京改版八下：15.2 平行四边形和特殊的平行四边形 教案

平行四边形和特殊的平行四边形
【教学目标】
1．掌握矩形、菱形、正方形的概念，了解它们与平行四边形的关系。
2．探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关特征和识别方法。
3．通过分析平行四边形和各种特殊平行四边形的概念与特征之间的联系和区别。认识特殊与一般的关系，从而体会事物总是互相联系。又互相区别的，进一步培养辩证唯物主义观点。
【教学重点】
掌握几种特殊的平行四边形的特征与识别方法。
【教学难点】
对不同特殊平行四边形的不同特征，与识别方式的区分与理解。
【教学过程】
知识讲解
（一）矩形的定义、性质和判定
1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2．性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两个对称轴；它的对称中心是对角线的交点。
3．判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形。
（二）菱形的定义、性质和判定
1．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2．性质：（1）菱形的四条边都相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；（2）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。
3．判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（三）正方形的定义、性质和判定
1．定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形。
2．性质：（1）正方形四个角都是直角，四条边都相等；
（2）正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
3．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。
温馨提示：
1．矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质；
2．平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别及联系，把握它们的特征是关键。
（四）平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系：
典型例题
类型一：矩形的性质与判定
（1）如图，已知矩形ABCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′＝20°，则∠BDC的度数为________。
（1）题
（2）题
（2）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长。
【点拨】
（1）本题考查矩形的性质和折叠全等的问题，设∠BDC＝x°，则∠ADB＝(90－x)°，∴x＝90－x＋20，∴x＝55°。
（2）本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质。
【解答】（1）55°
（2）解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，
∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF＋∠DEC＝90°。而∠ECD＋∠DEC＝90°，
∴∠AEF＝∠ECD．
又∠FAE＝∠EDC＝90°，EF＝EC，
∴Rt△AEF≌Rt△DCE，AE＝CD．
∵矩形ABCD的周长为32 cm，AD＝AE＋4，
∴2(AE＋AE＋4)＝32
解得AE＝6(cm)。
类型二 菱形的性质与判定
（1）已知菱形的两对角线长分别为6 cm和8 cm，则菱形的面积为________ cm2。
（2）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD＝80°，对角线AC．BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝________度。

（3）如图，在?ABCD中，EF∥BD，分别交BC、CD于点P、Q，交AB、AD的延长线于点E、F。已知BE＝BP。
求证：①∠E＝∠F；②?ABCD是菱形。
【点拨】本组题考查菱形的面积公式和菱形的性质与判定。
【解答】（1）24 S菱形＝×6×8＝24。
（2）25 在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，∴∠BAO＝40°，∴∠ABO＝50°，又BE＝BO∴∠BOE＝65°。又∠AOB＝90°，∴∠EOA＝25°。
（3）证明：①在?ABCD中，BC∥AD，∴∠1＝∠F。
∵BE＝BP，∴∠E＝∠1．∴∠E＝∠F。
②∵BD∥EF，∴∠2＝∠E，∠3＝∠F。
∵∠E＝∠F，∴∠2＝∠3，∴AB＝AD，
∴?ABCD是菱形。
方法总结：
条件中有菱形时，除了应用菱形的性质外，同时也可以应用平行四边形的性质。
类型三 正方形的性质与判定
（1）下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
（2）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连结BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4。
①证明：△ABE≌△DAF；
②若∠AGB＝30°，求EF的长。
【点拨】（1）当一个四边形既是菱形又是矩形时，它就是正方形。（2）考查正方形的性质。
【解答】（1）D
（2）①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD．
在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF。
②∵四边形ABCD是正方形，∴∠1＋∠4＝90°。
∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°。
在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°。
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，
∴AF＝，DF＝1
由①得△ABE≌△ADF，∴AE＝DF＝1
∴EF＝AF－AE＝－1
方法总结：
正方形的性质和判定是平行四边形知识的综合，是中考命题的热点之一，解决正方形问题的关键是理解正方形、矩形、菱形、平行四边形之间的关系。
专项训练
1．试说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，，AB=4cm，求矩形对角线的长。
3．如图所示，平行四边形ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，试说明四边形EFGH是矩形。
4．如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过顶点C，作BD的垂线与的平分线相交于点E，交BD于G，求证：AC=CE。
5．如图：菱形的周长为20cm，两个相邻角的度数比为1：2，求较短的对角线长。

6．如图所示，从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线，试说明，连接各垂足的四边形是矩形。
7．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC．CD上的点，且，求证：。
8．如图所示，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求的度数。
9．如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，，BN平分并交MN于N。求证：MD=MN。
10．如图所示，在矩形ABCD中，已知AD=8，AB=6，BD=10，P是AD边上任一点，那么的值为（ ）？为什么？
11．如图所示，在△ABC中，，分别是的平分线，BE和AD交于G，求证：GF//AC。
（湖北省荆州市中考题）
【作业布置】
（一）选择题
1．两对角线互相垂直平分，并且有一个角是直角的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
2．对角线互相平分且相等的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
3．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线平分一组对角
D．对角线互相垂直
4．菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角
D．对角线互相垂直
5．菱形的一条较短的对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（ ）
A．15° B．30°
C．45° D．60°
（二）填空
1．从矩形添加___________的条件或者从菱形添加___________的条件就得到正方形。
2．如图1所示，在矩形ABCD中，，，则_____________，____________。
图1
3．顺次连结四边形各边的中点是____________，顺次连结矩形各边的中点是_________。
4．菱形对角线的交点到四条边的距离____________，若这个距离为2cm，菱形的边长为5cm，则这个菱形的面积是_____________cm2．
5．如图2所示，平行四边形ABCD的各角平分线围成的四边形EFGH是__________，如果E、F、G、H四点重合，那么平行四边形ABCD一定是____________。
图2
（三）解答
1．如图3所示，矩形的周长为20cm，一边中点与对边两顶点连线r夹角为直角，求矩形各边的长。
图3
2．如图4所示，在四边形ABCD中，，AD=CD，于P，若四边形ABCD的面积为25。求DP的长。
图4
3．如图5所示，E为正方形ABCD中BC边的中点，AE平分，求证：AF=BC+FC．
图5
4．如图6所示，在菱形ABCD中，点E是AD的中点，交CB的延长线于点F，交AC于点M，试说明AB与EF互相平分。
图6
5．（江苏苏州）如图7所示，有两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同的花草，下面前两个图案是设计示例，请你在后两个正方形中再设计两种以上不同的图案。
示例：
图7
请你设计：
（四）问题探究
1．如图8所示，△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交的平分线于E，交的外角平分线于F。
（1）试说明OE=OF；
（2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？试说明理由。
（3）在什么条件下，四边形AECF是正方形？
图8
2．如图9①所示，△ABC是直角三角形，，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，则符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB（如图9②所示）。
图9
解答问题：
（1）设如图②所示中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为，则。（填“>”、“=”或“<”）
（2）如图③所示，△ABC是钝角三角形，按题设要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_____________个。
（3）如图④所示，△ABC是锐角三角形，且三边满足BC>AC>AB，按题设要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出___________个。
（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？
（五）选择题
1．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )
A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1
2．如图，每个小正方形的边长为1，A．B．C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
3．如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
5．下列命题中，真命题是( )
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
6．如图，菱形ABCD中，AB＝15，∠ADC＝120°，则B．D两点之间的距离为( )
A．15 B． C．7．5 D．15
7．如图，矩形ABCD中，AB>AD，AB＝a，AN平分∠DAB．DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，则DM＋CN的值为(用含有a的代数式表示)( )
A．a B．a C．a D．a
8．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH，则与∠BEG相等的角的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
（六）填空题
1．如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是________。
2．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010米停下，则这个微型机器人停在________点。
3．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为________度。
（七）解答题
1．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD。
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积。
2．如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE。
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形。
3．如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF。
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论。