(共30张PPT)
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
目标定位 重点难点
1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.
2.体会元素与集合间的“从属关系”.
3.记住常用数集的表示符号并会应用. 重点：集合的概念、集合中元素的特征及集合的表示方法.
难点：对集合含义、集合中元素特性的理解以及简单的运用.
1.元素与集合的概念
(1)元素：一般地，我们把____________统称为元素.
(2)集合：把一些________组成的总体叫做集合(简称为集).
(3)集合相等：只要构成两个集合的______是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
(4)集合元素的特性：________、________、无序性.
研究的对象
元素
元素
确定性
互异性
2.元素与集合的关系
a是集合A
a∈A
a不是集合A
a?A
关系 概念 记法 读法
属于 如果__________的元素，就说a属于集合A ______ a属于集合A
不属于 如果____________中的元素，就说a不属于集合A ______ a不属于集合A
3.数集及表示符号
正整数集
有理数集
R
名称 自然数集 ______ 整数集 ______ 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q ______
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)漂亮的花组成集合.( )
(2)2015年所有诺贝尔奖获得者组成集合.( )
(3)在一个集合中可以找到两个相同的元素.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)用“∈”和“?”填空：－3________N*；π______Q；3.14________R.
(2)若a2＝5，则a______R，若a2＝－3，则a______R.
【答案】(1)? ? ∈ (2)∈ ?
3.思一思：若a∈N，但a?N＋，你能确定a的值吗？
【解析】由条件可知，a是自然数中除正整数以外的数，故a＝0.
集合的基本概念
【方法规律】判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点
(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.
(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性.
1.下列所给的对象能构成集合的是________.
(1)所有正三角形；
(2)必修1课本上的所有难题；
(3)比较接近1的正整数全体；
(4)某校高一年级的16岁以下的学生.
【答案】(1)(4)
【解析】(2)不能，“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；(3)不能，“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(1)，(4)都能构成集合.
【解题探究】解题的关键是理解自然数N的意义和元素与集合的关系.
【答案】B
元素与集合的关系
【方法规律】1.要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.
2.判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：当集合中的元素是直接给出时，首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现.
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.
【答案】0,1,2
【例3】已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值.
【解题探究】使集合B中的两个元素分别等于－3，解得a的值，最后要注意验证是否符合元素的互异性.
集合中元素的特性及应用
【解析】∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.
此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意.
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
【方法规律】1.根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要注意集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意检验.
2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.
3.已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________.
【答案】1
【解析】∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.当a2－1＝0时，a＝±1.a＝－1时，a＋1＝0，A中元素重复，不符合题意；a＝1时，a＋1＝2，A＝{2,0}，符合题意.∴a＝1.
【示例】已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求a的值.
【错解】由1∈A，得a＝1或a2＝1，解得a＝±1.
【错因】错解没有注意到字母a的取值对元素的互异性的影响，得到了错误答案，事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性.
忽视集合元素的互异性而致误
【正解】若1∈A，则a＝1或a2＝1，解得a＝1或－1.
(1)当a＝1时，集合A中元素为1和1，不满足集合元素的互异性，故a≠1.
(2)当a＝－1时，集合A中含有两个元素－1和1，符合集合元素的互异性.
综上所述，a＝－1.
【警示】1.涉及含参数的集合问题，切勿忽视集合元素的互异性，务必将求得的参数取值代入，验证是否满足集合中元素的互异性，进而对结果进行取舍.
2.若方程中字母参数影响解的取值，要选择恰当分类标准，注意分类讨论思想的应用.
1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合.
2.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a?A，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.
3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.
1.下列能构成集合的是( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的高个子中学生
D．联合国常任理事国
【答案】D
【解析】A，B，C中研究的对象不确定，因此不能构成集合.
2.集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是( )
A．0∈A B．a?A
C．a∈A D．a＝A
【答案】C
【解析】由题意知A中只有一个元素a，∴0?A，a∈A．元素a与集合A的关系不能用“＝”，故选C．
【答案】A
【答案】3
【解析】①②③是正确的；④⑤是错误的.
5.设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.
【答案】2或4
【解析】代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0?A，不符合题意，舍去，所以a＝2或a＝4.
第1课时 集合的含义
【基础练习】
1．有下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数的全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；
④直角三角形的全体．
其中能构成集合的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】A
【解析】①②没有明确标准，故不能构成集合．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否为此集合的元素有明确标准可依．
2．已知集合A由x＜1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1?A
【答案】C
【解析】很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
3．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【解析】根据集合中元素的互异性可知a≠b≠c，所以一定不是等腰三角形．
4．已知集合A含有三个元素3,5,7，且当a∈A，有10－a∈A，则a为( )
A．3或5或7 B．3或7
C．5 D．7
【答案】A
【解析】若a＝3∈A，则10－a＝7∈A；若a＝7∈A，则10－a＝3∈A；若a＝5∈A，则10－a＝5∈A．故选A．
5．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________．
【答案】±1
【解析】由a2≠1，得a≠±1．
6．若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________．
【答案】3
【解析】由2x－5＜0，得x＜，又x∈N，∴x＝0，1,2，故所有元素之和为3．
7．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2019年亚洲杯的所有球队构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0．5，，组成的集合含有四个元素；
(4)我校的年轻教师构成一个集合．
【解析】(1)正确．因为参加2019年亚洲杯的球队是确定的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0．5＝，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素．
(4)不正确．因为年轻没有明确的标准．
8．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x．
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x．
【解析】(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3．
解得x≠－1，且x≠0，且x≠3．
(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2．
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴x＝－2．
【能力提升】
9．已知x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0?M B．1∈M
C．－2?M D．2∈M
【答案】D
【解析】①当x，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式＋的值为0；③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，所以集合M的元素共有3个：－2,0,2．故选D．
10．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
【答案】B
【解析】因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3．又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一验证可得m＝3．故选B．
11．已知a，b∈R，集合A中含有a，，1三个元素，集合B中含有a2，a＋b,0三个元素，若A＝B，则a＋b＝________．
【答案】－1
【解析】∵A＝B,0∈B，∴0∈A．又a≠0，∴＝0，则b＝0．∴B＝{a，a2,0}．∵1∈B，∴a2＝1，a＝±1．由元素的互异性知a＝－1，∴a＋b＝－1．
12．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
【证明】(1)若a∈A，则∈A．
∵2∈A，∴＝－1∈A．
∵－1∈A，∴＝∈A．
∵∈A，∴＝2∈A．
∴A中另外两个元素为－1，．
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠．∴集合A不可能是单元素集．
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1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
第2课时 集合的表示
目标定位 重点难点
1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 重点：集合的表示方法.
难点：准确理解集合中代表元素的表现形式.
1.列举法表示集合
把集合的元素________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
一一列举
2.描述法表示集合
(1)定义：用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法.
(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的___________________________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的__________.
共同特征
一般符号及取值(或变化)范围
共同特征
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.( )
(2)集合{(1,2)}中含有两个元素.( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合.( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)用列举法表示方程x2－4＝0的解集为________.
(2)用描述法表示大于1且小于5的实数的集合为____________.
【答案】(1){－2,2} (2){x∈R|1【解析】虽然两个集合中表示的元素的字母不同，但实质上它们均表示小于2的所有实数构成的集合，故它们表示同一个集合.
用列举法表示集合
【解题探究】解答本题可先弄清集合元素的性质特点，然后再按要求改写.
【解析】(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.
(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}.
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}.
【方法规律】1.对于元素个数较少的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复.
2.用列举法表示集合的步骤：(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来.
1.已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B．
【解析】对任意a∈A，有|a|∈B，
因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，
由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B，
又B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}.
【例2】用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
【解题探究】解答此类问题要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件，并能正确运用符号语言或自然语言写出描述条件.
用描述法表示集合
【解析】(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}.
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.
【特别提醒】用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一.
2.下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
【解析】(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合.
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对.可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图象.
【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．
【解题探究】明确集合A的含义，并对k加以讨论，求出k的值，并写出集合A．
【解析】(1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.
∴x＝2，此时A＝{2}.
集合表示的综合应用
(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，
∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，
则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}.
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}.
【特别提醒】1.本例易忽略对k的讨论而想当然地认为kx2－8x＋16＝0是一元二次方程，从而导致漏解.
2.A中有一个元素是指x只有一解而不是k只有一解.
3.(1)例3中，若1∈A，试用列举法表示A；
(2)例3中，若集合A中含有两个元素，求k的取值范围.
【解析】(1)∵1∈A，
∴k－8＋16＝0，k＝－8.
∴方程－8x2－8x＋16＝0的解为x1＝1，x2＝－2.
∴A＝{1，－2}.
【示例】用列举法表示集合A＝{(x，y)|y＝x2－1，－1≤x≤1且x∈Z}为________.
【错解】注意到x＝－1,0,1，
∴y＝x2－1＝0或－1，因此集合A＝{0，－1}.
描述法与列举法相互转化的误区
【错因】1.没能看清集合的代表元素，错以为求关于y的取值的数集.2.对列举法表示集合的实质认识不清，对集合理解不到位，个别同学错得A＝{x＝－1，y＝0或x＝0，y＝－1或x＝1，y＝0}.
【正解】由于－1≤x≤1且x∈Z，
所以x＝－1,0,1.
当x＝－1时，y＝0；
当x＝0时，y＝－1；
当x＝1时，y＝0.
所以A＝{(－1,0)，(0，－1)，(1,0)}.
【警示】研究一个集合时，首先应看集合元素的表示形式，再看此集合元素的公共属性.
1.表示集合的要求
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.
2.在用描述法表示集合时应注意
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.
(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
2.下列四个集合中，不同于另外三个的是( )
A．{y|y＝2} B．{x＝2}
C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}
【答案】B
【解析】集合{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.
4．若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，集合B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________．
【答案】{2 000,2 001,2 004}
【解析】由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000，2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}．
第2课时 集合的表示
【基础练习】
1．下列关系式中，正确的是( )
A．{2,3}≠{3,2}
B．{(a，b)}＝{(b，a)}
C．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1}
D．{y|y＝x2＋1}＝{x|y＝x＋1}
【答案】C
【解析】A中{2,3}＝{3,2}，集合元素具有无序性；B中集合中的点不同，故集合不同；C中{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1}＝R；D中{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}≠{x|y＝x＋1}＝R．故选C．
2．方程组的解集是( )
A．{x＝1，y＝1} B．{1}
C．{(1,1)} D．(1,1)
【答案】C
【解析】方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D不是集合的形式，排除D．
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
【答案】D
【解析】集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合．故选D．
4．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
【答案】C
【解析】集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错．
5．将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为________．
【答案】{(2,4)，(5,2)，(8,0)}
【解析】∵3y＝16－2x＝2(8－x)，且x∈N，y∈N，∴y为偶数且y≤5．∴当x＝2时，y＝4，当x＝5时，y＝2，当x＝8时，y＝0．
6．有下面四个结论：
①0与{0}表示同一个集合；
②集合M＝{3,4}与N＝{(3,4)}表示同一个集合；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示．
其中正确的结论是________(填写序号)．
【答案】④
【解析】{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M是实数3,4的集合，而集合N是实数对(3,4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．
7．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x．
【解析】当3x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，则x＝－2或x＝1．经检验，x＝－2，x＝1均不符合集合中元素的互异性．当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或x＝2．经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2．
8．(1)已知集合M＝，求M；
(2)已知集合C＝，求C．
【解析】(1)∵x∈N，∈Z，∴1＋x应为6的正约数．
∴1＋x＝1,2,3,6，即x＝0,1,2,5．
∴M＝{0,1,2,5}．
(2)∵∈Z，且x∈N，
∴1＋x应为6的正约数．
∴1＋x＝1,2,3,6，此时分别为6,3,2,1．
∴C＝{6,3,2,1}．
【能力提升】
9．已知x，y为非零实数，则集合M＝为( )
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
【答案】C
【解析】当x＞0，y＞0时，m＝3，当x＜0，y＜0时，m＝－1－1＋1＝－1．若x，y异号，不妨设x＞0，y＜0，则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1．因此m＝3或m＝－1，则集合M＝{－1,3}．
10．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
【答案】D
【解析】∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4．∴B＝{(2,1}，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}．∴B中所含元素的个数为10．
11．如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．
【答案】{(x，y)|－1≤x≤3，且0≤y≤3}
【解析】图中阴影部分点的横坐标为－1≤x≤3，纵坐标为0≤y≤3，故用描述法可表示为{(x，y)|－1≤x≤3,0≤y≤3}．
12．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P＋Q．
【解析】当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11．
∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．
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