第一章 集合与函数概念能力检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1．(2019年山东枣庄模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，集合M真子集的个数为( )
A．32 B．31
C．16 D．15
【答案】D
【解析】集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，a∈A，b∈B，则a，b的组合有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，∵集合M＝{x|x＝a＋b}，∴M＝{5,6,7,8}，集合M中有4个元素，有24－1＝15个真子集．故选D．
2．如图所示，阴影部分表示的集合是( )
A．(?UB)∩A B．(?UA)∩B
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
【答案】A
【解析】由图可知阴影部分属于A，不属于B，故阴影部分为(?UB)∩A，所以选A．
3．(2019年山东潍坊期中)下列图象可以表示以集合M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以集合N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
【答案】C
【解析】易知选项A的值域不是[0,1]，选项B的定义域不是[0,1]，选项D不是函数，只有C符合题意．
4．(2019年江西南昌期末)函数f(x)＝的定义域是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得解得x＞－且x≠1．故选D．
5．已知函数f＝x2＋，则f(3)＝( )
A．10 B．11
C．12 D．13
【答案】B
【解析】∵f＝2＋2，∴f(3)＝9＋2＝11．
6．函数f(x)对于任意实数x满足f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f[f(5)]等于( )
A．2 B．5
C．－5 D．－
【答案】D
【解析】f(5)＝＝f(1)＝－5，f(－5)＝＝f(－1)＝＝－．
7．函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如下图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
A B C D
【答案】A
【解析】由于函数y＝f(x)·g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数图象在x＝0处是断开的，故可以排除C，D；由于当x为很小的正数时，f(x)>0且g(x)<0，故f(x)·g(x)<0，可排除B，故选A．
8．设f(x)是R上的偶函数且在(－∞，0)上为减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)
【答案】C
【解析】∵x1<0且x1＋x2>0，∴－x2f(x1)．而f(x)又是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)．∴f(x1)9．若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)<1的解集为( )
A．{x|x>3或－3C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－3【答案】C
【解析】由于f(x)是偶函数，∴f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴当x>0时，f(x)<1，即为f(x)3；当x<0时，f(x)＜1，即f(x)10．(2019年湖北武汉期末)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，集合Q＝{2,3,5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为( )
A．147 B．140
C．130 D．117
【答案】B
【解析】y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5时有相同的元素；当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140．故选B．
11．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值是( )
A．最大值为3，最小值－1
B．最大值为7－2，无最小值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
【答案】B
【解析】作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值且最大值不是3，故选B．
12．设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]都满足f(x)≤t2－2at＋1，则t的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．
C．[2，＋∞)∪(－∞，－2]∪{0}
D．∪∪{0}
【答案】C
【解析】由题意，得f(1)＝－f(－1)＝1．又∵f(x)在[－1,1]上是增函数，∴当x∈[－1,1]时，有f(x)≤f(1)＝1．∴t2－2at＋1≥1在a∈[－1,1]时恒成立．∴解得t≥2或t≤－2或t＝0．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13．(2018年江苏)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________．
【答案】{1,8}
【解析】A∩B＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}．
14．(2019年山东临沂期中)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若?UB?A，则实数a的取值范围是________．
【答案】[2，＋∞)
【解析】∵x2－3x＋2>0，∴x>2或x<1．∴A＝{x|x>2或x<1}．∵B＝{x|x≤a}，∴?UB＝{x|x>a}．?UB?A，借助数轴可知a≥2．故选D．
15．函数f(x)＝的值域是______．
【答案】[－8,1]
【解析】设g(x)＝2x－x2,0＜x≤3，结合二次函数的单调性可知g(x)min＝g(3)＝－3，g(x)max＝g(1)＝1．设h(x)＝x2＋6x，－2≤x≤0，则h(x)min＝h(－2)＝－8，h(x)max＝h(0)＝0．所以f(x)max＝g(1)＝1，f(x)min＝h(－2)＝－8．
16．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f(2)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．
【答案】{x|－2【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数且f(2)＝0，所以f(－2)＝0．又f(x)在(－∞，0]上是减函数，故f(x)在[0，＋∞)上是增函数．故满足f(x)<0的x的取值范围应为(－2,2)，即f(x)<0的解集为{x|－2三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17．(10分)设集合A＝{x|0(1)A∩B＝?；
(2)A∪B＝B．
【解析】因为A＝{x|0(1)当A∩B＝?时，有解得m＝0．
(2)A∪B＝B时，有A?B，所以m≥3或m＋3≤0，解得m≥3或m≤－3．
18．(12分)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；
(2)求f(g(x))和g(f(x))的解析式．
【解析】(1)∵g(2)＝1，∴f(g(2))＝f(1)＝0．
∵f(2)＝3，∴g(f(2))＝g(3)＝2．
(2)f(g(x))＝(g(x))2－1＝
∴f(g(x))＝
g(f(x))＝＝
∴g(f(x))＝
19．(12分)若f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数且对一切x，y>0，满足f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2．
【解析】(1)在f＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，
则有f(1)＝f(1)－f(1)，∴f(1)＝0．
(2)∵f(6)＝1，
∴f(x＋3)－f<2＝f(6)＋f(6)．
∴f(3x＋9)－f(6)∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
∴解得－3即不等式的解集为(－3,9)．
20．(12分)已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增函数，结合函数f(x)的图象，求实数a的取值范围；
(3)结合图象，求函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．
【解析】(1)当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．
又函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x．
又当x<0时，f(x)＝x2＋mx，
∵对任意x<0，总有x2＋2x＝x2＋mx，∴m＝2．
函数f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)，知f(x)＝
由图象可知，函数f(x)的图象在区间[－1,1]上是“上升的”，
∴函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数．
要使f(x)在[－1，a－2]上是增函数，
需有解得1即实数a的取值范围是(1,3]．
(3)由图象可知，函数f(x)的图象在区间[－2,2]上的最高点是(1，f(1))，最低点是(－1，f(－1))，
又f(1)＝－1＋2＝1，f(－1)＝1－2＝－1，
∴函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值是1，最小值是－1．
21．(12分)已知函数f(x)＝x＋且此函数的图象过点(1,5)．
(1)求实数m的值；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)讨论函数f(x)在区间[2，＋∞)上的单调性，证明你的结论．
【解析】(1)∵f(x)过点(1,5)，∴1＋m＝5?m＝4．
(2)对于f(x)＝x＋，∵x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∴f(－x)＝－x＋＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(3)证明：设x1，x2∈[2，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)
＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝．
∵x1，x2∈[2，＋∞)且x1∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2>0．
∴f(x1)－f(x2)<0．
∴f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增．
22．(12分)定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1且对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝2．
(1)求f(0)的值；
(2)求证：对任意x∈R，都有f(x)>0；
(3)解不等式f(3－2x)>4．
【解析】(1)对任意x，y∈R，
f(x＋y)＝f(x)·f(y)．
令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，
即f(0)·[f(0)－1]＝0．
令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，对任意x∈R成立，
所以f(0)≠0．因此f(0)＝1．
(2)证明：对任意x∈R，
有f(x)＝f＝f·f＝2≥0．
假设存在x0∈R，使f(x0)＝0，
则对任意x>0，有
f(x)＝f[(x－x0)＋x0]＝f(x－x0)·f(x0)＝0．
这与已知x>0时，f(x)>1矛盾．
所以，对任意x∈R，均有f(x)>0成立．
(3)令x＝y＝1，有f(1＋1)＝f(1)·f(1)，
所以f(2)＝2×2＝4．
任取x1，x2∈R且x1则f(x2)－f(x1)
＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)
＝f(x1)·[f(x2－x1)－1]．
因为x10．
由已知得f(x2－x1)>1，
所以f(x2－x1)－1>0．
由(2)，知x1∈R，f(x1)>0．
所以f(x2)－f(x1)>0，
即f(x1)故函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
由f(3－2x)>4，得f(3－2x)>f(2)，
即3－2x>2，解得x<．
所以不等式的解集是．
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第一章 集合与函数概念能力检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1．(2019年山东枣庄模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，集合M真子集的个数为( )
A．32 B．31
C．16 D．15
2．如图所示，阴影部分表示的集合是( )
A．(?UB)∩A B．(?UA)∩B
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
3．(2019年山东潍坊期中)下列图象可以表示以集合M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以集合N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
4．(2019年江西南昌期末)函数f(x)＝的定义域是( )
A． B．
C． D．
5．已知函数f＝x2＋，则f(3)＝( )
A．10 B．11
C．12 D．13
6．函数f(x)对于任意实数x满足f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f[f(5)]等于( )
A．2 B．5
C．－5 D．－
7．函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如下图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
A B C D
8．设f(x)是R上的偶函数且在(－∞，0)上为减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)9．若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)<1的解集为( )
A．{x|x>3或－3C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－310．(2019年湖北武汉期末)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，集合Q＝{2,3,5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为( )
A．147 B．140
C．130 D．117
11．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值是( )
A．最大值为3，最小值－1
B．最大值为7－2，无最小值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
12．设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]都满足f(x)≤t2－2at＋1，则t的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．
C．[2，＋∞)∪(－∞，－2]∪{0}
D．∪∪{0}
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13．(2018年江苏)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________．
14．(2019年山东临沂期中)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若?UB?A，则实数a的取值范围是________．
15．函数f(x)＝的值域是______．
16．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f(2)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17．(10分)设集合A＝{x|0(1)A∩B＝?；
(2)A∪B＝B．
18．(12分)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；
(2)求f(g(x))和g(f(x))的解析式．
19．(12分)若f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数且对一切x，y>0，满足f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2．
20．(12分)已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增函数，结合函数f(x)的图象，求实数a的取值范围；
(3)结合图象，求函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．
21．(12分)已知函数f(x)＝x＋且此函数的图象过点(1,5)．
(1)求实数m的值；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)讨论函数f(x)在区间[2，＋∞)上的单调性，证明你的结论．
22．(12分)定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1且对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝2．
(1)求f(0)的值；
(2)求证：对任意x∈R，都有f(x)>0；
(3)解不等式f(3－2x)>4．
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