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推导证明题 专题突破
(杭州6考)
考向1 力学推导题(杭州4考)
1. (2019杭州江干区模拟)航天迷小金利用自制降落伞模拟返回舱的降落过程。将带有降落伞的重物从高处释放，一段时间后打开降落伞，重物在离地4 m高处开始匀速下落，速度为5 m/s，若打开降落伞后，降落伞和重物受到的阻力f与速度v满足关系式f＝kv2，k＝3 N·s2/m2，求：
(1)重物从开始匀速下落到落地用的时间；
(2)试推导降落伞和重物的总重与速度的关系，并计算降落伞和重物的总重。
2. 小金同学利用一根吸管制作一个简易密度计，他用石蜡将下端封闭，并放入适量的细沙，它的长度为L，外直径为d，总质量为m。
(1)如图甲当把该简易密度计放入某液体中时，浸入液体中的长度为h，试推导该液体的密度ρ的表达式。(用题中所给字母表示)
(2)该简易密度计的刻度是均匀的吗？说明理由。
(3)小金通过正确计算，在吸管上标出对应的刻度线，制成了一个简易的吸管密度计。如图乙四种刻度的标示合理的是________(选填字母)。
3. 理论上分析：浸在液体中的物体受到的浮力就是液体对物体表面压力的合力。如图所示，一个底面积为S，高为h的长方体浸没在密度为ρ的液体中。
(1)分析该物体侧面所受液体压力的合力F合1；
(2)求出该物体底面所受液体压力的合力F合2；
(3)结合以上结果，说明该理论分析与阿基米德原理的表述是一致的。
4. 小明用如图所示的实验装置测量杠杆的机械效率。实验时竖直向上拉动杠杆，使挂在杠杆下面的钩码缓缓上升。重为10 N的钩码挂在A点时，人的拉力F为8 N，钩码上升0.6 m时，动力作用点C上升1 m，(支点和杠杆的摩擦不计)问：
(1)拉力F所做的功；
(2)小金在研究杠杆的机械效率与哪些因素有关时，提出猜想：可能与物重有关。 他在A点分别挂重为G、G′(G>G′)的钩码，所用实验装置相同，将G和G′提升相同的高度h，用所学知识推导杠杆下挂不同物重时机械效率η与η′的大小关系。
5. 如图所示，一均匀薄板OA的长为L，质量为m，可绕O端在竖直平面内无摩擦转动，板正中间放一质量为m′的小球固定不动，一根细绳(质量不计)跨过滑轮(绳与滑轮摩擦不计)，一端系于A点，另一端系在m′上，调整滑轮高度和绳子长度，使OA始终水平平衡，且绳左端始终竖直，则绳子右端与水平方向成θ角。
(1)请画出θ＝30°时绳子拉力F′的力臂l′，并计算力臂的大小。
(2)推导绳子拉力F与角度θ的关系式。(提示：g为定值，最后结果用题中字母表示)
6. 如图所示，一位同学的质量为60 kg，再将木棒支在O点，物体挂在A点，OB＝100 cm，OA＝20 cm。让该同学站在体重秤上用手将木棒抬到图示位置，此时体重秤的读数为76.2 kg。试求：(g取10 N/kg)
(1)在测体重时，该同学双脚与体重秤的接触面积为0.04 m2，他对体重秤的压强为多大？
(2)试求物体的质量，若此时该同学用双手竖直向上匀速抬起木棒，体重秤的读数将__________(选 填“增大”或“不变”或“减小”)，试通过推导说明。
7. 如图甲所示为小明暑假期间钓鱼的情景，钓鱼竿ABCD(忽略自重)。物理模型分析图如图乙，一个金属鱼模型(重力FG＝20 N)系在钓鱼线DE的下端，当模型鱼浸没在水中静止时钓线的拉力FD＝18 N，此时杆ABC部分与水平面成30°角，钓鱼者一手握在B点，一手握在A端。
(1)求金属鱼模型所受到的浮力；
(2)将钓鱼竿ABCD当作杠杆研究，若以B点为支点，画出动力臂BA′(l1)和阻力臂BP′(l2)；
(3)若以A端为支点研究杠杆ABCD，判断人手对B点的“拉抬力”FB与钓线的拉力FD的大小关系并说明理由。
8. (2019杭州余杭区模拟)建筑工人向高处运送货物时，常用如图甲、乙所示的两种装置。
(1)如图甲装置中，在一个斜面上安装一个滑轮组，斜面的倾角为30°，且固定在水平面上，如图甲所示。工人用400 N的力拉绳子，重为500 N的货物在20 s内沿斜面匀速运动6 m。
求：①此过程中工人提升重物做的有用功；
②该装置的机械效率。
(2)小聪认为：利用如图乙装置提升重物，在不计绳重、轮与轴之间摩擦的情况下，改变滑轮组的绕绳方式，能够提高滑轮组的机械效率。请分析说明这种想法是否正确，并说明理由？
9. (2019杭州西湖区模拟)如图所示，小金想利用滑轮组用最省力的绳子绕法水平匀速拉动物体A。若地面对A的摩擦力与A的重力比值为n，A的比热容为c，A的温度上升t。(为计算方便，假设摩擦产生的热都被A吸收)
(1)请在图中画出滑轮组上绳子的绕法。
(2)在用绳子水平匀速拉动物体A的过程中，若不计绳子与滑轮之间的摩擦和自重，拉力做的功________(选填“大于”“小于”或“等于”)物体A克服摩擦做的功。
(3)已知物体受到的滑动摩擦力和物体间相对滑动的距离的乘积，在数值上等于滑动过程产生的内能，试推导绳子末端移动的距离s。(请写出推导过程，所得结果用字母表示)
考向2 光学推导题(杭州2考)
10. 如图所示，杆状物体AB与水平面垂直，放在与水平面成45°角的平面镜前，请解答以下问题：
(1)利用光的反射定律，作出物体AB在平面镜中所成的像A′B′(保留作图痕迹)；
(2)证明：像A′B′与物体AB垂直。
11. 如图所示，一条光线AO入射到平行玻璃砖CDEF上。请完成下列两个小题：
(1)在图中作出光进入和离开玻璃砖的光路图。
(2)推导证明：离开玻璃砖后的光线与光线AO互相平行。
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答案解析部分
考向1 力学推导题
1. 解：(1)重物从开始匀速下落到落地所用的时间为t＝＝＝0.8 s
(2)匀速运动时降落伞和重物受力平衡，重力等于阻力即G＝f＝kv2，由G＝kv2可知G＝3 N·s2/m2×(5 m/s)2＝75 N
2. 解：(1)因为密度计漂浮，F浮＝G＝mg
F浮＝ρ液gV1＝ρ液gSh＝πd2ρ液gh则ρ液＝
(2)不均匀，ρ液h的乘积是常数，ρ与h成反比
(3)C
3. 解：(1)由液体内部压强公式p＝ρgh，考虑到物体相对的两个侧面具有对称性，可知F合1＝0
(2)设物体上底面在液体中的深度为h′，则下底面在液体中的深度为h＋h′，于是有F合2＝F向上－F向下＝ρg(h＋h′)S－ρgh′S＝ρghS
(3)由于物体浸没在液体中，即V排＝V＝hS，所以F合2＝ρgV＝ρgV排，综合(1)、(2)的结果知F浮＝ρgV排，即该理论分析与阿基米德原理的表述是一致的
4. 解：(1)由题意得：拉力F做的功为W总＝Fs＝8 N×1 m＝8 J
(2)由题意得：η＝＝＝
η′＝＝＝
又G>G′，则η>η′
5. 解：(1)先画出绳子的拉力F′，再过支点O作拉力F′作用线的垂线段，即力臂l′；如答图所示。
已知OA长度为L，右端细绳与水平方向成30°角，所以力臂的大小l′＝L
(2)薄板正中间放一质量为m′的小球，故阻力臂l2＝L
以m′为研究对象，如解图所示，O为支点，画出各个力和力臂：
因为＝sinθ，所以动力臂l1＝Lsinθ，
因定滑轮不省力，故绳对小球m′的拉力大小F等于动力F1的大小，
阻力为总重力与拉力的合力，即F2＝G总－F＝(m＋m′)g－F，
根据杠杆平衡条件F1l1＝F2l2有：F×Lsinθ＝[(m＋m′)g－F]×L，
解得F＝
6. 解：(1)该同学的重力：G＝mg＝60 kg×10 N/kg＝600 N
他对体重秤压强：p＝＝＝＝1.5×104 Pa
(2)F1＝(76.2 kg－60 kg)×10 N/kg＝162 N
由杠杆平衡条件可得F1×L1＝G×L2可得，物体的重力G′＝＝＝810 N，物体的质量为m＝＝＝81 kg
不变 若设该同学把木棒提升的高度与水平面的夹角为θ，则重力的力臂为LG＝OAcosθ，而该同学竖直向上的力F的力臂LF＝OBcosθ，由于是匀速上升，则根据杠杆平衡条件可以GLG＝FLF，即G×OAcosθ＝F×OBcosθ，可得F＝G，由题图可知为定值，则该同学竖直向上的力F大小不变，即台秤的示数不变
7. 解：(1)金属鱼模型受三个力的作用保持平衡，根据力的平衡条件可得：F浮＋FD＝FG，所以，金属鱼模型所受到的浮力：F浮＝FG－FD＝20 N－18 N＝2 N
(2)过支点B，分别向动力和阻力的作用作垂线段，垂线段的长即为动力臂和阻力臂，如答图所示
(3)以A为支点，动力作用在B处，由杠杆平衡条件可得FB·LB＝FD·AP，B处的最大动力臂为AB，则AP＞LB，所以，FB＞FD
8. 解：(1)①物体在斜面移动6 m，斜面的倾角为30°，根据直角三角形知识可知，物体上升的高度h＝s＝×6 m＝3 m，工人所做有用功：W有用＝Gh＝500 N×3 m＝1 500 J
②由图可知，动滑轮上有2段绳子，即n＝2，已知物体沿斜面移动距离s＝6 m，则绳子自由端移动的距离：s′＝ns＝2×6 m＝12 m，工人所做总功：W总＝Fs′＝400 N×12 m＝4 800 J，该装置的机械效率：η＝×100%＝×100%＝31.25%
(2)如解图，只改变滑轮组的绕法，
不计绳重、轮与轴之间摩擦，滑轮组的机械效率：η＝＝＝
由于G、G轮不变，所以滑轮组的机械效率不变，则小聪的想法不正确
9. (1)如答图所示
(2)等于
(3)解：f＝nmg
Q吸热＝cmt；Q产热＝f·s物
由于Q产热＝Q吸热可得f·s物＝cmt
化简可得s物＝＝＝
所以s＝3s物＝
考向2 光学推导题
10. (1)如答图所示
(2)证明：如答图所示，光的反射现象中，反射角等于入射角
则∠1＝∠2
又因为法线垂直镜面，所以∠3＝∠4
又因为∠3＝∠B′OO2
所以∠4＝∠B′OO2
△BOO2与△B′OO2为直角三角形，故△BOO2≌△B′OO2，又因为AB垂直于水平面，平面镜与水平面成45度角，故∠BOO2＝45°，
所以∠BOO2＝∠B′OO2＝45°。
所以∠BOB′＝90°
因此像A′B′与物体AB垂直
11. (1)如答图所示
(2)证明：如答图，光从空气射入玻璃，AO为入射光线，OO′为折射光线；光从玻璃射入空气，OO′为入射光线，O′A′为折射光线，因为是平行玻璃砖，所以界面CD∥EF；
因为法线MM′和NN′与界面垂直，即MM′⊥CD，NN′⊥EF，所以MM′∥NN′，所以∠M′OO′＝∠NO′O，
因为光路可逆，所以∠AOM＝∠A′O′N′，所以AO∥O′A′
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