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选修2-1 第一章 单元训练测试题
选择题
1．命题“若α＝，则tan α＝1”的否命题是
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
2．关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
3．设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若“x>5”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围为
A．a>5 B．a≥5 C．a<5 D．a≤5
5．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2，4}，则“m＝”是“A∩B＝{4}”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确的是
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④
二、填空题
7．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件者，用序号填空：
(1)“使a，b都为0”的必要条件是________；
(2)“使a，b都不为0”的充分条件是________；
(3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是________．
8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
9．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．已知在实数a，b满足某一前提条件时，命题“若a>b，则<”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a，b应满足的前提条件是________．
14．已知集合A＝，B＝{x|－115．命题“?x0∈R，1A．?x∈R，1B．?x∈R，1C．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
D．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
16．已知f(x)＝3sin x－πx，命题p：?x∈，f(x)<0，则
A．p是真命题，綈p：?x∈，f(x)>0
B．p是真命题，綈p：?x0∈，f(x0)≥0
C．p是假命题，綈p：?x∈，f(x)≥0
D．p是假命题，綈p：?x0∈，f(x0)≥0
17.下列命题中是假命题的是
A．?x∈R，log2x＝0 B．?x∈R，cos x＝1
C．?x∈R，x2>0 D．?x∈R，2x>0
18．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则
A．p∨q为真 B．p∧q为真
C．p真q假 D．p∨q为假
19．命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p∨(綈q)表示
A．甲、乙两人的数学成绩都低于100分
B．甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分
C．甲、乙两人的数学成绩都不低于100分
D．甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分
20.已知命题p：?x∈R，3x<5x，命题
q：?x0∈R＋，2－x>，则下列命题中真命题是
A．p∧q B．p∨(非q)
C．(非p)∧(非q) D．(非p)∧q
21.下列说法中，正确的是
A．命题“若am2B．命题“?x0∈R，x－x0>0”的否定是“?x∈R，x2－x≤0”
C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件
22.已知下列命题：
①命题：?x∈(0，2)，3x>x3的否定：?x0∈(0，2)，3x0≤x；
②若f(x)＝2x－2－x，则?x∈R，f(－x)＝－f(x)；
③若f(x)＝x＋，则?x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝1；
④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝3，则S7＝21；
⑤在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B.
其中真命题是________．(只填写序号)
23.已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
24.已知命题p：?x0∈R，ex0－mx0＝0，q：?x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(非q)为假命题，则实数m的取值范围是
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0，2]
C．R D．?
25.已知函数f(x)＝给出下列两个命题：命题p：?m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有实数解；命题q：当m＝时，f(f(－1))＝0，则下列命题为真命题的是
A．p∧q B．(非p)∧q
C．p∧(非q) D．(非p)∧(非q)
26.已知命题“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．
27.已知命题p：?x∈[0，1]，a≥ex，命题q：?x0∈R，x＋4x0＋a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
28.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，q：实数x满足|x－3|<1.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若a>0且非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
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选修2-1 第一章 单元测试训练题 解析版
选择题
1．命题“若α＝，则tan α＝1”的否命题是
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
解析 因为命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，故“若α＝，则tan α＝1”的否命题是“若α≠，则tan α≠1”．
答案 A
2．关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
解析 原命题为真命题，则其逆否命题为真命题．
答案 D
3．设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 解不等式x3>8得x>2，解不等式|x|>2得x>2或x<－2，因为{x|x>2}{x|x>2或x<－2}，所以“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件．
答案 A
4．若“x>5”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围为
A．a>5 B．a≥5 C．a<5 D．a≤5
解析 由x>5是x>a的充分条件知，{x|x>5}?{x|x>a}．∴a≤5.故选D.
答案 D
5．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2，4}，则“m＝”是“A∩B＝{4}”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，∴m＝±，故“m＝”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
答案 A
6．有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确的是
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④
解析 ①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为，若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1.∵当m＝0时，解集不是R，∴应有即m>1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．
答案 C
二、填空题
7．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件者，用序号填空：
(1)“使a，b都为0”的必要条件是________；
(2)“使a，b都不为0”的充分条件是________；
(3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是________．
解析 ①ab＝0?a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0?a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0?a＝0或④ab>0?或即a，b都不为0.
答案 (1)①②③ (2)④ (3)①
8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
答案 [－3，0]
9．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
答案 C
10．已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由直线与平面平行的判定定理可知当m∥n时，m∥α成立；但当m∥α时，直线m与n可能平行，也可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．
答案 A
11．设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 因为答案 A
12．“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f(x)＝sin x－，f(－x)＝sin(－x)－＝－sin x＋＝－＝－f(x)，故f(x)为奇函数；反之，
当f(x)＝sin x－＋a为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝2a，故a＝0，所以“a＝0”是“函数f(x)＝ sin x－＋a为奇函数”的充要条件，故选C.
答案 C
13．已知在实数a，b满足某一前提条件时，命题“若a>b，则<”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a，b应满足的前提条件是________．
解析 显然ab≠0，当ab>0时，b，则必有a>0>b，故>0>，所以原命题是假命题；若<，则必有<0<，故a<0答案 ab<0
14．已知集合A＝，B＝{x|－1解析 因为A＝＝{x|－13，即m>2.
答案 (2，＋∞)
15．命题“?x0∈R，1A．?x∈R，1B．?x∈R，1C．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
D．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
解析 根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．
答案 D
16．已知f(x)＝3sin x－πx，命题p：?x∈，f(x)<0，则
A．p是真命题，綈p：?x∈，f(x)>0
B．p是真命题，綈p：?x0∈，f(x0)≥0
C．p是假命题，綈p：?x∈，f(x)≥0
D．p是假命题，綈p：?x0∈，f(x0)≥0
解析 依题意得，当x∈时，f′(x)＝3cos x－π<3－π<0，函数f(x)是减函数，此时f(x)答案 B
17.下列命题中是假命题的是
A．?x∈R，log2x＝0 B．?x∈R，cos x＝1
C．?x∈R，x2>0 D．?x∈R，2x>0
解析 因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C.
答案 C
18．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则
A．p∨q为真 B．p∧q为真
C．p真q假 D．p∨q为假
解析 由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由a2>b2可得|a|>|b|，但a不一定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题．所以p∨q为假．
答案 D
19．命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p∨(綈q)表示
A．甲、乙两人的数学成绩都低于100分
B．甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分
C．甲、乙两人的数学成绩都不低于100分
D．甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分
解析 由于命题q：乙的数学成绩低于100分，因此綈q：乙的数学成绩不低于100分．所以p∨(綈q)：甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分，故选D.
答案 D
20.已知命题p：?x∈R，3x<5x，命题
q：?x0∈R＋，2－x>，则下列命题中真命题是
A．p∧q B．p∨(非q)
C．(非p)∧(非q) D．(非p)∧q
解析 先判断命题p，q的真假，对于命题p，当x＝－1时，命题不成立，所以命题p：?x∈R，3x<5x是假命题．对于命题q，当x＝时，该命题成立，所以命题q：?x0∈R＋，2－x>是真命题．于是綈p和q都是真命题，则(非p)∧q为真命题，选D.
答案 D
21.下列说法中，正确的是
A．命题“若am2B．命题“?x0∈R，x－x0>0”的否定是“?x∈R，x2－x≤0”
C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件
解析 选项A的逆命题为“若a1”是“x>2”的必要不充分条件，所以是假命题．故选B.
答案 B
22.已知下列命题：
①命题：?x∈(0，2)，3x>x3的否定：?x0∈(0，2)，3x0≤x；
②若f(x)＝2x－2－x，则?x∈R，f(－x)＝－f(x)；
③若f(x)＝x＋，则?x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝1；
④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝3，则S7＝21；
⑤在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B.
其中真命题是________．(只填写序号)
解析 ①命题：?x∈(0，2)，3x>x3的否定：?x0∈(0，2)，3x0≤x，为真命题；②因为f(x)＝2x－2－x为R上的奇函数，所以?x∈R，f(－x)＝－f(x)，为真命题；③若f(x)＝x＋＝1，则x＝0，即不存在x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝1，故该命题为假命题；④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝3，则S7＝＝＝7a4＝21，是真命题；⑤在△ABC中，大角对大边，若A>B，则sin A>sin B，为真命题．故真命题是①②④⑤.
答案 ①②④⑤
23.已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件，故选B.
答案 B
24.已知命题p：?x0∈R，ex0－mx0＝0，q：?x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(非q)为假命题，则实数m的取值范围是
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0，2]
C．R D．?
解析 若p∨(非q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m答案 B
25.已知函数f(x)＝给出下列两个命题：命题p：?m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有实数解；命题q：当m＝时，f(f(－1))＝0，则下列命题为真命题的是
A．p∧q B．(非p)∧q
C．p∧(非q) D．(非p)∧(非q)
解析 因为函数f(x)＝当x<0时，f(x)＝2x∈(0，1)，不存在满足f(x)＝0的x值；当x≥0时，f(x)＝0时，m＝x2∈[0，＋∞)，故命题p为假命题．当m＝时，f(f(－1))＝f＝0，所以命题q为真命题，故命题p∧q，p∧(非q)，(非p)∧(非q)均为假命题，(非p)∧q为真命题．
答案 B
26.已知命题“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析 由“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．
设f(x)＝x2－5x＋a，则其图像恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×a<0，解得a>，即实数a的取值范围为.
答案
27.已知命题p：?x∈[0，1]，a≥ex，命题q：?x0∈R，x＋4x0＋a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 命题“p∧q”是真命题，则p和q均为真命题；
当p是真命题时，a≥(ex)max＝e；
当q为真命题时，Δ＝16－4a≥0，a≤4；所以a∈[e，4]．
答案 [e，4]
28.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，q：实数x满足|x－3|<1.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若a>0且非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解析 (1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，
当a＝1时，1由|x－3|<1得－1即q为真时，实数x的取值范围是2若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是2(2)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，
∵a>0，∴a若非p是非q的充分不必要条件，
则非p?非q，且非qD/?非p，
设A＝{x|非p}，B＝{x|非q}，则A?B，
又A＝{x|非p}＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|非q}＝{x|x≥4或x≤2}，∴或解得≤a≤2，
∴实数a的取值范围是≤a≤2.
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