课件32张PPT。第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1课时湘教版数学八年级下册1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）学习目标2.掌握直角三角形的判定及推论.（难点）3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点） 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？内角三兄弟之争情境引入 老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.在这个家里，我是永远的老大.问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度?问题引导问题2：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？直角三角形的两个锐角互余． 应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°． 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．总结归纳方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.例1（1）如图?，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A
与∠D有什么关系？图?典例精析解：∠A=∠C.理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.（2）如图?，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与
∠C有什么关系？请说明理由.图?与图?有哪些共同点与不同点？例2 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC. 在Rt△BDE中,
∠DBE=90 °- ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.解：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴∠ABE+∠A=90°，
∠ABE+∠DFB=90°.
∴∠A=∠DFB.
∵∠DFB+∠BFC=180°，
∴∠A+∠BFC=180°.【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于点F，∠A与∠BFC又有什么关系？为什么？思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本
图形吗？基本图形∠A=∠C∠A=∠D总结归纳问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC
是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.ABC应用格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．有两个角互余的三角形是直角三角形. 总结归纳典例精析例3 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三
角形吗？为什么？解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °.即△ADE是直角三角形.例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是
直角三角形吗？为什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形. 问题： 如图，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关系，你能得出什么结论？线段CD 比线段AB短.猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.试给出数学证明.证一证∴ 点D'是斜边上的中点，即CD' 是斜边AB的中线. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.例5 已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，且 . 求证：△ABC是直角三角形.证明：∴ ∠1=∠A，∠2=∠B .∵∠A+∠B+∠ACB =180°，
即∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.∴ ∠A+∠B =90°.∴ △ABC是直角三角形.例6 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，
求四边形AEDF的周长；解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18；(2)求证：EF垂直平分AD.证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD =
_____cm.6105练一练归纳总结体现直角三角形斜边上中线的性质的常见图形1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.90°2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，
若∠BOD=38°，则∠A=________.52°第1题图第2题图3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.直角三角形4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另
一个锐角的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70° B5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ ）
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C D6.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
CD⊥AB，与∠1互余的角有（ ）
A．∠B B．∠A
C．∠BCD和∠A D．∠BCD C7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形.8. 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝ BC，DG＝ BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE. 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两个锐角互余判定有两个角互余的三角形是直角三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.谢谢！课件28张PPT。第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第2课时湘教版数学八年级下册1.理解和掌握有关30°角的直角三角形的性质和应用;（重点）
2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
（难点）学习目标问题引入问题1 如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ABCDA'C'问题2 将剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？动手：用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.活动探究如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,合作探究证明：取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，30°BCAD∵∠BCA =90°，且∠A=30°，∴∠B=60°，∴△CBD为等边三角形，证法1证法2证明：在△ABC 中，
∵ ∠C =90°，∠A =30°,
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．30°) 证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
∴ AE=EC，
∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
证法330°)知识要点含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一直角等于30°，那么这个直角所对的边等于斜边的一半.应用格式：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°， )30°(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的
一半． (2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半. (3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半. (4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√ 判一判例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm B．6cm
C．9cm D．12cm典例精析注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.例2 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高. ACBD15 °15 °20解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
))方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．OBDA北东60°解：∵∠AOD=30°，
AO= 海里，
∴AD= AO
= 海里＞20海里，
所以无危险.解：如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD= AB=BD=AD,
即△BDC为等边三角形,
∴∠B=60°.
∵∠B+∠A=90°，
∴∠A=30°.BCAD知识要点 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.应用格式：
∵ 在Rt△ABC 中，∠C =90°， )30°∴∠A =30°例4：如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝ BC，求∠DAC的度数．解：∵AB⊥AC，
∴∠CAB＝90°.
∵AC＝ BC，
∴∠CBA＝30°.
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°.1.如图，一棵树在一次强台风中，于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米B2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元B3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 14.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC
= .55.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=______.8cm第5题图6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，求AC的长．解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠B=∠EAB=15°，
∴∠AEC=30°，
∵∠C=90°，7.在 △ABC中, AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明:∵AB=AC,∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点,∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°, ∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED==90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.8.如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 有多长.9.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q, 求证:BP=2PQ.拓展提升∴△ADC≌△BEA.证明：∵△ABC为等边三角形，∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，∵CD=AE，∴∠CAD=∠ABE,∠BAP+∠CAD=60°.
∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
又∵ BQ⊥AD，∴BP=2PQ.∴∠PBQ=30°，∴∠BQP=90°，内容在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立）使用要点含30°角的直角三角形的性质找准30 °的角所对的直角边，点明斜边注意前提条件：直角三角形中谢谢！
