浙江省超级全能生3月联考（数学C含答案）试卷_PDF密码解除(PDF版含答案）

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“超级全能生”2020 高考浙江省 3 月联考（C）
数学
考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分（共 40分）
一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知全集 RU ? ，集合 ? ? ? ?，，或 11|10| ??????? xxBxxxA 则 ? ? BACR ? =（ ）
A．? ?11| ??? xx B．? ?10| ?? xx C．? ?10| ?? xx D．? ?11| ??? xx
2．在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线
2
2
2 1( 0)
yx b
b
? ? ? 经过点 ? ?1,2 ，则该双曲线的离心率
是（ ）
A．
2
2
B． 3 C． 2 D．2
3．若实数 x，y满足约束条件
?
?
?
?
??
1
1
y
yx
，则 z=x+2y的最大值是（ ）
A．0 B．-4 C．-2 D．4
4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何的体积（单位：cm3）是（ ）
A．16 B．6 C．18 D．
3
16
5．若 a，b为实数，则“|a|+|b|≤4”是 “ 422 ?? ba ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在直角坐标系中，函数
xx ee
xy ??
?
3
的图象大致是（ ）
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A． B． C． D．
7．设
2
10 ?? a ，则随机变量? 的分布列为：
? 0 1 2
P
2
1 a b
设 )(?? Ey ?? ，则当 ），（
2
10?a 内增大时：（ ）
A． )(?E 递减， )( 2yE 递增 B． )(?E 递减， )( 2yE 递减
C． )(?E 递增， )( 2yE 先递减再递增 D． )(?E 递减， )( 2yE 先递增再递减
8．已知 P–ABC是正四面体，E是棱 PA上的中点，F是线段 BC的动点，EF与直
线 AB所成的最小角为α，EF与平面 ABC所成的角为β，二面角 E–BC–A的平面
角为γ，则（ ）
A．α≤β，α<γ B．α<γ，β≤α C．β≤γ，α<γ D． β≤α，γ<α
9．已知 ,a b?R ，函数 )0(1)( 23 ????? axbxaxxf 恰有两个零点．则a b? 的取值范围（ ）
A．（-∞，0） B．（-∞，-1） C．（-∞，? 1
4
） D．（-∞，1
4
）
10．数列{an}满足 a1= a， nnn ann
a
2
1)11( 21 ??
??? ， n
??N ，则下列正确的是（ ）
A．当 1?a 时， 22020 ea ? B．当 0?a 时， ea ?2020
C．对任意 a，数列{an}单调递增 D．对任意 a，数列{an}单调递减
非选择题部分（共 110分）
二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分。
11．复数
i
Z
-2
1
? （ i为虚数单位），则 Z 的虚部为__________， ?Z __________．
12.在二项式
n
x
x
?
?
?
?
?
? ?
4
2
的展开式的第 5项为常数项，则 n=___________,此常数项是___________．
13．新冠肺炎侵袭，某医院派出 5名医生支援 A、B、C三个国家，派往每个国家至少一名医生，
共有_________种安排方式；若甲、乙不去同一个国家，共有_________种安排方式.
14．已知 yx、 为正实数，满足 724 ??? xyyx ，则 yx?2 的最小值_________.
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15．在凸四边形 ABCD 中，已知 ?60??ABC ， 32,5,,30 ????? CDADBCABADC ? ，
则 ?AC ____， ?BD ___________．
16．记 ),(),,(|,|2||),( 22112121 yxByxAyyxxBAd 其中???? ，已知 A，B是椭圆 14
2
2
?? yx 上
的任意两点，C是椭圆右顶点，则 ),(),( CBdCAd ? 的最大值是___________．
17．平面非零向量 cba ?
?? ,, 满足 ba
??
? ，c?为单位向量，已知 ? ? ? ? 02 ????? cbaba ????? 且 3?? ca ?? ，
则 ba
??
? 的最大值是___________．
三、解答题：本大题共 5小题，共 74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分 14 分）已知函数 ( ) sin( ), ( 0, 0,0 )
2
f x A x A x?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? R 的部分
图像如图所示.
（1）求 ( )f x 的解析式；
（2）若
4( ) ,
5
f ? ? 求 sin(2 )? 的值．
19．（本小题满分 15分）四棱锥 ABCDP ? ，底面 ABCD为平行四边形, PC⊥平面 ABCD，且
ABACACABPC ???? ,1 ；
（1）M 为 BC中点，求证： BPAM ? ;
（2）若点 N是线段 PC上的动点，当二面角 CBDN ?? 的正切值为
2
5
，求此时 NB与平面 PAB
所成角的正弦值.
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20．（本小题满分 15分）设等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ， 2 5 55 2 , 15a a S? ? ，数列{ }nb 满足：
1
1
10,
1 1
n
n
b nb
b n
? ?? ?
? ?
．
（1）求数列{ },{ }n na b 的通项公式；
（2） 记数列 n n nc a b? ? ，数列? ?nc 的前 n项和为 nT ，证明：
( 1) ( 1)
2 2n
n n n nT? ?? ?
.
21．（本小题满分 15分）如图，已知点 (1 0)F ， 为抛物线 2 2 ( 0)y px p? ? 的焦点，一条直线交抛
物线于 A、B两点，与准线交于点 C，（B在 A、C之间且 B、A均在 x轴上方）满足 BF⊥AF，
记 ABFBCF ?? , 的面积分别为 1 2,S S ．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求 1
2
S
S
的取值范围．
22．（本小题满分 15分）设函数 22
2
1
2
3ln)
2
1()( xaxxaxxxf ????
（1）当 1?a 时，求函数 ( )f x 的单调区间；
（2）当
4
0 ea ?? 时，
①证明：函数 )(xf 有两个零点 21 xx， ;
②求证： exx ?? 21 .注：e=2.71828…为自然对数的底数．

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“超级全能生”2020 高考浙江省 3月联考（C）
数学参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分40分。
1．B 2．C 3．D 4．D 5．B
6．A 7．B 8．C 9．D 10．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．
1 5
,
5 5
? 12．6,960 13．150，114 14．3
15． 7, 37 16．4 4 2+ 17． 17 1+
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18．（本小题满分 14 分）已知函数 ( ) sin( ),( 0, 0,0 )
2
f x A x A x
?
? ? ? ?= + ? ? ? ? ?R 的部分
图像如图所示.
（1）求 ( )f x 的解析式；
（2）若
4
( ) ,
5
f ? = 求sin(2 )? 的值．

解：（1）A=1……………………………………………………………………………………2 分
2? = ……………………………………………………………………………………4 分
4
?
? = ……………………………………………………………………………………6分
( ) sin(2 ),
4
f x x
?
= + ……………………………………………………………………7 分
（2）
4 3
5
( ) sin(2 ) ,cos(2
4 5
)
4
f ? ? ?
? ?
+ += = ?= ……………………………………9 分

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sin(2 sin(2 ) sin(2 )cos( ) cos(2 )sin( )
4 4 4
)
4 4 4
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?+ ? = + ? += ……12 分
7 2
)
0
2
1
sin( ? = 或sin(2
2
)
10
? = …………………………………………………14 分
19．（本小题满分 15 分）四棱锥 ABCDP? ，底面 ABCD为平行四边形, PC⊥平面 ABCD，且
ABACACABPC ⊥=== ,1 ；
（1）M 为BC中点，求证： BPAM ⊥ ，
（2）若点 N 是线段 PC 上的动点，当二面角 CBDN ?? 的正切值为
2
5
，求此时 NB 与平面PAB
所成角的正弦值.

证明：（1） PC⊥平面 ABCD, AM ABCD? , PC AM? ⊥ …………………………………2 分
又 M 为BC中点， ,AB AC AM BC= ? ⊥ ……………………………………………………4 分
AM? ⊥平面PBC ，…………………………………………………………………………………6 分
? BPAM ⊥ ，………………………………………………………………………………………7 分
（2）连BD，过点 C 作CH BD⊥ 垂足为 H，连 NH ，二面角 CBDN ?? 的平面角为 NHC? ，
…………………………………………………………………………………………………………9 分
5
tan
2
NC
NHC
HC
? = =

5 1
5, ,
5 2
BD HC NC= = = ，……………………………………12 分
P ABC C ABPV V? ?= ，?点 C 到平面 PAB 的距离为
2
2
，
点 N 为 PC 的中点，?点 N 到平面 PAB 的距离为
2
4
，
3
2
NB = …………………………14 分
设 NB与平面PAB所成的线面角为? ?
2
sin
6
? = …………………………………………15 分

第 3 页 共 7 页
20．（本小题满分 15 分）设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 2 5 55 2 , 15a a S= = ，数列{ }nb 满足：
1
1
1
0,
1 1
n
n
b n
b
b n
+ ?= =
+ +
．
（1）求数列{ },{ }n na b 的通项公式；
（2） 记数列 n n nc a b= ? ，数列? ?nc 的前 n 项和为 nT ，证明：
( 1) ( 1)
2 2
n
n n n n
T
? +
? ?
解：（1） ,na n= …………………………………………………………………………………3 分
( )( ) ( ) ( )1 11 1 1 , 1 2 1n n n nb n n b n b nb n+ +? + = + + ? = + ，累加得
2 1
n
n
b
n
?
= ……………7 分

（2）
2 1n n nc a b n= ? = ? ……………………………………………………………………9 分
21 1nn c n n? ? = ? ? …………………………………………………………………………13 分

?相加可得
( 1) ( 1)
2 2
n
n n n n
T
? +
? ? 证毕.……………………………………………………15 分

21．（本小题满分 15 分）如图，已知点 (1 0)F ， 为抛物线 2 2 ( 0)y px p= ? 的焦点，一条直线交抛
物线于 A、B 两点，与准线交于点 C，（B 在 A、C 之间且 B、A 均在 x 轴上方）满足 BF⊥AF，
记 ABFBCF ?? , 的面积分别为
1 2,S S ．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求 1
2
S
S
的取值范围．


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解：（1）
2 4y x= ……………………………………………………………………………………4 分


（2）法一：设 AB 直线方程为 ，btyx += 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y )
1
,1(
t
b
C
??
?

byytyybtbtyy
btyx
xy
4,4,01616044
4
2121
22
2
?==+?+=?=???
?
?
?
+=
=
，

因为 B、A 均在 x 轴上方， 0,0421 ???= bbyy …………………………………………6 分
( )( ) 04124,011 222121 =?+???=+???⊥ bbtbyyxxBFAF …………………8 分
4
1
,1164 222 ??+?= tbbt
bt
t
b
btt
yy
t
b
y
AB
BC
S
S
+
+
++?
=
?
+
+
==
2
2
21
2
2
1
4
1
22
||
|
1
|
……………………10 分

2
1
-12
1
2
16
2
1
-12
12
4
1
22
2
2
2
2
2
1 ?
++
+?
=?
++
=
+
+
++?
=
）（）（ bt
b
bb
bt
bt
bt
t
b
btt
S
S
2
12
1
2
1
2
1
4
84
2
1
4
3
2
1
-14
34
2
22
?+=?
+
=?
?
?=?
+?
=
tt
t
t
b
bt
bb
）（
…………………………14 分

)1,0(
2
12
1
2
1
2
2
1 ??+=
tS
S
……………………………………………………………………15 分

法二：过 A、B 分别作准线的垂线，垂足为 1 1,A B ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
则 2 1
1 1
1
1
BC x BB BF
AC x AA AF
+
= = =
+
………………………………………………………………8 分

1
2
1
1
BC BC
ACAB A
B
S BC
C
S
C
= = =
? ?
，……………………………………………………10 分
设 AF 的倾斜角为? B 在 A、C 之间且 B、A 均在 x 轴上方 0,
2
?
?
? ?
? ?? ?
? ?
…………12 分


第 5 页 共 7 页
1 cos
1 sin2
2
1 cos 1 cos
AC AF
BC BF
?
?
?
? ?
? ?
? +? ? +? ?= = = ?
? ?
……………………………………14 分

1
2
1
1
1
0
AC
BC
S
S
= ?
?
? …………………………………………………………………15 分



22．（本小题满分 15 分）
设函数
22
2
1
2
3
ln)
2
1
()( xaxxaxxxf ?+?=
（1） 当 1=a 时，求函数 ( )f x 的单调区间；
（2）当
4
0
e
a ?? 时，
①证明：函数 )(xf 有两个零点 21 xx， ，
②求证： exx ?? 21 .注：e=2.71828…为自然对数的底数．
解：（1）
1
( ) ( ) ln
2
f x x a x
? ?
? = ? ?? ?
? ?
…………………………………………………………………1 分

令
1 2
1
( ) ( ) ln 0, ,
2
f x x a x x a x e
? ?
? = ? ? = = =? ?
? ?
…………………………………………………3 分

当 1=a 时，当 (0,1), ( ) 0x f x?? ? ，当 (1, ), ( ) 0x e f x?? ? ，当 ( , ), ( ) 0x e f x?? +? ?
所以 ( )f x 在 (0,1)x? 单调递增，在 (1, )x e? 单调递减，在 ( , )x e? +? 单调递增…………5 分


（2）①当
4
0
e
a ?? ， ( )f x 在 ( )ax ,0? 单调递增，在 ( )eax ,? 单调递减，在 ( , )x e? +? 单
调递增，当
+→→ 0)(0 xfx ， ， 0ln
2
)(,0ln
4
0
2
2 ??=???? a
a
aafa
e
a?



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0
4
)( ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?=
e
aeef ， 0
2
)( ?=
ae
ef ，当 0)( ?? xfex ， ………………………………7 分
( )eaxf ,)( 在由零点存在性定理知? 必有两个零点………………………………………………9 分
②法一：不妨设
21 xexa ??? ，要证 e
x
e
xexx ????
2
121
……………………………10 分

? ( )f x 在 ( )eax ,? 单调递减 ( ) ( ) ( ) ( )12
2
2
2
1 , xfxf
x
e
fxf
x
e
fxf =??
?
?
??
?
?
????
?
?
??
?
?
?即证：

( ) 0-
2
2 ???
?
?
??
?
?
x
e
fxf即证：

设 ( ) ）（ ex
x
e
fxfx ??
?
?
?
?
?
= -)(? ，………………………………………………………………12 分
( ) ( ) ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?+?
?
?
?
?
?
??=?
?
?
?
?
?
?+?=?
2
1
ln
2
1
ln)(
22 x
e
a
x
e
x
e
xax
x
e
f
x
e
xfx?

( )
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
? ?
+?
?
?
?
?
?
?=??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?=?
2
2
3
24
2
-
2
1
ln-
2
1
ln)(
x
xe
a
x
ex
xa
x
e
x
e
axxx?

( ) ( ) ??
?
?
??
?
? +
?
?
?
?
?
?
?=??
?
?
??
?
? +
?
?
?
?
?
?
?=?
3
2
2
23
2
2 --
2
1
ln--
2
1
ln)(
x
eaxx
exx
x
a
x
ex
exxx?

0-,
4
0,0-,0
2
1
ln 22 ?+??????? eaxxex
e
aexx ?? ………………………………14 分

0)( ?? x? ( ) ）单调递增，（在 ?+??
?
?
?
?
?
=? ex
x
e
fxfx -)(?

( ) ( ) 0-)()( ==?? efefex ?? ( ) 0-
2
2 ???
?
?
??
?
?
?
x
e
fxf

证毕exx ?? 21 ………………………………………………………………………………………15 分

法二：令 0
2
1
2
3
ln)
2
1
()( 22 =?+?= xaxxaxxxf


第 7 页 共 7 页
3-ln2
ln
3-ln2
ln
2
3
-ln
2
1
ln
2
1
22
22
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
a
?
=
?
=
?
= …………………………………………………10 分

不妨设 21 xx ? 令 12
1
2 ,1 txxt
x
x
=?=

3-ln2
ln
3-ln2
ln
3-ln2
ln
1
111
2
222
1
111
tx
txtxtx
x
xxx
x
xxx ?
=
?
=
?
，
令 3-ln2m 1x=

mt
t
t
mmt
t
t
mmt
t
m
tt
m
m
+
+=+?
+
+=+?
+
?
?
?
?
?
? +
+
=
+
ln2
1
1
ln2
2
22
1
2
1
ln2
2
1
ln
2
1


( ) 0
1
ln2
1ln22 =
?
?++
t
t
tmm …………………………………………………………………12 分

要证 2ln1lnln21lnln1lnln 1112121 ??+??+??+??+?? tmtxtxxxxexx

tm ln-2??即证 设 ( )
1
ln2
1ln2)( 2
?
?++=
t
t
tmmmh ， )(mh 在 ?
?
?
?
?
?
?
2
1
-ln-- t， 单调递减
所以 )ln-2()( thmh ?? ，因为 0)( =mh ， ( ) 0ln-2 ?? th即证

( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
1
ln1
2ln-
1
ln2
1ln2ln-2ln-2ln-2
22
?
+
?+=
?
?+?+?=?
t
tt
t
t
t
tttth

( ) ( ) ( )
0
1
12
lnln
1
12
)1(
1
ln1
2 ?
+
?
???
+
?
??
?
+
?
t
t
tt
t
t
t
t
tt
?

设
( )
( )
( )
( )
递增在 ),1()(0
1
1
1
41
)(,
1
12
ln)(
2
2
2
+????
+
?
=
+
?=?
+
?
?= tt
tt
t
tt
t
t
t
tt ???

0)1()( =??? t ，
( )
成立)1(
1
ln1
2 ?
?
+
?? t
t
tt
………………………………………………14 分

( ) ( )
( )
0
1
ln1
2ln-ln-2
2
?
?
+
?+=?
t
tt
tth 成立， 得证tm ln-2???

exx ?? 21 证毕.……………………………………………………………………………………15 分