18.2 勾股定理的逆定理课件 (共21张PPT)
文档属性
| 名称 | 18.2 勾股定理的逆定理课件 (共21张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-26 21:24:18 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
18.2 勾股定理的逆定理
沪科版 八年级下
新知导入
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
将一根绳子打13个等距的结,这样就会把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？
新知讲解
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题1 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题2 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
新知讲解
猜想：如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
新知讲解
已知：如图，△ABC 的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC 是直角三角形．
分析：要证△ABC 是直角三角形
∠C 是直角
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
△ABC ≌ △ A′B′C′
新知讲解
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C’=90°，A′C′’=b，B′C ′=a，
则
∴△ABC ≌ △A′B′C′’(SSS)，
∴∠C= ∠C′’=90° ， 即△ABC 是直角三角形
新知讲解
归纳小结：
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c 满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
注意：c 为斜边，是最长的边，它所对的角
∠C 是直角。
新知讲解
例1 下面以a,b,c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=7 ， b=24 ，c=25; (2) a=7 ，b=8 ，c=11.
解：(1)∵72+242=625，252=625，∴72+242=252，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C 是直角.
(2)∵72+82=113，112=121，
∴72+82≠112，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
新知讲解
例2.已知：在 ?ABC中，三边长分别为a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1).
求证：?ABC为直角三角形.
证明：∵ a2+b2=(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n2
=n4+2n2+1
=(n2+1)2=c2
∴?ABC为直角三角形
能够成为直角三角形三边长度的三个正整数，称勾股数。（如3，4，5）
新知讲解
例3 如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE＝ CB，试判断AF 与EF 的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂练习
1.下列每一组数据中的三个数分别为三角形的三个边长，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A. 3,4,5 B. 6,8,10 C. 5,12,13 D. , 2 ,
2.在Rt△ABC中，若AC2+AB2=BC2,
则 —— =900.
D
∠A
课堂练习
3.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. -3,-4,-5 B. 6,8,9 C. 1.5,2,2.5 D. 8 ,15 ,17
点拨：（1）勾股数是正整数；（2）满足a2+b2=c2
4.若△ABC 的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC 的形状.
点拨：（1）要判断△ABC 的形状，必须推导出a，b，c之间的关系；
（2）本题还需用完全平方公式.
D
课堂练习
解：∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，
∴ a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0.
即 (a－5)?+ (b－12)?+ (c－13)?=0.
∴ a=5, b=12, c=13，
∵52+122=169，132 =169
∴52+122=132
即 a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
拓展提高
5.已知 ：如图，四边形ABCD，AB=1,BC = ，CD= ,AD=3,且
AB⊥BC.
求四边形ABCD的面积S.
分析：求一般四边形ABCD的面积，没有
直接公式可求，可转化为两个三角形分别
求之.如图连接AC即可。
拓展提高
解：连接AC，∵AB⊥BC
∴△ABC是直角三角形.
∴AC2=AB2+BC2=12+( )2=
S△ABC= AB*BC= ×1× =
AC2+AD2= +32= CD2=( )2=
∴ AC2+AD2= CD2
∴△ADC是直角三角形,∴ S△ADC= AD*AC= × ×3=
S= S△ABC+S△ADC= + =
中考链接
6.（安庆中考）若一个三角形的三边a,b,c满足
（a+b）（a-b）=c2,那么这个三角形是
———————— 三角形。
点拨：由（a+b）（a-b）=c2
得：a2=b2+c2
∴ 该三角形是以∠A=900的直角三角形.
∠A=900的直角
课堂总结
本节课你有什么收获？
本节课我们主要学习了勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c 满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
板书设计
18.2勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
2.证明勾股定理的逆定理
3.例1... 例2... 例3...
作业布置
课本 P60 页习题18.2
第1--4题
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18.2 勾股定理的逆定理
沪科版 八年级下
新知导入
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
将一根绳子打13个等距的结,这样就会把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？
新知讲解
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题1 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题2 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
新知讲解
猜想：如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
新知讲解
已知：如图，△ABC 的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC 是直角三角形．
分析：要证△ABC 是直角三角形
∠C 是直角
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
△ABC ≌ △ A′B′C′
新知讲解
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C’=90°，A′C′’=b，B′C ′=a，
则
∴△ABC ≌ △A′B′C′’(SSS)，
∴∠C= ∠C′’=90° ， 即△ABC 是直角三角形
新知讲解
归纳小结：
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c 满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
注意：c 为斜边，是最长的边，它所对的角
∠C 是直角。
新知讲解
例1 下面以a,b,c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=7 ， b=24 ，c=25; (2) a=7 ，b=8 ，c=11.
解：(1)∵72+242=625，252=625，∴72+242=252，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C 是直角.
(2)∵72+82=113，112=121，
∴72+82≠112，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
新知讲解
例2.已知：在 ?ABC中，三边长分别为a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1).
求证：?ABC为直角三角形.
证明：∵ a2+b2=(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n2
=n4+2n2+1
=(n2+1)2=c2
∴?ABC为直角三角形
能够成为直角三角形三边长度的三个正整数，称勾股数。（如3，4，5）
新知讲解
例3 如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE＝ CB，试判断AF 与EF 的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂练习
1.下列每一组数据中的三个数分别为三角形的三个边长，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A. 3,4,5 B. 6,8,10 C. 5,12,13 D. , 2 ,
2.在Rt△ABC中，若AC2+AB2=BC2,
则 —— =900.
D
∠A
课堂练习
3.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. -3,-4,-5 B. 6,8,9 C. 1.5,2,2.5 D. 8 ,15 ,17
点拨：（1）勾股数是正整数；（2）满足a2+b2=c2
4.若△ABC 的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC 的形状.
点拨：（1）要判断△ABC 的形状，必须推导出a，b，c之间的关系；
（2）本题还需用完全平方公式.
D
课堂练习
解：∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，
∴ a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0.
即 (a－5)?+ (b－12)?+ (c－13)?=0.
∴ a=5, b=12, c=13，
∵52+122=169，132 =169
∴52+122=132
即 a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
拓展提高
5.已知 ：如图，四边形ABCD，AB=1,BC = ，CD= ,AD=3,且
AB⊥BC.
求四边形ABCD的面积S.
分析：求一般四边形ABCD的面积，没有
直接公式可求，可转化为两个三角形分别
求之.如图连接AC即可。
拓展提高
解：连接AC，∵AB⊥BC
∴△ABC是直角三角形.
∴AC2=AB2+BC2=12+( )2=
S△ABC= AB*BC= ×1× =
AC2+AD2= +32= CD2=( )2=
∴ AC2+AD2= CD2
∴△ADC是直角三角形,∴ S△ADC= AD*AC= × ×3=
S= S△ABC+S△ADC= + =
中考链接
6.（安庆中考）若一个三角形的三边a,b,c满足
（a+b）（a-b）=c2,那么这个三角形是
———————— 三角形。
点拨：由（a+b）（a-b）=c2
得：a2=b2+c2
∴ 该三角形是以∠A=900的直角三角形.
∠A=900的直角
课堂总结
本节课你有什么收获？
本节课我们主要学习了勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c 满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
板书设计
18.2勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
2.证明勾股定理的逆定理
3.例1... 例2... 例3...
作业布置
课本 P60 页习题18.2
第1--4题
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