课件35张PPT。第2章 四边形
2.1 多边形
第1课时湘教版数学八年级下册情境引入学习目标1.了解并掌握多边形及有关概念;
2.对角线条数与多边形的边数的关系;（重点）
3.理解正多边形及其有关概念;（重点）
4.会用分割法探索多边形的内角和计算公式.（难点）情景引入在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？
中国第一奇村诸葛八卦村美国国防部大楼——五角大楼问题2 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.问题1 什么是三角形？由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.内角：多边形相邻两边组成的角问题3 根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角．顶点边外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.例1 六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，
如图所示. 一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.典例精析ABCDE定义：
多边形中连接不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 线段AC是五边形ABCDE的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示. 探究：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：01235n-312346n-2从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.
将多边形分成(n-2)个三角形.
归纳总结画一画：画出下列多边形的全部对角线.定义：
在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫作正多边形.想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
问题1 三角形内角和是多少度？三角形内角和是180°.都是360°.问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.问题4 你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？猜想与证明方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.E方法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.EP方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = 360°.这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已学的三角形内角和求解.结论： 四边形的内角和为360°.例2：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：
如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.∠A+∠B+∠C+∠D= 360 °，因为
∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°.所以
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．运用了整体思想问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方
法求五边形和六边形内角和吗? 内角和为180° ×3 = 540°.内角和为180° ×4 = 720°.···0n -3 1231234 n -2 （ n -2 ）·180o1×180o=180o2×180o=360o 3×180o=540o4×180o=720o···············由特殊到一般 分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部转化思想总结归纳多边形的内角和公式n边形内角和等于(n-2)×180 °.60 °90 °120 °完成下面的表格：108 °135 °例3 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则
（n-2）?180=360+720，
解得n=8，
∵这个多边形的每个内角都相等，
（8-2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．例4 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D,
∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平
分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求
得∠P的度数． 可运用
整体思想解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-100°-75°-135°=230°.
∵AP平分∠EAB,
∴∠PAB＝ ∠EAB，
同理可得∠ABP＝ ∠ABC，
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA
=180°? (∠EAB+∠ABC)=180°? ×230°=65°．1.九边形的对角线有（ ）
A.25条 B.31条 C.27条 D.30条C2.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是 边形.十三3.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个三角形.六4.一个多边形的内角和不可能是（ ）
A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 °D5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ ）
A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 °C6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.解：∵1800÷180＝10，
∴原多边形边数为10＋2＝12.
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，
∴新多边形的边数可能是11，12，13，
∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.89多边形的内角定义前提条件是在一个平面内正多
边形定义既是判定也是性质内角和计算公式(n-2) × 180 °(n ≥3） 谢谢！课件22张PPT。第2章 四边形
2.1 多边形
第2课时湘教版数学八年级下册情境引入学习目标1.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.
2.运用多边形的外角和解决问题.（重点）小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？情境引入 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.如图所示. 多边形所有外角的和叫做这个多边形的外角和.概念学习如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角．问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
互补5×180°=900°五边形外角和=360 °=5个平角－五边形内角和=5×180°－(5－2) × 180°结论：五边形的外角和等于360°.问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和n边形的外角和等于360°.－(n－2) × 180°=360 °=n个平角-n边形内角和= n×180 °思考：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形.
(2)已知某正多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是______边形.六正八例1 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？解 设多边形的边数为n，则它的内角和等于(n-2)· 180°.由题意得
(n-2)· 180°=5×360°，解得 n=12.因此这个多边形是十二边形.典例精析例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都
是7:2，求这个多边形的边数.解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,
根据题意得7x+2x=180，解得 x=20.即每个内角是140 °，每个外角是40 °.360° ÷40 °=9.答：这个多边形是九边形.
还有其他解法吗？解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意得解得n=9.答：这个多边形是九边形.【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是360°，
则该正多边形的边数为360÷120=3，
故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．例3 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．解：由题意得
AB=AE,所以∠AEB= (180°-∠A)=36°，
所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.四边形具有不稳定性：
各边的长确定后，图形形状不能确定. 在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如图（a）（b）中的电动伸缩门.有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图（c）中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是利用了三角形的稳定性.（a）（b）（c）1.判断．
(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( )
(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( )
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) 2.一个正多边形的内角135°，则这个正多边形的边数为______．83.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．1504.一个多边形的外角和是内角和的 ，求这个多边形的边数.解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n－2)?180°，
多边形外角和等于360°，
∴ (n－2)?180°=5× 360o.
解得 n=12.
∴这个多边形的边数为12.5.举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子.答：有种衣架是根据平行四边形的不稳定性，用同样长的木条构成的几个相连的菱形，每个顶点处都有一个挂钩，不仅美观，而且实用，如下图： 液晶电视的双臂旋转伸缩可悬挂支架也用到了四边形
的不稳定性，调节幅度大，可上下左右及前后多方向
调节满足客户观看需要，如上图：能力提升： 一个多边形所有内角与一个外角的和是2380°，则这个多边形的边数为___.15解析：设这个多边形的边数为n(n为正整数)，则这个多边形的内角和为（n-2）×180°，由题意可得：
2380-180<（n-2）×180<2380,
解得：14.22因为n为正整数，所以n=15，即这个多边形的边数为15.多边形的外角与外角和外角和多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关.四边形具有不稳定性外角的定义谢谢！
