人教版数学八年级下册18.2.3 正方形的性质讲义（无答案）

教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T同步( 正方形性质 ) C专题( 正方形判定 ) T能力( 四边形综合 )
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教学内容
（热个身先~~~） 题型一:正方形边、角和对角线的性质1．如图，以 A，B 为其中两个顶点作位置不同的正方形，一共可以作（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．在如图所示的 3×3 的方格中，画出 3 个面积小于 9 的不同的正方形，同时要求所画正方形的顶点都在方格的顶点上，并且写出边长． 3．如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC=1，CE=3，H 是 AF 的中点 ， 那 么 CH 的 长 是 ． 题型二:正方形的折叠问题1．如图，把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 MN，再过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的点 F 处，折痕为 BE．若 AB 的长为 2，则 FM 的长为（ ） A．2 C． D．1 2．如图，将正方形 ABCD 的一角折向边 CD，使点 A 与 CB 上一点 E 重合，若 BE=1，CE=2，则 折 痕 FG 的 长 度 为 （ ） A． B．2 C．3 D．4 3．如图是一正方形纸片 ABCD，将纸片折叠，使得 AB 与 DC 重合，然后展平，折痕为 EF；再沿过点 B 的直线 BM 折叠，使点 C 落在 EF 上的点 N 处，BM 交 CD 边于点 M，交 EF 于点P，再展平．则下列结论：①CM=DM；②∠ABN=30°；③△PMN 是等边三角形．其中正确的有 （ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 4.如图，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的一点 H 重合（H 不与端点 C，D 重合），折痕交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，边 AB 折叠后与边 BC 交于点 G．设正方形 ABCD 的周长为 m，△CHG 的周长为 n，的值为（ ） A． B． C. D．随 H 点位置的变化而变化 题型三:正方形中的面积问题1.将 n 个边长为 1 的正方形按照如图所示方式摆放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于______ ． 2．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，MN∥BC 分别交 AB、CD 于点 M、N，在 MN 上任取两点 P、Q，那么图中阴影部分的面积是______ ． 3．如图，以正方形 ABCD 的边 AD 为一边作等边三角形 ADE，F 是 DE 的中点，BE、AF 相交于点 G，连接 DG，若正方形 ABCD 的面积为 36，则 BG=______ ． 4．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住 的总面积是 24 平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少 3 平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（ ） A．40 B．25 C．26 D．36 （课堂精粹） 题型一:一组邻边相等的矩形是正方形 1．如图，AB 是 CD 的垂直平分线，交 CD 于点 M，过点 M 作 ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为 E、F． （1）求证：∠CAB=∠DAB； （2）若∠CAD=90°，求证：四边形 AEMF 是正方形． 2．如图，点 O 是线段 AB 上的一点，OA=OC，OD 平分∠AOC 交 AC 于点 D，OF 平分∠COB， CF⊥OF 于点 F． （1）求证：四边形 CDOF 是矩形； （2）当∠AOC 多少度时，四边形 CDOF 是正方形？并说明理由． 类型二:有一个角是直角的菱形是正方形1．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD=CD，点 E 是边 AC 的中点，连接 DE，DE 的延长线与边 BC 相交于点 F，AG∥BC，交 DE 于点 G，连接 AF、CG． （1）求证：AF=BF； （2）如果 AB=AC，求证：四边形 AFCG 是正方形． 2．已知：如图，在四边形 ABFC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D， 交 AB 于点 E，且 CF=AE． （1）求证：四边形 BECF 是菱形； （2）当∠A 的大小为多少度时，四边形 BECF 是正方形？ 类型三:对角线相等的菱形是正方形 1．如图，已知在? ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，E 是 BD 延长线上的点，且 EA=EC． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形 ABCD 是正方形．类型四:对角线互相垂直的矩形是正方形1.如图，四边形 ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形，求∠AED 的度数． 2．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是边 BC 的中点，过点 A、D 分别作 BC 与 AB 的平 行线，相交于点 E，连结 EC、AD． （1）求证：四边形 ADCE 是矩形； （2）当∠BAC=90°时，求证：四边形 ADCE 是正方形． 3．如图，四边形 ABCD 是边长的正方形，以 CD 为边作等边三角形 CDE，BE 与AC 相 交 于 点 M， 则 DM 的 长 为 （ ） A．+1 B. +1 C．2 ﹣ 4.如图，在正方形 ABCD 外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE 相交于点 F，则∠BFC 为（ ） A．75° B．60° C．55° D．45° 以正方形 ABCD 的边 CD 为边作等边△CDE，则∠AEB=______ ° 6．如图所示，四边形 ADEF 为正方形，ABC 为等腰直角三角形，D 在 BC 边上，△ABC 的面积等于 98，BD：DC=2：5．则正方形 ADEF 的面积等于 ． 7．如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E 在 AB 边上，EF⊥AC 于点 F，连接EC，AF=3，△EFC 的周长为 12，则 EC 的长为（ ） B．3 C．5 D．6 8．如图：E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE=BC，P 为 CE 上任 意一点，PQ⊥BC 于点 Q，PR⊥BE 于点 R，则 PQ+PR 的值是（ ） A. B． C． D． 9．如图，已知在正方形 ABCD 中，AE∥BD，BE=BD，BE 交 AD 于 F．求证：DE=DF． 10．如图，四边形 ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中 CE=CF，BC=5，CF=3， BF=4．求证：DE∥FC． 11．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D 是线段 BC 上一点，以 AD 为边，在 AD 的右侧作正方形 ADEF．直线 AE 与直线 BC 交于点 G，连接 CF． （1）猜想线段 CF 与线段 BD 的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）连接 FG，当△CFG 是等腰三角形时， ①当 BD＜1 时求 BD 的长． ②当 BD＞1 时，BD 的长度是否改变，若改变，请直接写出 BD 的长度． 12．如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E 在边 AB 上，连接 ED，过点 D 作 FD⊥DE 与 BC 的延长线相交于点 F，连接 EF 与边 CD 相交于点 G、与对角线 BD 相交于点 H． （1）若 BD=BF，求 BE 的长； （2）若∠ADE=2∠BFE，求证：HF=HE+HD． 13.正方形 ABCD、正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示，点 G 在线段 DK 上，正方形 BEFG 的边长为 4，则△DEK 的面积为 ． 14．如图，在正方形 ABCD 中，AD=5，点 E、F 是正方形 ABCD 内的两点，且 AE=FC=3， BE=DF=4， 则 EF 的 长 为 （ ） A. B． C． D．15．如图，在正方形 ABCD 中，AB=2，延长 AB 至点 E，使得 BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接 AF，CF，M 为 CF 的中点则 AM 的长为（ ） A．2 B．3 C. D． （ 画竹必先成竹于胸！） 题型一：正方形中的旋转变换1．如图，正方形 ABCD 中，CE⊥MN，若∠MCE=35°，则∠ANM 的度数是______ ． 2．如图，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 上的点，且 AE=BF=CG=DH，试判定四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论． 3．已知，正方形 CEFG 的边 GC 在正方形 ABCD 的边 CD 上，延长 CD 到 H，使 DH=CE，K 在 BC 边上，且 BK=CE，求证：四边形 AKFH 为正方形． 4．如图，在正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 上的点，HA=EB=FC=GD， 连接 EG、FH，交点为 O，连接 EF、FG、GH、HE，求证：四边形 EFGH 是正方形． 5．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点为 O，以 O 为端点引两条互相垂直的射线 OM、ON，分别交边 AB、BC 于点 E、F． （1）求证：0E=OF； （2）若正方形的边长为 4，求 EF 的最小值． 6．已知正方形 ABCD 如图所示，连接其对角线 AC，∠DAC 的平分线 AE 交 CD 于点 E， 过点 D 作 DM⊥AE 于 F，交 AC 于点 M，共过点 A 作 AN⊥AE 交 CB 延长线于点 N． （1）若 AD=3，求△CAN 的面积； （2）求证：AN=DM+2EF． 7．如图，正方形 ABCD 中，点 E 从点 A 出发沿着 AD 向 D 运动，（点 E 不与点 A，点 D重合）同时点 F 从点 D 出发沿着线段 DC 向 C 运动，（点 F 不与点 D，点 C 重合）点 E 与 F 点运动速度相同，当点 E 停止运动时，另一动点 F 随之停止运动，设 BE 与 AF 相交于点 P，连接 PC 请研究： （1）AF=BE，AF⊥BE； （2）当点 E 运动到 AD 中点位置时： ①PA：PB 的值是多少？②PC 和 BC 又怎样的数量关系？并证明你的结论． 题型三:勾股弦图（一线三垂） 1．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 P 是 BC 上任意一点，DE⊥AP 于点 E，BF⊥AP 于点 F，CH⊥DE 于点 H，BF 的延长线交 CH 于点 G． （1）求证：AF﹣BF=EF； （2）四边形 EFGH 是什么四边形？并证明； （3）若 AB=2，BP=1，求四边形 EFGH 的面积． 2．如图，过正方形 ABCD 的顶点 B 作直线 l，过点 A，C 作直线 l 的垂线，垂足分别为 E，F，直线 AE 交 CD 于点 G． （1）求证：△ABE≌△BCF； （2）若∠CBF=65°，求∠AGC 的度数． 题型四:正方形与四边形综合题目1．如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC 和 CD 上，AE=AF． （1）求证：CE=CF． （2）连接 AC 交 EF 于点 O，延长 OC 至点 M，使 OM=OA，连接 EM、FM．判断四边形 AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 2．如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 是对角线 BD 上两点，DE=BF． （1）判断四边形 AECF 是什么特殊四边形，并证明； （2）若 EF=4，DE=BF=2，求四边形 AECF 的周长． 3．已知正方形 ABCD 的边长为 a，两条对角线 AC、BD 相交于点 O，P 是射线 AB 上任 意一点，过 P 点分别作直线 AC、BD 的垂线 PE、PF，垂足为 E、F． （1）如图 1，当 P 点在线段 AB 上时，PE+PF 的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如 果不是，请加以说明． 如图 2，当 P 点在线段 AB 的延长线上时，求 PE﹣PF 的值． 题型五:中点四边形1．如图，已知 E，F，G，H 分别为正方形 ABCD 各边上的动点，且始终保持 AE=BF=CG=DH， 点 M，N，P，Q 分别是 EH、EF、FG、HG 的中点．当 AE 从小于 BE 的变化过程中，若正方形ABCD 的周长始终保持不变，则四边形 MNPQ 的面积变化情况是（ ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 2．如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别在 BC，CD 上，且 BE=CF，M，N，P，Q 分别是 AB，AF，EF，BE 的中点，判断四边形 MNPQ 的形状，并证明． 1.在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥BC，G为BD延长线上一点且△ABG为等边三角形，∠BAD、∠CBD的平分线相交于点E，连接AE交BD于F，连接GE．若平行四边形ABCD的面积为9，求AG的长 2．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G， AF与BG交于点E． （1）求证：AF⊥BG，DF=CG； （2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的长度3.已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF． 求证：DE=DF． 4．已知：如图所示，O为等腰直角△BCD斜边BD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．（1）求证：△BCE≌△DCF； （2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论； （3）若GE?GB=4-2，求△DBG的面积． 5．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC-CD． （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由． 6．如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H． （1）若BF=BD=，求BE的长； （2）若∠ADE=2∠BFE，求证：FH=HE+HD． 7．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2． （1）求AC的长． （2）求∠AOB的度数． （3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积． 8．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F． （1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD； （2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比； （3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 9．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F． （Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由． （Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么 10．在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，点E是AB的中点，连接DE．（1）求∠BAD的度数； （2）求∠B的度数； （3）求线段DE的长． 11．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F． （1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论； （2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论． 12．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB ≌ △ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为+1时，求正方形的边长． 13．Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合． （1）求证：四边形ABFC为平行四边形； （2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′C′位置，直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明） 14.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF 交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF． （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上， EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的长． （3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案： ①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH=________②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH=_______（用n的代数式表示）． 15．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点． （1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明； （2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．


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