第二章 相交线与平行线
1．(2018·湖南益阳中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是( C )
A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°
C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°
2．(2019 ·湖南株洲荷塘区期末)如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝3 cm，则点C到AB的距离为( C )
A．4 cm B．3 cm C．2.4 cm D．2.5 cm
3.如图所示，直线AB，CD，EF两两相交，若∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3＝ 30° ，∠4＝ 60° ，∠5＝ 150° ，∠6＝ 120° .
4．(2019·广东二模)若∠1与∠2是对顶角，∠2的邻补角(有一条公共边且互补的角)是∠3，∠3＝45°，则∠1的度数为 135° .
5．(2019·江苏泰州月考)若∠A和∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的两倍少30°，则∠B的度数是 30°或70° .
6．(2019·辽宁大连甘井子区期中)如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OF⊥CD，∠AOD＝50°，求∠DOP的度数．
解：因为∠AOD＝∠BOC，∠AOD＝50°，所以∠BOC＝50°.因为OP平分∠BOC，所以∠POB＝∠POC＝∠BOC＝×50°＝25°，所以∠DOP＝180°－∠POC＝180°－25°＝155°.
7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOD＝2∶1.
(1)求∠DOE的度数；
(2)求∠AOF的度数．
解：(1)因为∠AOD∶∠BOD＝2∶1，∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠BOD＝×180°＝60°.
因为OE平分∠BOD，
所以∠DOE＝∠BOD＝×60°＝30°.
(2)∠COE＝180°－∠DOE＝180°－30°＝150°.
因为OF平分∠COE，所以∠COF＝∠COE＝×150°＝75°.因为∠AOC＝∠BOD＝60°，所以∠AOF＝∠AOC＋∠COF＝60°＋75°＝135°.
8．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF.
(1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数；(用含α的式子表示)
(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
解：(1)因为∠AOE＋∠AOF＝180°，∠AOE＝40°，所以∠AOF＝140°.
又因为OC平分∠AOF，
所以∠FOC＝∠AOF＝70°.
所以∠EOD＝∠FOC＝70°(对顶角相等)．
又∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝50°，
所以∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝20°.
(2)因为∠AOE＋∠AOF＝180°，∠AOE＝α，
所以∠AOF＝180°－α.又因为OC平分∠AOF，
所以∠FOC＝∠AOF＝90°－α.
所以∠EOD＝∠FOC＝90°－α(对顶角相等)．
又∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝90°－α，
所以∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝α.
(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE＝2∠BOD.
9．(2019·陕西中考)如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为( C )
A．52° B．54° C．64° D．69°
10．(2019·贵州安顺中考)如图，三角尺的直角顶点落在长方形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是( C )
A．35° B．45° C．55° D．65°
11．(2019·山东菏泽中考)如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2－∠1的度数是 80° .
12．(2019·广东惠州惠阳区期末)如图，EF∥AD，EF∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°.
(1)求∠ACB的度数；
(2)若∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
解：(1)因为EF∥AD，EF∥BC，所以AD∥BC，
所以∠ACB＋∠DAC＝180°.
因为∠DAC＝120°，所以∠ACB＝60°.
(2)因为∠ACF＝20°，所以∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝40°.
因为CE平分∠BCF，所以∠BCE＝20°.
因为EF∥BC，所以∠FEC＝∠BCE＝20°.
13．(2019 ·广西贵港覃塘区期末)如图，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E，∠ADE＋∠BCF＝180°.
(1)请说明AB∥EF；
(2)若AF平分∠BAD，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．
解：(1)因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠ABC.
又因为∠ABC＝2∠E，所以∠E＝∠ABC，所以∠E＝∠ABE，所以AB∥EF.
(2)结论：AF⊥BE.理由如下：
因为∠ADE＋∠ADF＝180°，∠ADE＋∠BCF＝180°，
所以∠ADF＝∠BCF，所以AD∥BC，
所以∠DAB＋∠CBA＝180°.
因为AF平分∠BAD，BE平分∠ABC，
所以∠OAB＝∠DAB，∠OBA＝∠CBA，
所以∠OAB＋∠OBA＝90°，所以∠AOB＝90°，
所以AF⊥BE.
14．(2019·四川成都郫都区期中)如图，直线a∥b，直线c和直线a，b分别交于点C和D，在C，D之间有一点P.
(1)判断图中∠PAC，∠APB，∠PBD之间有什么关系，并说明理由；
(2)如果点P在C，D之间运动，∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化？
(3)若点P在直线c上C，D两点的外侧运动(点P与点C，D不重合)，试探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？分别画出图形并说明理由．
解：(1)∠APB＝∠PAC＋∠PBD.理由如下：
如图1，过点P作PE∥a.因为a∥b，所以PE∥b∥a，
所以∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2，
所以∠APB＝∠1＋∠2＝∠PAC＋∠PBD.
(2)当点P在C，D之间运动时，仍为∠APB＝∠PAC＋∠PBD.
(3)如图2，当点P在C，D两点的外侧运动，且在直线a的上方时，∠PBD＝∠PAC＋∠APB.理由如下：
因为a∥b，所以∠PEC＝∠PBD.
因为∠PEC＋∠PEA＝180°，∠PAC＋∠APB＋∠PEA＝180°，所以∠PEC＝∠PAE＋∠APB，所以∠PBD＝∠PAC＋∠APB.
如图3，当点P在C，D两点的外侧运动，且在直线b的下方时，∠PAC＝∠PBD＋∠APB.理由如下：
因为a∥b，所以∠PED＝∠PAC.
因为∠PED＋∠BEP＝180°，∠EBP＋∠BPA＋∠BEP＝180°，所以∠PED＝∠PBD＋∠APB，所以∠PAC＝∠PBD＋∠APB.
4 用尺规作角
1．尺规作图是指( C )
A．用直尺规范作图
B．用刻度尺和圆规作图
C．用没有刻度的直尺和圆规作图
D．直尺和圆规是作图工具
2．下列关于尺规的功能说法不正确的是( B )
A．直尺的功能：在两点间连接一条线段，将线段向两方向延长
B．直尺的功能：可作平角和直角
C．圆规的功能：以任意长为半径，以任意点为圆心作一个圆
D．圆规的功能：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧
3．下列作图属于尺规作图的是( B )
A．用量角器画出∠AOB的平分线OC
B．已知∠α，作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
C．画线段AB＝3 cm
D．用三角尺过点P作AB的垂线
4．下列尺规作图语言中，正确的是( B )
A．作∠AOB＝20°
B．过点A，B作直线AB
C．作一条线段AB，并使其长度为5 cm
D．以点O为圆心，12 cm为半径画圆
5．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB，根据图填空．
作法：
(1)作射线 O′A′ ；
(2)以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点 C ，交OB于点 D ；以点 O′ 为圆心，以 OC 长为半径作弧，交射线O′A′于点C′；
(3)以点 C′ 为圆心，以 CD 长为半径作弧，交前面的弧于点D′；
(4)过点D′作射线 O′B′ ， ∠A′O′B′ 就是所求作的角．
6．下列尺规作图的语句正确的是( B )
A．延长射线AB到D
B．以点D为圆心，任意长为半径画弧
C．作直线AB＝3 cm
D．延长线段AB至C，使AC＝BC
7．利用尺规作∠AOB等于已知角时，下列说法不正确的是( C )
A．点O的位置可任意选取
B．∠AOB的一边的方向可任意选取
C．∠AOB的大小可任意选取
D．射线OA的长度可任意选取
8．作∠EDF＝∠BAC的作图痕迹如图，关于图中各条弧的半径的下列说法中，正确的是( A )
A．弧BC的半径为任意长
B．弧EF的半径为任意长
C．弧EG的半径为任意长
D．弧BC、弧EF、弧EG的半径均为任意长
9．如图，已知：∠α，∠β.求作：∠AOB，使∠AOB＝2∠α＋∠β.
解：(1)作∠COD，使∠COD＝∠β；
(2)以射线OC为一边，在∠COD的外部顺次作∠COB＝∠α，∠AOB＝∠α，则∠AOD就是所求作的角，如图所示．
10．如图所示，已知直线AB及直线AB外任意一点P，请过点P作直线CD，使CD∥AB.
解：作法如下：
(1)过点P任意作一条直线OP交直线AB于点O；
(2)以点O为圆心，任意长为半径画弧，交直线AB于点F，交直线OP于点E；
(3)以点P为圆心，OE长为半径画弧，交直线OP于点H；以点H为圆心，EF长为半径画弧，交前弧于点D；
(4)过P，D两点作直线CD，直线CD即为所求作的直线，如图所示.
3 平行线的性质
1．(2019·广西百色中考)如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是( C )
A．122° B．85° C．58° D．32°
2．(2019·云南中考)如图，若AB∥CD，∠1＝40°，则∠2＝ 140° .
3．(2019·广西梧州岑溪期末)如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，已知∠1＝60°，求∠2的度数．
解：如图，因为AB∥CD，所以∠3＝∠1.因为∠1＝60°，所以∠3＝60°.因为EF⊥AB，所以∠FEA＝90°，所以∠2＝90°－∠3＝30°.
4．(2019·北京石景山区期末)如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．若∠CBD＝55°，则∠EDA的度数是( B )
A．145° B．125° C．100° D．55°
5．(2019·辽宁锦州中考)如图，AC与BD交于点O，AB∥CD，∠AOB＝105°，∠B＝30°，则∠C的度数为( A )
A．45° B．55° C．60° D．75°
6．(2018·浙江衢州中考)如图，将长方形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于( D )
A．112° B．110° C．108° D．106°
7．如图，已知AB∥CD，BE∥CF，试说明∠1＝∠2.
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
因为BE∥CF(已知)，
所以∠EBC＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．
所以∠ABC－∠EBC＝∠BCD－∠BCF，所以∠1＝∠2.
8．(2019·西藏中考)如图，AB∥CD，若∠1＝65°，则∠2的度数是( C )
A．65° B．105° C．115° D．125°
9．(2019·山东德州期末)将一块直角三角尺与两边平行的硬纸条如图所示放置，下列结论：(1)∠1＝∠2；(2)∠3＝∠4；(3)∠2＋∠4＝90°；(4)∠4＋∠5＝180°.其中错误的个数是( A )
A．0 B．1 C．2 D．3
10．(2018·四川广安中考)一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝ 120 度．
11．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠ABC＝∠1(两直线平行，同位角相等)．
因为∠1＝65°(已知)，所以∠ABC＝65°.
因为BC平分∠ABD(已知)，
所以∠ABD＝2∠ABC＝130°(角平分线的定义)．
方法1：因为AB∥CD(已知)，所以∠ABD＋∠BDC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
所以∠BDC＝180°－∠ABD＝180°－130°＝50°.
因为∠2＝∠BDC(对顶角相等)，
所以∠2＝50°(等量代换)．
方法2：因为∠ABD＋∠DBE＝180°(邻补角互补)，
所以∠DBE＝50°.因为AB∥CD，所以∠2＝∠DBE(两直线平行，同位角相等)，所以∠2＝50°.
12．(2019·山东济宁中考)如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是( C )
A．65° B．60° C．55° D．75°
13．如图，下列推理：(1)若∠2＝∠3，则AB∥CD；(2)若AB∥CD，则∠1＝∠4；(3)若∠ABC＋∠BCD＝180°，则AD∥BC；(4)若∠2＝∠3，则∠ADB＝∠CBD.其中正确的个数是 2 .
14．如图，∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3，∠BCD＝80°，求∠ADC的度数．
解：因为∠1＋∠2＝180°(已知)，
所以AB∥DE(同旁内角互补，两直线平行)．
所以∠B＝∠DEC(两直线平行，同位角相等)．
因为∠B＝∠3(已知)，
所以∠3＝∠DEC(等量代换)，
所以AD∥BC(内错角相等，两直线平行)，
所以∠ADC＋∠BCD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
因为∠BCD＝80°，所以∠ADC＝100°.
15．(2019·山东临沂沂水期末)如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF.
试说明：∠DAF＝∠F.
解：因为AB⊥BC，DC⊥BC，所以∠B＝∠C＝90°，
所以∠B＋∠C＝180°，
所以AB∥CF，所以∠BAF＋∠F＝180°.
又因为∠BAF＝∠EDF，
所以∠EDF＋∠F＝180°，所以ED∥AF，
所以∠ADE＝∠DAF，∠CDE＝∠F.
因为DE平分∠ADC，
所以∠ADE＝∠CDE，
所以∠DAF＝∠F.
易错点 忽视两直线平行这一条件是否存在
16．如图所示，已知直线a，b被直线c所截，则以下结论正确的有( A )
①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠2＝∠3；④∠3＋∠4＝180°.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．(2019·广东深圳中考)如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是( B )
A．∠1＝∠4 B．∠1＝∠5
C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠3
18．(2019·四川乐山中考)如图，直线a∥b，点B在a上，且AB⊥BC.若∠1＝35°，那么∠2等于( C )
A．45° B．50° C．55° D．60°
19．(2019·安徽蚌埠一模)一条街道的路线图如图所示，若AB∥CD，且∠ABC＝130°，那么当∠CDE＝ 50° 时，BC∥DE.
20．(2019·安徽淮北濉溪期末)如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝120°，则∠BFD＝ 60° .
21．(2019 ·广东汕头潮南区期中)如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD.
(1)试判断AB与CD的位置关系；
(2)若∠EHF＝75°，∠D＝45°，求∠AEM的度数．
解：(1)因为∠CED＝∠GHD，
所以CE∥FG，所以∠C＝∠FGD.
因为∠C＝∠EFG，
所以∠FGD＝∠EFG，
所以AB∥CD.
(2)因为CE∥FG，∠EHF＝75°，
所以∠CED＝∠EHF＝75°.
因为AB∥CD，∠D＝45°，
所以∠HEF＝∠D＝45°，
所以∠AEM＝∠CEF＝∠CED＋∠HEF＝75°＋45°＝120°.
22．(2019·山东临沂莒南期末)如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C.
(1)若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
(2)试说明CG平分∠OCD；
(3)当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．
解：(1)方法1：因为DE∥OB，∠O＝40°，所以∠ACE＝∠O＝40°.
因为∠ACD＋∠ACE＝180°，所以∠ACD＝140°.
又因为CF平分∠ACD，所以∠ACF＝70°，
所以∠ECF＝∠ACF＋∠ACE ＝70°＋40°＝110°.
方法2：因为DE∥OB，所以∠O＝∠ACE，∠O＋∠OCE＝180°.
因为∠O＝40°，所以∠ACE＝40°，∠OCE＝140°.
因为∠OCE＝∠ACD，所以∠ACD＝140°.
又因为CF平分∠ACD，所以∠ACF＝∠ACD ＝70°，
所以∠ECF＝∠ACF＋∠ACE ＝70°＋40°＝110°.
(2)因为CF平分∠ACD，所以∠ACF＝∠DCF.
因为CG⊥CF，所以∠FCG＝90°(垂直的定义)，
所以∠DCG＋∠DCF＝90°，所以∠GCO＋∠ACF＝90°，所以∠GCO＝∠GCD(等角的余角相等)，所以CG平分∠OCD.
(3)结论：当∠O＝60°时，CD平分∠OCF.理由如下：
当∠O＝60°时，因为DE∥OB，所以∠DCO＝∠O＝60°.所以∠ACD＝120°.
又因为CF平分∠ACD，所以∠DCF＝60°，所以∠DCO＝∠DCF，所以CD平分∠OCF.
23．如图1所示，对于直线MN同侧的两个点A，B，若直线MN上的点P满足∠APM＝∠BPN，则称点P为A，B在直线MN上的反射点．如图2所示，MN∥HG，AP∥BQ，点P为A，B在直线MN上的反射点，判断点B是否为P，Q在直线HG上的反射点，并说明理由．
解：点B是P，Q在直线HG上的反射点．理由如下：
因为MN∥HG，AP∥BQ，
所以∠ABP＝∠BPQ，∠APM＝∠BQP＝∠QBG.
又因为点P为A，B在直线MN上的反射点，
所以∠APM＝∠BPQ.所以∠ABP＝∠QBG.
所以点B是P，Q在直线HG上的反射点．
第2课时 平行线及其判定
1．下列说法不正确的是( C )
A．100米跑道的跑道线所在的直线是平行线
B．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
C．若a∥b，b∥d，则a⊥d
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．如图，已知AB∥EF，AB∥CD，还能得到哪两条直线平行，请补充完整的推理过程．
因为AB∥EF， AB∥CD ，
所以 CD ∥ EF ( 平行于同一条直线的两条直线平行 )．
3．我们常用如图所示的方法过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是( A )
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
4．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( D )
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4
C．∠3＝∠4 D．∠2＋∠3＝∠4
5．如图，AD是一条直线，∠1＝60°，∠2＝120°.试说明BE∥CF.
解：因为∠2＝120°(已知)，所以∠ACF＝60°(邻补角互补)．
因为∠1＝60°(已知)，所以∠1＝∠ACF(等量代换)．
所以BE∥CF(同位角相等，两直线平行)．
6．如图，∠1＝∠2，则直线AB∥CD的是( B )
7．如图，根据题意填空：
因为∠1＝∠2(已知)，
所以 AB ∥ CD .
因为∠2＝∠3(已知)，
所以 CD ∥ EF .
所以 AB ∥ EF .
8．如图，∠1＝65°，∠DMN＝115°，试说明：CD∥AB.
解：因为∠DMN＝115°(已知)，所以∠CMN＝65°(邻补角互补)．
因为∠1＝65°(已知)，所以∠1＝∠CMN(等量代换)．
所以CD∥AB(同位角相等，两直线平行)．
9．如图，在下列四个条件中，可得CE∥AB的条件是( D )
A．∠2＝∠3 B．∠4＋∠ACD＝180°
C．∠1＝∠4 D．∠2＋∠BCE＝180°
10．如图，DE是过三角形ABC的顶点A的直线．
(1)当∠B＝ ∠DAB 时，DE∥BC，理由是 内错角相等，两直线平行 ．
(2)当∠B＋ ∠EAB ＝180°时，DE∥BC，理由是 同旁内角互补，两直线平行 ．
11．如图，∠1＝70°，∠2＝110°，AB与ED平行吗？为什么？
解：AB∥ED.理由如下：
因为∠1＝70°(已知)，∠1＝∠AOD(对顶角相等)，
所以∠AOD＝70°(等量代换)．
因为∠2＝110°(已知)，
所以∠2＋∠AOD＝180°.
所以AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．
12．如图所示，a，b，c，d四条直线相交，如果∠1＝∠2，可得( A )
A．a∥b B．c∥d C．a∥c D．a∥d
13．(2018·湖南郴州中考)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( D )
A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180°
C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠3
14．如图，(1)如果∠1＝∠B，那么 AB ∥ CD ，根据是 同位角相等，两直线平行 ；
(2)如果∠3＝∠D，那么 BE ∥ DF ，根据是 内错角相等，两直线平行 ；
(3)如果∠B＋∠2＝ 180° ，那么AB∥CD，根据是 同旁内角互补，两直线平行 ．
易错点 不能正确识别截线与被截线，误判两直线平行
15．(2019·湖北黄冈二模)如图，下列四个条件中，能判定DE∥AC的是( A )
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠EDC＝∠EFC D．∠ACD＝∠AFE
16．已知直线a与点P，过点P画直线l的平行线b，下列结论正确的是( A )
A．直线b最多有一条
B．直线b至少有一条
C．直线b一定有一条并且只有一条
D．直线b的条数不能确定
17．下列说法：①过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条；②一条直线的平行线只有一条；③两条不相交的直线叫做平行线；④过一点能画一条已知直线的平行线．其中，正确的个数是( A )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
18．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是( B )
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°
19．如图，要使CF∥BG，你认为应该添加的一个条件是 ∠C＝∠GDE(答案不唯一) ．
20．如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD＝82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向旋转 12 度．
21．一块四边形木板和一把曲尺(直角尺)如图所示，把曲尺一边紧靠木板边缘PQ，画直线AB，与PQ，MN分别交于点A，B；再把曲尺的一边紧靠木板的边缘MN，移动使曲尺另一边过点B画直线，若所画直线与BA重合，则这块木板的对边MN与PQ是平行的，其理论依据是 内错角相等，两条直线平行 ．
22．(2019·山东济南市中区期末)请将下列证明过程补充完整．
已知：如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠α＋∠β＝90°.
求证：AB∥CD.
证明：因为CE平分∠ACD(已知)，
所以∠ACD＝2∠α( 角平分线的定义 )．
因为AE平分∠BAC(已知)，
所以∠BAC＝ 2∠β (角的平分线的定义)．
所以∠ACD＋∠BAC＝2∠α＋2∠β( 等量代换 )，
即∠ACD＋∠BAC＝2(∠α＋∠β)．
因为∠α＋∠β＝90°(已知)，
所以∠ACD＋∠BAC＝ 180° ( 等量代换 )．
所以AB∥CD( 同旁内角互补，两直线平行 )．
23．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝15°，∠2＝15°，AE与BF平行吗？为什么？
解：AE∥BF.理由如下：
因为AC⊥AE，BD⊥BF(已知)，所以∠EAC＝∠FBD＝90°(垂直的定义)．
因为∠1＝∠2(已知)，所以∠EAC＋∠1＝∠FBD＋∠2(等式的性质)，所以∠EAB＝∠FBG，
所以AE∥BF(同位角相等，两直线平行)．
24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC，∠AED＝∠EDC，请你猜想DE与BF的位置关系并说明理由．
解：DE∥BF.理由如下：
因为BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC，
所以∠EDC＝∠ADC，
∠ABF＝∠ABC.
又∠ADC＝∠ABC，
所以∠EDC＝∠ABF.
又∠AED＝∠EDC，
所以∠ABF＝∠AED.
所以DE∥BF(同位角相等，两直线平行)．
25．如图所示，若MN⊥AB，垂足为Q，∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，试判断直线MN与EF的位置关系，并说明理由．
解：MN∥EF.理由如下：
方法1：延长AB交EF于点G，如图1所示．
因为∠ABC＝130°，所以∠GBC＝180°－∠ABC＝50°.
又∠FCB＝40°，
所以∠BGC＝180°－∠GBC－∠FCB＝90°.
因为MN⊥AB，所以∠AQN＝90°，
所以∠BGC＝∠AQN，所以MN∥EF.
方法2：延长CB交MN于点G，如图2所示．
因为MN⊥AB，所以∠BQM＝90°.
因为∠ABC＝130°，
所以∠ABG＝180°－∠ABC＝50°，
所以∠NGB＝180°－∠ABG－∠BQM＝40°.
因为∠FCB＝40°，
所以∠NGB＝∠FCB，所以MN∥EF.
方法3：过点B作BG⊥AB，如图3所示．
因为AB⊥MN，BG⊥AB，
所以MN∥BG，∠ABG＝90°.
又∠ABC＝130°，所以∠GBC＝40°.
因为∠FCB＝40°，所以∠GBC＝∠FCB.
所以BG∥EF，所以MN∥EF.
2 探索直线平行的条件
第1课时 同位角、内错角、同旁内角
1．如图，直线a，b被直线c所截，则与∠2是内错角的是( C )
A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．如图，直线AB，AF被BC所截，则与∠2是同位角的是( D )
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
3．如图，与∠1是同旁内角的是( A )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．下列图形中，∠1与∠2是同位角的是( D )
5．(2019·内蒙古呼伦贝尔期中)如图，下列说法错误的是( B )
A．∠A与∠C是同旁内角 B．∠1与∠3是同位角
C．∠2与∠3是内错角 D．∠3与∠B是同旁内角
6．如图所示．
(1)∠1与∠2是直线 AB 和直线 CE 被第三条直线 BD 所截而成的 同位 角；
(2)∠2与∠3是直线 AB 和直线 AC 被第三条直线 BC 所截而成的 同旁内 角；
(3)∠4与∠A是直线 AB 和直线 CE 被第三条直线 AC 所截而成的 内错 角．
7．如图所示，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，图中的内错角有多少对？请把它们写出来．
解：从截线入手，把图形分解成4个基本图形，如图所示．
故有4对，分别是∠ABC与∠BCF，∠ABC与∠BCD，∠EBC与∠BCF，∠EBC与∠BCD.
8．如图，下列结论正确的是( D )
A．∠5与∠2是对顶角
B．∠1与∠3是同位角
C．∠2与∠3是同旁内角
D．∠1与∠2是同旁内角
9．如图所示，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠B中，同位角是 ∠1与∠B，∠4与∠B ，内错角是 ∠2与∠5，∠3与∠4 ，同旁内角是 ∠2与∠4，∠3与∠5，∠3与∠B，∠B与∠5 ．
易错点 复杂图形中，混淆截线、被截线，进而分不清同位角、内错角、同旁内角
10．如图所示，与∠A是同位角的是 ∠EBD，∠CBD ，是同旁内角的是 ∠ABE，∠ABC，∠C .
11．(2019·山东济南槐荫区期末)下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是( C )
12．(2018·广东广州中考)如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( B )
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6
C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
13．如图所示，以下几种说法，其中正确的个数是( B )
①∠3和∠4是同位角；②∠6和∠7是同位角；
③∠4和∠5是内错角；④∠2和∠5是同旁内角；
⑤∠2和∠7是同位角；⑥∠1和∠2是同位角．
A．3 B．4 C．5 D．6
14．如图，能与∠1构成同位角的角有 3 个．
15．如图，与∠2是内错角的是 ∠C ，∠3与∠B是 内错 角，与∠B是同旁内角的是 ∠1或∠DAB或∠C .
16．(2019·山东济南槐荫区期末)两条直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，∠2与∠3是内错角．
(1)画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；
(2)若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．
解：(1)如图所示．
(2)因为∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，所以设∠3＝x°，则∠2＝2x°，∠1＝4x°.
因为∠1＋∠3＝180°，所以x＋4x＝180，解得x＝36，
所以∠3＝36°，∠2＝72°，∠1＝144°.
17．一个“跳棋棋盘”(如图)，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上(棋子的落点在相应角的顶点处)，如从起始位置∠1跳到终点位置∠3的路径有：
路径1：∠1∠9∠3；
路径2：∠1∠12∠6∠10∠3.
(1)写出从∠1到∠8，途经一个角的一条路径；
(2)从起始∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8?
(3)找出从起始∠1跳到终点∠8的路径，要求跳遍所有的角，且不能重复．
解：(1)∠1∠9∠8(路径不唯一)．
(2)能，即∠1∠10∠5∠8.
(3)∠1∠9∠2∠10∠3∠4∠11∠5∠6∠12∠7∠8(路径不唯一)．
第2课时 垂线与垂线段
1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是 ( A )
A．35° B．40° C．45° D．60°
2．如图所示，直线AB与CD相交于点O.下列说法不正确的是( D )
A．若∠AOC＝90°，则AB⊥CD
B．若AB⊥CD，垂足为O，则∠BOD＝90°
C．当∠COB＝90°时，称AB与CD互相垂直
D．AB与CD相交于点O，点O为垂足
3．如图，点O为直线AB上一点，∠1＝20°，当∠2＝ 70° 时，OC⊥OD.
4．如图所示，直线AB与CD交于点O，MO⊥AB，垂足为O，ON平分∠AOD.若∠COM＝50°，求∠AON的度数．
解：因为MO⊥AB，所以∠BOM＝90°.
因为∠COM＝50°，所以∠AOD＝∠BOC＝90°－50°＝40°.
因为ON平分∠AOD，所以∠AON＝∠AOD＝20°.
5．在下列各图中，分别过点P画线段MN的垂线．(用三角尺画图)
解：如图．
6．如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是格点，请按以下要求作图(注：下列求作的点均是格点)过点B作线段AB的垂线段BE.
解：如图，线段BE即为所求．
7．如图，已知OA⊥m，OB⊥m，所以OA与OB重合，其理由是( D )
A．经过两点有且只有一条直线
B．在同一平面上，一条直线只有一条垂线
C．两点之间，线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
8．(教材P42，想一想，T(2)改编)如图所示，点P到直线l的距离是( B )
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
9．(2019·山东淄博一模)在下列图形中，线段PQ的长度能表示点P到直线l的距离的是( D )
10．如图所示，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)点A到BC的距离是线段 AC 的长，点A到CD的距离是线段 AD 的长；
(2)比较大小：
AC ＞ AD，AC ＜ AB，AB ＞ BC(填“＞”“＜”或“＝”)，其根据是 垂线段最短 ；
(3)AD＋CD ＞ AC(填“＞”“＜”或“＝”)，其根据是 两点之间，线段最短 ．
11．下列时刻中，时针与分针互相垂直的是( D )
A．2时20分 B．6时15分
C．12时15分 D．3时整
12．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段BE时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．已知OA⊥OB，O为垂足，且∠AOC∶∠AOB＝1∶2，则∠BOC等于( C )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°或20°
14．两条直线相交成四个角，则：①如果有三个角相等，那么这两条直线垂直；②如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；③如果有一对对顶角互余，那么这两条直线垂直；④如果有两个角互补，那么这两条直线垂直．其中说法正确的个数为( A )
A．1 B．2 C．3 D．4
15．小华站在长方形操场的左侧A处．
(1)若要到操场的右侧，怎样走最近，在图1中画出所走路线．这是因为 垂线段最短． ；
(2)若要到操场对面的B处，怎样走最近，在图2中画出所走路线．这是因为 两点之间，线段最短． ．
16．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC，且∠COE∶∠AOC＝2∶5，求∠DOF的度数．
解：因为OE⊥AB，所以∠AOE＝∠BOE＝90°.设∠COE＝2x°，∠AOC＝5x°.因为∠AOC－∠COE＝∠AOE，所以5x－2x＝90，解得x＝30，所以∠COE＝60°，∠AOC＝150°.因为OF平分∠AOC，所以∠AOF＝75°.
因为∠AOD＝∠BOC＝90°－∠COE＝30°，
所以∠DOF＝∠AOD＋∠AOF＝105°.
17．(2019·辽宁鞍山铁西区期末)已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF.
(1)如图1，∠EOF在直线CD的右侧：
①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；
②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：
①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；
②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．
解：(1)①因为CD⊥AB，所以∠COB＝90°.因为∠EOF＝90°，所以∠COE＋∠BOE＝∠BOE＋∠BOF＝90°，所以∠BOF＝∠COE＝30°，所以∠COF＝90°＋30°＝120°.因为OP平分∠COF，所以∠COP＝∠COF＝60°，所以∠POE＝∠COP－∠COE＝30°.
②∠POE＝∠BOP.理由如下：
由①得∠BOF＝∠COE.
因为OP平分∠COF，所以∠COP＝∠POF.
又∠POE＝∠COP－∠COE，∠BOP＝∠POF－∠BOF，所以∠POE＝∠BOP.
(2)①因为OP平分∠COF，所以∠COP＝∠POF.因为∠EOF＝∠BOC＝90°，所以∠POE＝90°＋∠POF，∠BOP＝90°＋∠COP，所以∠POE＝∠BOP.
②因为∠POE＝∠BOP，∠DOP＋∠BOP＝270°，
所以∠POE＋∠DOP＝270°.
1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、余角和补角
1．在同一平面内不重合的两条直线的位置关系可能是( C )
A．相交或垂直 B．垂直或平行
C．平行或相交 D．平行或相交或重合
2．下列说法中正确的是( D )
A．不相交的两条直线是平行线
B．在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线
C．在同一平面内，两条直线不相交就重合
D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
3．下列各组角中，是对顶角的一组是( A )
A．∠2和∠4 B．∠1和∠4
C．∠2和∠5 D．∠1和∠5
4．下列图形中∠1和∠2是对顶角的是( D )
5．直线AB和直线CD相交于点O，若∠AOC＝40°，则∠BOC等于( C )
A．40° B．60° C．140° D．160°
6．如图，三条直线l1，l2，l3相交于一点，已知∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3＝ 80° .
7．(教材P40，习题2.1，T5改编)当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．如图所示，若∠1＝42°，∠2＝28°，则光的传播方向改变了 14° .
8．如图，直线AB与CD相交于点O，OE为射线．
(1)写出∠AOC的对顶角；
(2)若∠AOC＝38°，∠BOE＝108°，求∠DOE和∠AOE的度数．
解：(1)∠AOC的对顶角是∠BOD.
(2)因为∠AOC＝38°，所以∠BOD＝∠AOC＝38°.
所以∠DOE＝∠BOD＋∠BOE＝38°＋108°＝146°.
所以∠COE＝180°－∠DOE＝34°.
9．若∠A＝34°，则∠A的余角的度数为( C )
A．146° B．54° C．56° D．66°
10．计算：30°角的余角的补角是 120° .
11．已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数．
解：设这个角为x，则补角为180°－x，余角为90°－x，
由题意，得4(90°－x)＝180°－x，
解得x＝60°，即这个角为60°.
易错点 对余角、补角的定义认识不清导致出错
12．如图所示，O是直线AE上的一点，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
(1)图中互余的角有哪几对？
(2)图中互补的角有哪几对？
解：(1)互余的角有：∠AOB与∠COD，∠AOB与∠EOD，∠COB与∠COD，∠COB与∠EOD.
(2)互补的角有：∠AOB与∠BOE，∠BOC与∠BOE，∠AOC与∠COE，∠DOE与∠AOD，∠COD与∠AOD.
13．下列说法正确的是( C )
A．两条直线相交所成的角是对顶角
B．相等的角必是对顶角
C．对顶角一定相等
D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等
14．如图，直线AB，CD相交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2，其推理依据是( C )
A．同角的余角相等 B．对顶角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
15．下列各图中，∠1与∠2互为邻补角(注：两角互补且有一条公共边的角叫做邻补角)的是( D )
16．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD＝40°，OA平分∠COE，则∠AOE＝ 40 °.
17．如图，直线AB，CD相交于点O.已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE∶∠EOC＝2∶3.
(1)求∠AOE的度数；
(2)若OF平分∠BOE，问OB是∠DOF的平分线吗？试说明理由．
解：(1)因为∠AOE∶∠EOC＝2∶3，所以设∠AOE＝2x°，则∠EOC＝3x°，所以∠AOC＝5x°.因为∠AOC＝∠BOD＝75°，所以5x＝75，解得x＝15，所以∠AOE＝2x°＝30°.
(2)OB是∠DOF的平分线．理由如下：
因为∠AOE＝30°，所以∠BOE＝180°－∠AOE＝150°.
因为OF平分∠BOE，所以∠BOF＝75°.
因为∠BOD＝75°，所以∠BOD＝∠BOF.
所以OB是∠DOF的平分线．
18．探索研究：
A：观察如图所示的各图，寻找对顶角(不含平角)：
(1)如图a，图中共有 2 对不同的对顶角；
(2)如图b，图中共有 6 对不同的对顶角；
(3)如图c，图中共有 12 对不同的对顶角；
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 n(n－1) 对对顶角；
(5)若2 018条直线相交于一点，则可形成 4 070 306 对对顶角．
B：(1)3条直线两两相交最多有 3 个交点，此时有 6 对不同的对顶角；
(2)4条直线两两相交最多有 6 个交点，此时有 12 对不同的对顶角；
(3)n条直线两两相交最多有 个交点，此时有 n(n－1) 对不同的对顶角；
(4)计算2 018条直线两两相交最多有 2 035 153 个交点，则可形成 4 070 306 对不同的对顶角．
