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必修2 第一章 单元测试训练题
一、选择题
1．下列说法中，正确的是
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形
C．正方体的所有棱长都相等
D．棱柱的所有棱长都相等
2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是
A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱
3．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是
A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台
4．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是
5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为
A. B. C．5 D．3
6．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③④
二、填空题
7．一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________．
8．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为
A．2 B．3 C. D.
10．一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为
A．8 B．4 C．4 D．4
11．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为________．
12．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的所有面中最大面的面积是
A．3 B．6 C．8 D．10
13．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．
14．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．
15．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为
A.π B.π C．16π D．24π
16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A. B. C．2＋ D．4＋
17．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．12π B．12π C．8π D．10π
18.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是
19．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为
A.π B. C．3π D．3
20.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为
A．64－ B．64－8π
C．64－ D．64－
21.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．
22．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．
23.已知三棱锥A－BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A－BD－C为直二面角，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为
A. B．5π C．6π D.
24.已知三棱锥S－ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，SA＝SB＝SC＝2，则三棱锥S－ABC的外接球的球心到平面ABC的距离是
A. B．1 C. D.
25.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为
A．12 B．18 C．24 D．54
26.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的外接球的体积为π，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为
A.＋ B．3＋或＋
C．2＋ D.＋或2＋
27.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________．
28.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝1.点D为侧棱BB1上的动点．若△ADC1周长的最小值为＋，则三棱锥C1－ABC外接球的表面积为________．
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必修2 第一章 单元测试训练题 解析版
一、选择题
1．下列说法中，正确的是
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形
C．正方体的所有棱长都相等
D．棱柱的所有棱长都相等
解析 棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其他侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C正确．故选C.
答案 C
2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是
A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱
解析 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．
答案 A
3．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是
A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台
解析 因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥．故选A.
答案 A
4．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是
解析 由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图．
答案 B
5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为
A. B. C．5 D．3
解析 由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥P－ABCD，其中PA⊥底面ABCD，四棱锥P－ABCD的底面是边长为3的正方形，高PA＝4.
连接AC，易知最长的棱为PC，且PC＝＝＝.
答案 B
6．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③④
解析 由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确．
答案 A
二、填空题
7．一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________．
解析 因为直观图的面积是原图形面积的倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2.
答案 2
8．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________．
解析 由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面积与侧视图的面积相等为.
答案
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为
A．2 B．3 C. D.
解析 根据三视图，利用棱长为2的正方体分析知，该多面体是一个三棱锥，即三棱锥A1－MNP，如图所示，其中M，N，P是棱长为2的正方体相应棱的中点，可得棱A1M最长，A1M＝＝3，故最长的棱的长度为3，选B.
答案 B
10．一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为
A．8 B．4 C．4 D．4
解析 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，
PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝4，DB＝2，
则易得S△PAC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD＝×4×2＝4，
故选D.
答案 D
11．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为________．
解析 根据题意，三棱锥P－BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.
答案 1∶1
12．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的所有面中最大面的面积是
A．3 B．6 C．8 D．10
解析 由三视图知该几何体为如图所示的四棱锥S－ABCD，其中平面SAD⊥平面ABCD，底面是矩形(矩形的两邻边长分别是2，4)，
由题意得四棱锥的高为＝，△SAB，△SCD是直角三角形，△SBC是等腰三角形，通过计算知在△SBC中，边BC上的高为＝3，
S矩形ABCD＝2×4＝8，S△SAD＝×4×＝2，
S△SAB＝S△SCD＝×2×3＝3，S△SBC＝×4×3＝6，故选C.
答案 C
13．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．
解析 由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E，F分别是AD，BC的中点，连接AO，易得AO＝，又PA＝，于是解得PO＝1，所以PE＝，故其正视图的周长为2＋2.
答案 2＋2
14．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．
解析 空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影是③.
答案 ①②③
15．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为
A.π B.π C．16π D．24π
解析 设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，则球的体积V＝πR3＝π.故选B.
答案 B
16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A. B. C．2＋ D．4＋
解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的半圆柱组合而成的组合体，故其体积V＝π×13＋π×12×2＝π，故选B.
答案 B
17．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．12π B．12π C．8π D．10π
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，由题意可知2r＝h＝2，
∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πr·h＝4π＋8π＝12π.故选B.
答案 B
18.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是
解析 若俯视图为选项C中的图形，则该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P－ABCD，如图所示，该四棱锥的体积V＝×2×2×2＝，符合题意．若俯视图为其他选项中的图形，则根据三视图易判断对应的几何体不存在，故选C.
答案 C
19．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为
A.π B. C．3π D．3
解析 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为，故体积为π＝π，故选A.
答案 A
20.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为
A．64－ B．64－8π
C．64－ D．64－
解析 由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去个圆锥和个圆柱所得到的，且圆锥的底面半径为2，高为4，圆柱的底面半径为2，高为4，所以该几何体的体积为43－＝64－.故选C.
答案 C
21.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．
解析 由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形，其边长为，即底面面积为，由正方体的性质知，四棱锥的高为.故四棱锥M－EFGH的体积V＝××＝.
答案
22．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．
解析 由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥构成，所以其表面积为圆锥的侧面积＋圆柱的侧面积＋圆柱的一个底面积＝2π＋4π×3＋4π＝2π＋16π.
答案 (16＋2)π
23.已知三棱锥A－BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A－BD－C为直二面角，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为
A. B．5π C．6π D.
解析 取BD中点M，连接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分点P，Q，过P作面ABD的垂线，过Q作面CBD的垂线，两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，其中OQ＝，CQ＝，连接OC，则外接球的半径R＝OC＝，表面积为4πR2＝，故选D.
答案 D
24.已知三棱锥S－ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，SA＝SB＝SC＝2，则三棱锥S－ABC的外接球的球心到平面ABC的距离是
A. B．1 C. D.
解析 ∵三棱锥S－ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA＝SB＝SC＝2，∴S在底面ABC内的射影为AB的中点，设AB的中点为H，连接SH，CH，∴SH⊥平面ABC，∴SH上任意一点到A，B，C的距离相等，易知SH＝，CH＝1，∴Rt△SHC中∠HSC＝30°.在面SHC内作SC的垂直平分线MO，交SH于点O，交SC于点M，则O为三棱锥S－ABC的外接球的球心．∵SC＝2，
∴SM＝1，又∠OSM＝30°，∴SO＝，OH＝，
∴球心O到平面ABC的距离为，故选A.
答案 A
25.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为
A．12 B．18 C．24 D．54
解析 设等边△ABC的边长为a，
则有S△ABC＝a·a·sin 60°＝9，解得a＝6.
设△ABC外接圆的半径为r，则2r＝，解得r＝2，
则球心到平面ABC的距离为＝2，所以点D到平面ABC的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×9×6＝18.
答案 B
26.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的外接球的体积为π，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为
A.＋ B．3＋或＋
C．2＋ D.＋或2＋
解析 设正方体的棱长为a，依题意得，π×＝π，解得a＝1.由三视图可知，该几何体的直观图有以下两种可能，图1对应的几何体的表面积为＋，图2对应的几何体的表面积为3＋.故选B.
答案 B
27.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________．
解析 四棱锥的底面BB1D1D为矩形，其面积为1×＝，
又点A1到底面BB1D1D的距离，即四棱锥A1－BB1D1D的高为A1C1＝，所以四棱锥A1－BB1D1D的体积为××＝.
答案
28.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝1.点D为侧棱BB1上的动点．若△ADC1周长的最小值为＋，则三棱锥C1－ABC外接球的表面积为________．
解析 将侧面展开如图．
易知当D为侧棱BB1的中点时，△ADC1周长最小．此时设BD＝x，则2＋＝＋，可得x＝，∴CC1＝1，又易知三棱锥C1－ABC外接球的球心为AC1的中点，∴半径R＝，则三棱锥C1－ABC外接球的表面积为S＝4πR2＝3π.
答案 3π
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