京改版八下：15.5三角形中位线定理 教案

三角形中位线定理
【教学目标】
1．本节课的认知目的是使学生了解三角形的中位线概念及其性质定理，重点是熟悉和掌握三角形中位线定理，并能正确地运用这个定理去解决一些简单的几何问题。
2．本节课利用几何画版平台，动态演示了例题几何图形的多种变化，使学生初步认识事物的动与静、变与不变这一矛盾的对立与统一的辩证唯物主义思想。
【教学重难点】
重点：掌握定理的实质和定理的应用。
难点：定理的证明。
【教学过程】
教 学 过 程
设计思路及应用分析
导读
1．概括这节课的学习内容和认知目标；
2．引入三角形的中位线概念。
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
注意：三角形的中位线和三角形的中线不同。
对比：三角形有三条中位线，它们组成一个三角形；
三角形有三条中线，它们相交于一点。

三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
定理表达式
证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF。
演示：打开几何画板
1．依次拖动三角形的三个顶点，注意DE 和 BC长度的变化，观察它们的数量关系。
2．自点 D 作 BC 的平行线 FG，再拖动三个顶点，观察 DE 与 BC 的位置关系。
例题 求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。
已知：如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB．BC．CD．DA 的中点。
求证：四边形 EFGH 是平行四边形。
证法一：联结 AC．
证法二：连结 AC．BD．
继续运行程序可以看到，把等量关系改为平行关系，证明过程完全相同。
探索：把例题中的四边形 ABCD 称为原四边形，顺次连结四边中点所得到的四边形叫做中点四边形，可知，如果原四边形是凸四边形，其中点四边形是平行四边形。
探索一：若原四边形是矩形、菱形、等腰梯形，那么中点四边形是什么图形？
探索二：若原四边形的对角线垂直、或相等、或垂直且相等，那么中点四边形是什么图形？
探索三：若原四边形改变形状，中点四边形有什么变化？
打开几何画板探索一
观察1
ABCD是矩形，EFGH是什么四边形。
观察2
ABCD是菱形，EFGH是什么四边形。
观察3
ABCD是等腰梯形，EFGH是什么四边形。
打开几何画板探索二
观察1．
ABCD对角线互相垂直，
EFGH是什么四边形。
观察2．
ABCD对角线相等，
EFGH是什么四边形。
观察3．
ABCD对角线垂直且相等，
EFGH是什么四边形。
打开几何画板探索三
变化1．
ABCD变为凹四边形。
变化2．
ABCD变为扭曲四边形。
变化3．AB与BC重合。
动画：设置A．B．C．D四点在某一轨道上不停地运动，四边形ABCD的形状也不停地变化，可以发现，只要四条线段AB．BC．CD．DA首尾相连，四边形EFGH始终是平行四边形。只要在画面任何一处点击鼠标，图形即停止在一种静止状态。上面的三种图形都是运动过程中的某一瞬间。
可以让学生自己操作，图形静止后，根据当前的图形自编一道题。
练习
1．如左下图，△ABC中，D．E、F 分别为AB．BC．CA的中点，∠DEF = ∠BAC 吗？
2．如右下图，△ABC中，AG 是 BC边的高，D．F是AB．AC的中点，∠DGF = BAC 吗？
3．把上面两个图形合并在一起，如下图，根据合并后的图形编一道题，并证明你的结论。
作业
1．求证：顺次连结矩形四边中点所得的四边形
是菱形。
2．求证：顺次连结菱形四边中点所得的四边形
是矩形。
课堂小结
1．中位线定理在同一条件下有两个结论，一是表明位置关系，一是表明数量关系，应用时要根据需要而选择。
2．在应用中位线解四边形问题时，关键是作辅助线，构造含有中位线的三角形。
3．我们平常见到的几何图形都是静态的，本节课利用几何画板演示了动态图形的变化，可以清楚地看到几何图形的位置关系处在相互依存的状态之中，静态图形只是动态图形在变化过程中的某一瞬间。动是绝对的，静是相对的，在动态中探索图形变化的规律，在静态中寻求解决问题的方案，这正是数学这门学科的创新和发展。
特别强调了本节课的制作特色是动态演示，学习方法是探索研究。
这里用动态连结并配上音乐，以引起学生的注意。
这里的三条中位线和三条
中线使用闪烁的手法，加
强对比的效果。
定理表达式更能清楚地反
映定理的题设和结论。
中位线定理的证明方法较多，因为不作为本节课的重点，所以这里只选用了一种学生比较熟悉的直接证法。
也可以先演示再证明，通过演示，使学生更直观地了解三角形的中位线和第三边的数量关系以及位置关系。
说明：关闭几何画板时，选择“不保存”。
本例题选自课本，证法一与课本相同。
引导学生分析为什么要连辅助线。
这里增加的证法二，是让学生知道单独使用定理的两个结论同样可以达到目
的。
这里运用了Authorware的擦除和显现效果，把“=”号渐变为“∥”号，节省从新书写的时间，且又起到对比的效果。
这里的探索是本节课的重点，也是最能吸引学生注意力的一种教学手段。
利用几何画板制作动态演示，可以清楚地看到每个不同的图形都处在变化的过程当中。
每幅画面都安置了四个按钮，每双击一个按钮，原四边形即可缓慢演变为矩形、菱形、等腰梯形等，（顺序可以随意）。学生可以根据显示的线段长度及有关角度来判断原四边形和中点四边形的形状。
再双击“变化”，即可看到变化的全过程。使学生感受到不同的静态图形只是动态图形在运动过程中的某一瞬间。
在探索二之前，可以设疑提问：当中点四边形是矩形或菱形时，原四边形是什么图形？
探索三中的动画设计与前面的动态设计不同，前面用的是几何画板中的移动效果，把四个顶点A．B．C．D动态移动到某一固定位置，得到一种特殊的静止图形，以便对这种图形分析研究。而动画则是不停地运动，观察到的图形更加多样化和一般化。这就是从一般到特殊，再回到更一般的思维方式。
本课件可以让学生动手动脑，完成观察、分析、探索、结论这一学习过程。
这道练习分三步完成，第2小题是把三角形的中位线和直角三角形斜边的中线加以对比，区分使用，第3小题则是两个知识概念的综合应用。
这里运用Authorware的移动效果将两个图形合并。
课堂着重探索，结论的证明让学生课后完成。