1.4 解直角三角形一课一练测试题（含解析）

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九下同步课堂【一课一练】（北师大版）
第一章 直角三角形的边角关系
第四节 解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________总分：___________
一．选择题（共8小题）
1．如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则∠ACB的正切值为（　　）

A．2 B． C． D．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10，∠B＝36°，D为BC的中点，则AD的长是（　　）

A．5sin36° B．5cos36° C．5tan36° D．10tan36°
3．在锐角等腰△ABC中，AB＝AC，sinA＝，则cosC的值是（　　）
A． B．2 C． D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若sin∠BDC＝，则AC的长是（　　）

A． B． C．10 D．8
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝3，tanB＝，则BC的值为（　　）

A．4 B． C． D．7
7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，点D在边AB上，若AD＝AC，则tan∠BCD的值为（　　）

A． B． C． D．
8．已知α，β均为锐角，若tanα＝，tanβ＝，则α+β＝（　　）
A．45° B．30° C．60° D．90°
二．填空题（共6小题）
9．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝　 　．

10．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则sin∠A的值为　 　．

11．已知在△ABC中，tanB＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为D，且＝2，则△ABC的面积为　 　．
12．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD．若，则tanD＝　 　．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，tanB＝，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝　 　．

14．如图，△ABC为等边三角形，点D在△ABC外，连接BD、CD．若∠ABD＝2∠ACD，tan∠ACD＝，BD＝，则CD＝　 　．

三．解答题（共5小题）
15．在锐角三角形ABC中，已知AB＝8，AC＝10，△ABC的面积为20，求∠A的余弦值．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝4，解这个直角三角形．
17．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6．求△ABC的面积．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若AD＝4，BD＝2，求tanA的值．

19．已知在么ABC中，∠ACB＝135°，AC＝8，D、E分别是边BC、AB上的一点，若tan∠DEA＝2，DE＝，S△DEB＝4，求四边形ACDE的面积．




1.4 解直角三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则∠ACB的正切值为（　　）

A．2 B． C． D．
【解答】解：延长CB，交格点于点M，连接AM，
∵AM2＝2，CM2＝8，AC2＝10，
∴AM2+CM2＝AC2，
∴△AMC是直角三角形，
∴∠ACB的正切值为：＝＝．
故选：D．

2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10，∠B＝36°，D为BC的中点，则AD的长是（　　）

A．5sin36° B．5cos36° C．5tan36° D．10tan36°
【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴BD＝BC＝5，AD⊥BC．
在Rt△ABD中，
∵tanB＝，
∴AD＝tanB×BD＝5tan36°．
故选：C．

3．在锐角等腰△ABC中，AB＝AC，sinA＝，则cosC的值是（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：如图，过B作BD⊥AC于D，
∵sinA＝＝，
∴设BD＝4k，AB＝5k，
∴AD＝＝3k，
∵AB＝AC＝5k，
∴CD＝2k，
∴BC＝＝2k，
∴cosC＝＝＝，
故选：D．

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若sin∠BDC＝，则AC的长是（　　）

A． B． C．10 D．8
【解答】解：在Rt△BCD中，∵sin∠BDC＝＝，
∴＝，
∴BD＝5，
∴CD＝＝＝3，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AD＝BD＝5，
∴AC＝CD+AD＝3+5＝8，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：设AC＝m，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，
∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，
∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝3，tanB＝，则BC的值为（　　）

A．4 B． C． D．7
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∴tanB＝tan∠DAC＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BD＝4，CD＝，
∴BC＝BD+CD＝4+＝，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，点D在边AB上，若AD＝AC，则tan∠BCD的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，作DH⊥BC于H．

∵∠A＝90°，sinB＝＝，
∴可以假设AC＝3k，BC＝5k，则AB＝4k，
∵AC＝AD＝3k，
∴BD＝k，
∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A＝90°，
∴△BHD∽△BAC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DH＝k，BH＝k，
∵CH＝BC﹣BH＝5k﹣k＝k，
∴tan∠BCD＝＝＝，
故选：C．
8．已知α，β均为锐角，若tanα＝，tanβ＝，则α+β＝（　　）
A．45° B．30° C．60° D．90°
【解答】解：如图△ABC，过点A作AD⊥BC，
设：BD＝3a，CD＝2a，AD＝6a，

则tanα＝tan∠BAD＝＝，同理tan，
则AB＝，AC＝，
过点B作BE⊥AC于点E，
S△ABC＝AD×BC＝×AC×BE，
即5a?6a＝BE，解得：BE＝，
sin（α+β）＝sin∠BAC＝＝＝，
则α+β＝45°，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
9．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝　　．

【解答】解：设PQ⊥x轴于Q，则OQ＝3，如图所示：
由sinα＝＝，
设PQ＝4a，则OP＝5a，
∵OQ＝3，
∵OQ2+PQ2＝OP2，即32+（4a）2＝（5a）2，
∴a＝1（负值舍去），
∴PQ＝4，OP＝5，
则tanα＝＝，
故答案为：．

10．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则sin∠A的值为　　．

【解答】解：如图，连接BD，由网格可知：BD⊥AC，即△ABD是直角三角形，
BD＝＝，AB＝＝，
∴sin∠A＝＝＝，
故答案为：．

11．已知在△ABC中，tanB＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为D，且＝2，则△ABC的面积为　8或24　．
【解答】解：当△ABC是锐角三角形时，如图1，
∵BC＝6，＝2，
∴BD＝4，
∵tanB＝，
∴＝，
∴AD＝，
∴S△ABC＝＝＝8；
当△ABC是钝角三角形时，如图2，
∵BC＝6，＝2，
∴BD＝12，
∵tanB＝，
∴＝，
∴AD＝8，
∴S△ABC＝＝＝24，
综上，△ABC的面积为8或24，
故答案为8或24．


12．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD．若，则tanD＝　　．

【解答】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠ADC＝＝＝．
故答案为：．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，tanB＝，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝　　．

【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝2，tanB＝，
∴BC＝＝，
如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，
∴DE＝DF，
由三角形的面积公式得，
AC?DF+BC?DE＝AC?BC，
即：2DE+DE＝2×，
解得，DE＝，

14．如图，△ABC为等边三角形，点D在△ABC外，连接BD、CD．若∠ABD＝2∠ACD，tan∠ACD＝，BD＝，则CD＝　11　．

【解答】解：如图，连接AD，作BH⊥AD于H，作DE⊥CB交CB的延长线于E，作CM⊥DA交DA的延长线于M．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠DBE＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC＝120°﹣2∠ACD＝120°﹣2（60°﹣∠BCD）＝2∠BCD，
又∵∠DBE＝∠BDC+∠BCD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴BD＝BC，
∴BD＝BA＝BC＝AC＝，
∴△ADC的外接圆的圆心是点B，
∴∠ADC＝∠ABC＝30°，
∵BD＝BA，BH⊥AD，
∴∠ABH＝∠DBH，
∵∠ABD＝2∠ACD，
∴∠BDH＝∠ACD，
∴tan∠DBH＝tan∠ACD＝＝，
设DH＝2k，BH＝5k，
∴（2k）2+（5k）2＝37，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴DH＝AH＝2，
设CM＝x，则DM＝x，CD＝2x，
∴AM＝x﹣4，
在Rt△ACM中，∵AC2＝AM2+CM2，
∴37＝（x﹣4）2+x2，
解得x＝（舍弃）或，
∴CM＝，
∴CD＝2x＝11，
故答案为11．
三．解答题（共5小题）
15．在锐角三角形ABC中，已知AB＝8，AC＝10，△ABC的面积为20，求∠A的余弦值．
【解答】解：过点B点作BD⊥AC于点D，
∵AC?BD＝20，
∴BD＝4，
由勾股定理得AD＝4，
所以cosA＝＝

16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝4，解这个直角三角形．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵sinB＝，
∴AC＝4sin30°＝2，
∵sinA＝，
∴BC＝4sin60°＝6．
17．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6．求△ABC的面积．

【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D．

∵∠B＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∵BC＝6，
∴CD＝，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC的面积是．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若AD＝4，BD＝2，求tanA的值．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△CDB，
∴CD2＝AD?BD＝8，
∴CD＝2，
∴tanA＝＝．
19．已知在么ABC中，∠ACB＝135°，AC＝8，D、E分别是边BC、AB上的一点，若tan∠DEA＝2，DE＝，S△DEB＝4，求四边形ACDE的面积．

【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CN⊥AB于N，BM⊥AC交AC的延长线于M．

在Rt△DHE中，∵tan∠DEH＝＝2，DE＝，
∴DH＝2，EH＝1，
∵S△DEB＝?EB?DH，
∴4＝×EB×2，
∴EB＝4，BH＝5，
∵tan∠DBH＝＝＝，
∴可以假设CN＝2k，BN＝5k，则BC＝k，
∵∠ACB＝135°，
∴∠MCB＝45°，
∴CM＝BM＝×＝k，
∵tan∠A＝＝，
∴＝，
解得：k＝或﹣（舍弃），
∴AB＝AN+BN＝28+，
∴S四边形ACDE＝S△ABC﹣S△DEB
＝×（28+）×﹣4
＝+




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