人教版数学八年级下册18.2.3 正方形 课件(共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册18.2.3 正方形 课件(共25张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 684.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-26 09:30:31 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
18.2.3 正方形
问题引入
平行四边形
矩形
菱形
？
有一个角为直角
邻边相等
是什么？
新知探究
A
B
两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
正方形是特殊的矩形
邻边相等的矩形。
正方形
正方形
★正方形是特殊的菱形
一个角是直角的菱形。
轴对称图形，有4条对称轴
(A)
(B)
1、对称性
四边相等
2、边
AB=BC=CD=DA
四角相等
3、角
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
4、对角线
相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
正方形的性质
平行四边形
一组邻边相等
一个内角是直角
1、定义法
∵ □ABCD中，AB=BC且∠A=90°，
∴ABCD为正方形
A
B
C
D
A
B
C
D
正方形的判定
一内角是直角
2、菱形法
∵ 菱形ABCD中，∠A=90°，
∴ABCD为正方形
A
B
C
D
A
B
C
D
一组邻边相等
3、矩形法
A
B
C
D
A
B
C
D
∵ 矩形ABCD中，AB=BC，
∴ABCD为正方形.
已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O。
求证： △ ABO、 △ BCO、 △ CDO、 △ DAO是全等的等腰直角三角形。
例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分
成四个全等的等腰直角三角形．
典例精析
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∠B=90°
∴AC=BD，AC ⊥ BD,AO=BO=CO=DO
∴△ ABO、 △ BCO、 △ CDO、 △ DAO是等腰直角三角形，且△ABO≌△BCO≌ △ CDO ≌ △ DAO
结论很重要！
一个角是直角
一组邻边相等
正方形
有一组邻边相等且有一个角是直角
一组邻边相等
一个角是直角
1.在正方形ABCD的对角线AC上点E，使AE=AB，过E作EF⊥AC交BC于F，
求证：（1）BF=EF；（2）BF=CE。
分析：连接AF，要求BF=EF，求证△AEF≌△ABF，可以求证EF=BF
（2）根据（1）的结论，要求BF=CE，求证△CEF为等腰直角三角形即可
小试身手
解析：（1）连接AF
在Rt△AEF和Rt△ABF中，
∵AF=AF，AE=AB，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF，
∴BF=EF；
2.证明：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线垂直的矩形是正方形。
分析：（1）由菱形的性质和已知条件得出AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质和已知条件得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形，得出AB=BC=CD=DA，即可得出结论．
解：（1）如图1所示：
已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°；
求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，
∴AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是正方形；
解：（2）如图2所示：
已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD；
求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是正方形．
3.已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）四边形AEDF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
（3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）∵一个角为直角的平行四边形为矩形，
∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；
（3）∵菱形对角线互相垂直，
∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形；
（4）∵正方形既是菱形又是矩形，
∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形．
轴对称图形，有4条对称轴
四边相等
四角相等
正方形的性质
相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
正方形的判定
课堂小结
1.如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（ ）
A．50 B．55 C．70 D．75
分析：由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
C
分析：阴影部分的面积=S△ACD-S△MEC，△ACD和△MEC都是等腰直角三角形，利用面积公式即可求解．
A
3.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60°
C．54° D．67.5°
分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．
B
4.已知正方形ABCD，E为BC上任一点延长AB至F，使BF=BE，连AE并延长交CF于G，求证：AG⊥CF．
解析：如图，
∵BE=BF，∴∠BFE=45°
∵∠CAB=45°，
∴FH⊥AC，
又CB⊥AF，
∴E是△ACF的垂心，
因此AG⊥CF。
5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形
解析：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=90°，∠AFD=90°
∵∠BAC=90°∴∠EDF=90°∴□AEDF是矩形
在△BDE和△CDF中
∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠DEB=∠DFC
又∵D是BC的中点∴BD=DC∴△BDE≌△CDF
∴DE=DF∴□AEDF是正方形
18.2.3 正方形
问题引入
平行四边形
矩形
菱形
？
有一个角为直角
邻边相等
是什么？
新知探究
A
B
两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
正方形是特殊的矩形
邻边相等的矩形。
正方形
正方形
★正方形是特殊的菱形
一个角是直角的菱形。
轴对称图形，有4条对称轴
(A)
(B)
1、对称性
四边相等
2、边
AB=BC=CD=DA
四角相等
3、角
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
4、对角线
相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
正方形的性质
平行四边形
一组邻边相等
一个内角是直角
1、定义法
∵ □ABCD中，AB=BC且∠A=90°，
∴ABCD为正方形
A
B
C
D
A
B
C
D
正方形的判定
一内角是直角
2、菱形法
∵ 菱形ABCD中，∠A=90°，
∴ABCD为正方形
A
B
C
D
A
B
C
D
一组邻边相等
3、矩形法
A
B
C
D
A
B
C
D
∵ 矩形ABCD中，AB=BC，
∴ABCD为正方形.
已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O。
求证： △ ABO、 △ BCO、 △ CDO、 △ DAO是全等的等腰直角三角形。
例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分
成四个全等的等腰直角三角形．
典例精析
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∠B=90°
∴AC=BD，AC ⊥ BD,AO=BO=CO=DO
∴△ ABO、 △ BCO、 △ CDO、 △ DAO是等腰直角三角形，且△ABO≌△BCO≌ △ CDO ≌ △ DAO
结论很重要！
一个角是直角
一组邻边相等
正方形
有一组邻边相等且有一个角是直角
一组邻边相等
一个角是直角
1.在正方形ABCD的对角线AC上点E，使AE=AB，过E作EF⊥AC交BC于F，
求证：（1）BF=EF；（2）BF=CE。
分析：连接AF，要求BF=EF，求证△AEF≌△ABF，可以求证EF=BF
（2）根据（1）的结论，要求BF=CE，求证△CEF为等腰直角三角形即可
小试身手
解析：（1）连接AF
在Rt△AEF和Rt△ABF中，
∵AF=AF，AE=AB，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF，
∴BF=EF；
2.证明：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线垂直的矩形是正方形。
分析：（1）由菱形的性质和已知条件得出AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质和已知条件得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形，得出AB=BC=CD=DA，即可得出结论．
解：（1）如图1所示：
已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°；
求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，
∴AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是正方形；
解：（2）如图2所示：
已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD；
求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是正方形．
3.已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）四边形AEDF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
（3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）∵一个角为直角的平行四边形为矩形，
∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；
（3）∵菱形对角线互相垂直，
∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形；
（4）∵正方形既是菱形又是矩形，
∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形．
轴对称图形，有4条对称轴
四边相等
四角相等
正方形的性质
相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
正方形的判定
课堂小结
1.如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（ ）
A．50 B．55 C．70 D．75
分析：由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
C
分析：阴影部分的面积=S△ACD-S△MEC，△ACD和△MEC都是等腰直角三角形，利用面积公式即可求解．
A
3.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60°
C．54° D．67.5°
分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．
B
4.已知正方形ABCD，E为BC上任一点延长AB至F，使BF=BE，连AE并延长交CF于G，求证：AG⊥CF．
解析：如图，
∵BE=BF，∴∠BFE=45°
∵∠CAB=45°，
∴FH⊥AC，
又CB⊥AF，
∴E是△ACF的垂心，
因此AG⊥CF。
5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形
解析：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=90°，∠AFD=90°
∵∠BAC=90°∴∠EDF=90°∴□AEDF是矩形
在△BDE和△CDF中
∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠DEB=∠DFC
又∵D是BC的中点∴BD=DC∴△BDE≌△CDF
∴DE=DF∴□AEDF是正方形