB=AC，∠A=36°，则∠B的度数是 度．
7．如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为 ．
8．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是 ．
9．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC，若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 ．
10．夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图，中塔左右两边所挂的最长钢索AB=AC，塔柱底端D与点B间的距离是228米，则BC的长是 米．
【资料介绍】该资料结合等腰三角形（1）的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
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