(共39张PPT)
第1课时 函数的概念
1．理解函数的概念．
2．了解构成函数的三要素．
3．能正确使用函数、区间符号．
1．函数的概念
(1)函数的定义
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域与值域
函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示
对应关系的方法，引进符号f统一表示对应关系．
温馨提示：(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．
(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
2．区间概念(a，b为实数，且a
3.其他区间的表示
1．某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s与所用时间t的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝gt2，其中g＝9.8 m/s2.
(1)时间t和物体下落的距离s有何限制？
(2)时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？
(3)下落后的某一时刻，能同时对应两个距离吗？
[答案] (1)0≤t≤3,0≤s≤44.1 (2)确定 (3)不能
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( )
(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )
(3)根据函数的定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.( )
(4)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
题型一函数关系的判断
【典例1】 (1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．
①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．
(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是( )
[思路导引] 在“非空数集”A中“任取x”，在对应关系“f”作用下，B中“有唯一”的“数f(x)”与之“对应”，称f：A→B为集合A到集合B的一个函数．
[解析] (1)①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．
④集合A不是数集，故不是函数．
(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．
[答案] (1)见解析 (2)C
(1)判断对应关系是否为函数的2个条件
①A、B必须是非空数集．
②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
(2)根据图形判断对应是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l.
②在定义域内平行移动直线l.
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
[针对训练]
1．若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f：M→N的是( )
[解析] A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈M，但N中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．
[答案] D
2．下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是______．(填序号)
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
②A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
[解析] ①中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，②中同样是集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，对于③，集合A中负整数没有意义．
[答案] ④
题型二用区间表示数集
【典例2】 把下列数集用区间表示，并在数轴上表示出来．
(1){x|x≥3}；
(2){x|x<－5}；
(3){x|－4≤x<2或3[思路导引] 用区间表示数集的关键是确定开、闭区间，含“或”的数集用符号“∪”连接区间．
[解] (1){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如图．
(2){x|x<－5}用区间表示为(－∞，－5)，用数轴表示如图．
(3){x|－4≤x<2或3
应用区间时的3个注意点
(1)区间是数集，区间的左端点小于右端点．
(2)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．
(3)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．
[针对训练]
3．已知全集U＝R，A＝{x|－1[解析] ?UA＝{x|x≤－1或x>5}＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)．
[答案] (－∞，－1]∪(5，＋∞)
4．用区间表示不等式{x|x2－x－6≥0}的解集为______________________．
[解析] 不等式x2－x－6＝(x－3)(x＋2)≥0，解得x≥3或x≤－2，所以不等式的解集为{x|x≤－2或x≥3}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
[答案] (－∞，－2]∪[3，＋∞)
题型三求函数的定义域
【典例3】 求下列函数的定义域．
(1)y＝2＋；
(2)y＝(x－1)0＋；
(3)y＝·；
(4)y＝－.
[思路导引] 函数定义域即是使自变量x有意义的取值范围．
[解] (1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)函数有意义，当且仅当解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即即解得－3≤x≤2且x≠－1，即函数定义域为{x|－3≤x≤2且x≠－1}．
[变式] (1)将本例(3)中“y＝·”改为“y＝”，则其定义域是什么？
(2)将本例(3)中“y＝·”改为“y＝”，则其定义域是什么？
[解] (1)要使函数有意义，只需(3－x)(x－1)≥0，解得1≤x≤3，即定义域为{x|1≤x≤3}．
(2)要使函数有意义，则解得1
求函数定义域的几种类型
(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.
(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[针对训练]
5．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝.
[解] (1)要使函数有意义，需x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函数的定义域为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)要使函数有意义，则|x|－x≠0，
即|x|≠x，得x<0，所以函数的定义域为(－∞，0)．
(3)要使函数有意义，则解得－≤x≤，且x≠±3，即定义域为{x|－≤x≤，且x≠±3}．
课堂归纳小结
1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域随之确定．
2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合．
3．对区间的几点认识
(1)区间是集合，是数集，区间的左端点必须小于右端点．
(2)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
(3)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．
(4)“∞”是一个符号，不是一个数，它表示数的变化趋势.
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2) D．[1，＋∞)
[解析] 由题意可知，要使函数有意义，需满足即x≥1且x≠2.
[答案] A
2．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤－1} D．{x|0≤x≤1}
[解析] 由题意可知解得0≤x≤1.
[答案] D
3．函数f(x)＝的定义域为( )
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|－2C．{x|－2[解析] 要使函数有意义，需解得－2≤x≤1，且x≠－2，所以函数的定义域是{x|－2[答案] C
4．集合{x|－1≤x<0或1[解析] 结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．
[答案] [－1,0)∪(1,2]
5．已知矩形的周长为1，它的面积S是其一边长为x的函数，则其定义域为________(结果用区间表示)．
[解析] 由实际意义知x>0，又矩形的周长为1，所以x<，所以定义域为.
[答案]
课后作业(十五)
复习巩固
一、选择题
1．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
[解析] A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
[答案] B
2．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
[解析] 对于选项C，当x＝4时，y＝>2不合题意．故选C.
[答案] C
3．下列对应关系或关系式中，是A到B的函数的是( )
A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈B
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
[解析] A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不一定唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．
[答案] B
4．函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝( )
A．{x|x≥－2} B．{x|－2≤x<2}
C．{x|－2[解析] 函数f(x)的定义域为{x|x<2}，g(x)的定义域为{x|x≥－2}，从而M＝{x|x<2}，N＝{x|x≥－2}，所以M∩N＝{x|－2≤x<2}．
[答案] B
5．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，此函数的定义域为( )
A．R B．{x|x>0}
C．{x|0[解析] △ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x>0，
∴x<5，又两边之和大于第三边，
∴2x>10－2x，x>，
∴此函数的定义域为.
[答案] D
二、填空题
6．下列说法正确的是________(填所有正确说法的序号)．
①函数的定义域可以是空集；
②函数的定义域和值域确定后，对应关系也就确定了；
③函数的定义域、值域都是非空的数集；
④函数值域中的每一个值在定义域中都有唯一确定的数与之对应．
[解析] 由函数定义知，定义域和值域都是非空的数集，故①错误，③正确；函数的定义域和值域确定后，可以有不同的对应关系，如y＝|x|，y＝x2，故②错误；函数值域中的每一个值在定义域中有一个或多个确定的数与之对应，故④错误．
[答案] ③
7．函数y＝的定义域是________．
[解析] 由已知得7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7，故函数的定义域为[－1,7]．
[答案] [－1,7]
8．设集合A＝{x|x2－8x－20<0}，B＝[5,13)，则?R(A∩B)＝__________________(用区间表示)．
[解析] ∵A＝{x|x2－8x－20<0}＝{x|－2∴A∩B＝[5,10)，
∴?R(A∩B)＝(－∞，5)∪[10，＋∞)．
[答案] (－∞，5)∪[10，＋∞)
三、解答题
9．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝＋.
[解] (1)由题意得
化简得即
故函数的定义域为{x|x<0且x≠－3}．
(2)由题意可得
解得
故函数的定义域为{x|x≤7且x≠±}．
10．为了保护环境，某公交公司决定购买10台全新的混合动力公交车，现有A、B两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表：
型号 A B
价格(万元/台) a b
节省的油量(万升/年) 2.4 2
经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买两台A型车比购买三台B型车少60万元．
(1)请求出a和b；
(2)若购买A型车x台，每年节省汽油y升，试写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域．
[解] (1)根据题意得：，解得.
(2)设购买A型车x台，则购买B型车(10－x)台，根据题意得y＝2.4x＋2(10－x)＝0.4x＋20
其中0≤x≤10，x∈N.
答：每年节约汽油y升与购买A型车x台的函数关系式为y＝0.4x＋20(0≤x≤10，且x∈N)．
综合运用
11．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有( )
A．必有一个 B．一个或两个
C．至多一个 D．可能两个以上
[解析] 当a在f(x)定义域内时，有一个交点，否则无交点．
[答案] C
12．给出四个结论：①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素；③因f(x)＝5(x∈R)，这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[解析] 由函数的概念可知，①不正确，其余三个结论都正确．
[答案] C
13．在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是( )
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应法则f：x→y＝；
②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应法则f：x→y2＝3x；
③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应法则f：x→x2＋y2＝25；
④A＝R，B＝R，对应法则f：x→y＝x2；
⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应法则f：(x，y)→s＝x＋y；
⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应法则f：x→y＝0.
A．①⑤⑥ B．②④⑤
C．②③④ D．①②③⑤
[解析] ①在对应法则f下，A中不能被3整除的数在B中没有元素与之对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应法则f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应法则f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数或没有数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，故能确定y是x的函数．故选D.
[答案] D
14．已知区间[－2a,3a＋5]，则a的取值范围为________．
[解析] 由题意可知3a＋5>－2a，解得a>－1.故a的取值范围是(－1，＋∞)．
[答案] (－1，＋∞)
15．函数y＝＋的定义域为____________________(用区间表示)．
[解析] 使根式有意义的实数x的集合是{x|3－2x－x2≥0}即{x|(3－x)(x＋1)≥0}＝{x|－1≤x≤3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠±2}，所以函数y＝＋的定义域是{x|－1≤x≤3}∩{x|x≠±2}＝{x|－1≤x≤3，且x≠2}．
[答案] [－1,2)∪(2,3]
16．已知函数y＝的定义域是R，求实数m的取值范围．
[解] ①当m＝0时，y＝，其定义域是R.
②当m≠0时，由定义域为R可知，mx2－6mx＋m＋8≥0对一切实数x均成立，于是有
解得0
2
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第2课时 函数概念的应用
1．理解两个函数为同一函数的概念．
2．会求一些简单函数的定义域、值域．
1．常见函数的定义域和值域
2.函数的三要素
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、
对应关系和值域．
3．相同函数
值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域和对应关系相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们
不是相同的函数．
1．已知函数f(x)＝.
(1)函数f(x)的定义域是什么？
(2)函数f(x)的值域是什么？
[答案] (1)(－∞，－1]∪[1，＋∞) (2)[0，＋∞)
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )
(2)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．( )
(3)f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是相同的函数．( )
(4)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应．( )
(5)函数f(2x－1)的定义域指2x－1的取值范围．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×
题型一同一函数的判断
【典例1】 下列各组式子是否表示同一函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝；
(2)y＝，y＝()2；
(3)y＝·，u＝；
(4)y＝，y＝x－3.
[思路导引] 两个函数表示同一函数的关键条件是定义域相同，对应关系一致．
[解] (1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．
(2)y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝()2不是同一函数．
(3)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，u＝的定义域为{v|－1≤v≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与u＝是同一函数．
(4)∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝与y＝x－3不是同一函数．
判断两个函数为同一函数的方法
判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
[针对训练]
1．与函数y＝x－1为同一函数的是( )
A．y＝ B．m＝()2
C．y＝x－x0 D．y＝
[解析] A中的x不能取0；B中的n≥1；C中的x不能取0；D化简以后为y＝t－1.故选D.
[答案] D
2．下列各组函数中是同一函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
[解析] 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数．
[答案] B
题型二求函数值和值域
【典例2】 (1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
①求f(2)、g(2)的值；
②求f[g(3)]的值．
(2)求下列函数的值域：
①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
③y＝；
④y＝2x－.
[思路导引] (1)代入法求值；(2)结合解析式的特征选择适当的方法求值域．
[解] (1)①∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
②g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.
(2)①(观察法)∵x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由x∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)．
③(分离常数法)y＝＝＝2＋，
显然≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
④(换元法)设＝t，
则t≥0，且x＝t2＋1.
∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝22＋.
∵t≥0，∴y≥.
故函数的值域为.
(1)函数求值的方法
①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则．
(2)求函数值域常用的4种方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
[针对训练]
3．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.
[解析] 由f(a)＝＝2，得a＝－1.
[答案] －1
4．求下列函数的值域：
(1)y＝－1；
(2)y＝；
(3)y＝x＋.
[解] (1)(观察法)
∵≥0，∴－1≥－1.
∴y＝－1的值域为[－1，＋∞)．
(2)(分离常数法)
y＝＝
＝＝－.
∵≠0，∴y≠.
∴函数的值域为.
(3)(换元法)
设u＝，则x＝(u≥0)，
∴y＝＋u＝(u≥0)
由u≥0知(u＋1)2≥1，∴y≥.
∴函数y＝x＋的值域为.
题型三求抽象函数的定义域
【典例3】 已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域．
[思路导引] 定义域是x的取值范围，f(x)中的x与f(2x＋1)中的2x＋1是相对应的．
[解] 因为函数f(x)的定义域为[1,3]，即x∈[1,3]，函数f(2x＋1)中2x＋1的范围与函数f(x)中x的范围相同，所以2x＋1∈[1,3]，所以x∈[0,1]，即函数f(2x＋1)的定义域是[0,1]．
[变式] (1)若将本例条件改为“函数f(2x＋1)的定义域为[1,3]”，求函数f(x)的定义域．
(2)若将本例条件改为“函数f(1－x)的定义域为[1,3]”，其他不变，如何求解？
[解] (1)因为x∈[1,3]，所以2x＋1∈[3,7]，即函数f(x)的定义域是[3,7]．
(2)因为函数f(1－x)的定义域为[1,3]，
所以x∈[1,3]，所以1－x∈[－2,0]，
所以函数f(x)的定义域为[－2,0]．
由2x＋1∈[－2,0]，得x∈，
所以f(2x＋1)的定义域为.
两类抽象函数的定义域的求法
(1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f[g(x)]的定义域．
(2)已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域：若f[g(x)]的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域．
[针对训练]
5．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f的定义域为________．
[解析] 由得0≤x≤，所以函数f(2x)＋f的定义域为.
[答案]
6．若函数f(x2－1)的定义域为[－3，－1]，则f(x)的定义域为________．
[解析] 由x∈[－3，－1]，得x2－1∈[0,8]，所以f(x)的定义域为[0,8]．
[答案] [0,8]
课堂归纳小结
1．对同一函数的概念的理解
(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定
是同一函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．
2．求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、分离常数法、换元法.
1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(m)＝
[解析] A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
[答案] D
2．设f(x)＝，则＝( )
A．1 B．－1 C. D．－
[解析] ＝＝＝×＝－1.
[答案] B
3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
[解析] y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
[答案] B
4．已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
[解析] 由f(x)的定义域是[0,2]知，
解得0≤x<1，所以g(x)＝的定义域为[0,1)．
[答案] B
5．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
[解析] ∵x∈{1,2,3,4,5}
∴f(x)＝2x－3∈{－1,1,3,5,7}．
∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
[答案] {－1,1,3,5,7}
课后作业(十六)
复习巩固
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x＋，则f(2)＋f(－2)的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
[解析] f(2)＋f(－2)＝2＋－2－＝0.
[答案] B
2．下列函数，值域为[0，＋∞)的是( )
A．y＝x＋1(x>－1) B．y＝x2
C．y＝(x>0) D．y＝
[解析] y＝x＋1(x>－1)的值域为(0，＋∞)；y＝x2的值域为[0，＋∞)；y＝(x>0)的值域为(0，＋∞)；y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故选B.
[答案] B
3．下列函数与函数y＝x是同一函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝
C．y＝ D．y＝
[解析] 选项A和选项C中，函数的值域都是[0，＋∞)；选项D中，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)；选项B中函数的定义域和值域都和函数y＝x相同，对应关系也等价，因此选B.
[答案] B
4．已知函数f(x)的定义域为[－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为( )
A．[－1,2) B．[0,2)
C．[0,3) D．[－2,1)
[解析] ∵f(x)的定义域为[－1,2)，
∴－1≤x－1<2，得0≤x<3，
∴f(x－1)的定义域为[0,3)．
[答案] C
5．函数y＝的值域是( )
A．(－∞，5) B．(5，＋∞)
C．(－∞，5)∪(5，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
[解析] ∵y＝＝＝5＋，且≠0，∴y≠5，即函数的值域为(－∞，5)∪(5，＋∞)．
[答案] C
二、填空题
6．设函数f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，则实数a＝________.
[解析] 由f(a)＝2，得a2－2a－1＝2，解得a＝－1或a＝3.
[答案] －1或3
7．函数y＝的定义域是A，函数y＝的值域是B，则A∩B＝__________________(用区间表示)．
[解析] 要使函数式y＝有意义，只需x≠2，即A＝{x|x≠2}；函数y＝＝≥0，即B＝{y|y≥0}，则A∩B＝{x|0≤x<2或x>2}．
[答案] [0,2)∪(2，＋∞)
8．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(2x－1)的定义域是________．
[解析] 由题意知即
∴0[答案] (0,1)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋x－1.
(1)求f(2)，f，f(a＋1)；
(2)若f(x)＝5，求x.
[解] (1)f(2)＝22＋2－1＝5，
f＝＋－1＝，
f(a＋1)＝(a＋1)2＋(a＋1)－1＝a2＋3a＋1.
(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3.
10．求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
(3)y＝；
(4)y＝x－.
[解] (1)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴(2x＋1)∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示，
当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.
∴所求函数的值域为[2,11)．
(3)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝－＝－5－，所以函数的值域为{y|y≠－5}．
(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝2－，又t≥0，故y≥－，所以函数的值域为{y|y≥－}．
综合运用
11．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
[解析] 由于x∈R，所以x2＋1≥1,0<≤1，即0[答案] B
12．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝ D．y＝|x|
[解析] 对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．对于C选项，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立．对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．
[答案] A
13．若函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，则函数f(1－3x)的定义域为________．
[解] 解法一(过渡搭桥)：因为f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x<1，所以－1≤2x－1<1.所以f(x)的定义域为[－1,1)．所以－1≤1－3x<1，解得0解法二(整体求解)：由于函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x<1，故－1≤2x－1<1.由于函数f(2x－1)与f(1－3x)中，2x－1与1－3x整体范围一致，故－1≤1－3x<1，解得0[答案]
14．若函数y＝的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是________．
[解析] 函数y＝的值域为[0，＋∞)，则函数f(x)＝ax2＋2ax＋3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.则，解得a≥3.所以a的取值范围是[3，＋∞)．
[答案] [3，＋∞)
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值．
(2)求证：f(x)＋f是定值．
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2019)＋f的值．
[解] (1)因为f(x)＝，
所以f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f＝＋
＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，
所以f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，…，f(2019)＋f＝1.
所以f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2019)＋f＝2018.
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(共34张PPT)
第1课时 函数的表示法
1．了解函数的三种表示法及各自的优缺点．
2．掌握求函数解析式的常见方法．
3．尝试作图并从图象上获取有用的信息．
温馨提示：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．
1．①如图是我国人口出生率变化曲线：
②下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
(1)实例①中的图能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，自变量是什么？
(2)实例②中的表格能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，定义域是什么？值域是什么？
(3)实例中的函数关系能否用解析式表示？
[答案] (1)能．表示出生率是年份的函数，其中年份为自变量
(2)能．表示浓度是距离的函数，其中，定义域为{50,100,200,300,500}，值域为{0.678,0.398,0.121,0.05,0.01}
(3)不能．并不是所有的函数都有解析式
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )
(3)函数f(x)＝2x＋1可以用图象法表示．( )
(4)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
题型一函数的表示法
【典例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[思路导引] 把自变量与函数值的对应关系分别用表格、图象和数学表达式加以刻画．
[解] ①列表法
x(台) 1 2 3 4 5
y(元) 3000 6000 9000 12000 15000
x(台) 6 7 8 9 10
y(元) 18000 21000 24000 27000 30000
②图象法：如图所示．
③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．
理解函数的表示法的3个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
1．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
则f[g(1)]的值为________；当g[f(x)]＝2时，x＝________.
[解析] 由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，
∴x＝1.
[答案] 1 1
题型二函数的图象
【典例2】 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝，x∈[2，＋∞)；
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[思路导引] 通过“列表→描点→连线”作出函数图象，借助图象求出函数值域．
[解] (1)列表：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．
(2)列表：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．
描点法作函数图象的3个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
[针对训练]
2．作出下列各函数的图象：
(1)y＝1－x，x∈Z.
(2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3.
[解] (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上，又x∈Z，从而y∈Z，因此y＝1－x(x∈Z)的图象是直线y＝1－x上一些孤立的点，如图1所示．
图1 图2
(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段，如图2所示.
题型三函数解析式的求法
【典例3】 (1)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；
(2)已知函数f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式．
[思路导引] 求函数解析式，就是寻找函数三要素中的对应关系，即在已知自变量和函数值的条件下求对应关系的表达式．
[解] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝1，∴c＝1.
∴f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴∴
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)解法一：∵f(＋1)＝x＋2＋1＝(＋1)2，
∴f(x)＝x2.
又＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)．
解法二：令t＝＋1，则x＝(t－1)2.
由于x≥0，所以t≥1.
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，
所以f(x)＝x2(x≥1)．
(3)∵2f(x)＋f＝3x，①
∴将x用替换，
得2f＋f(x)＝，②
联立①②得
解得f(x)＝2x－(x≠0)，
即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)．
[变式] (1)若将本例(2)中条件“f(＋1)＝x＋2＋1”变为“f＝－1”，则f(x)的解析式是什么？
(2)若将本例(3)中条件“2f(x)＋f＝3x”变为
“f(x)－2f(－x)＝9x＋2”，则f(x)的解析式是什么？
[解] (1)f＝2－2，
所以f(x)＝x2－2x.
因为≠0，所以＋1≠1，所以f(x)＝x2－2x(x≠1)．
(2)由条件知，f(－x)－2f(x)＝－9x＋2，
则
解得f(x)＝3x－2.
求函数解析式的3种常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．如典例3(1)．
(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)．如典例3(2)．
(3)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．如典例3(3)．
[针对训练]
3．已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式．
[解] (待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f[f(x)]＝4x＋8，
∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
4．已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．
[解] 解法一(配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
解法二(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
即f(x)＝x2－5x＋6.
课堂归纳小结
1．函数三种表示法的优缺点
2.描点法画函数图象的步骤
(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．
3．求函数解析式常用的方法
(1)特定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法.
1．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
[解析] 设y＝，当x＝2时，y＝1，所以1＝，得k＝2.故y＝.
[答案] C
2．由下表给出函数y＝f(x)，则f[f(1)]等于( )
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A.1 B．2 C．4 D．5
[解析] 由题意得f(1)＝4，所以f[f(1)]＝f(4)＝2.
[答案] B
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
[解析] 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
[答案] C
4．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为__________________．
[解析] (换元法)令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R，
原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，①
以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，②
由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋，∴f(x)＝2x＋.
[答案] f(x)＝2x＋
5．已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值．
[解] 由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋b.
∴ax＋1＋b＝3x＋2，∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1.
课后作业(十七)
复习巩固
一、选择题
1．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
[解析] 由·y＝100，得2xy＝100，∴y＝(x>0)．
[答案] C
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f[g(2)]的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[解析] 由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f[g(2)]＝f(1)＝2.
[答案] B
3．如果f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
[解析] 令＝t，则x＝，代入f＝，则有f(t)＝＝，故选B.
[答案] B
4．若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝( )
A．3x＋2 B．3x－2
C．2x＋3 D．2x－3
[解析] 设f(x)＝ax＋b，由题设有
解得所以选B.
[答案] B
5．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f等于( )
A．1 B．3 C．15 D．30
[解析] 解法一：令1－2x＝t，则x＝(t≠1)，∴f(t)＝－1(t≠1)，即f(x)＝－1(x≠1)，
∴f＝16－1＝15.
解法二：令1－2x＝，得x＝，
∴f＝＝15.
[答案] C
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．
[解析] 将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
[答案] 5
7．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.
[解析] 因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝.
[答案]
8．若2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，则f(2)＝________.
[解析] 令x＝2得2f(2)＋f＝，令x＝得2f＋f(2)＝，消去f得f(2)＝.
[答案]
三、解答题
9．作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)．
[解] (1)用描点法可以作出函数的图象如图(1)．
由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为.
(2)用描点法可以作出函数的图象如图(2)，由图可知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
10．求下列函数的解析式：
(1)已知函数f(x－1)＝x2－4x，求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的解析式．
[解] (1)解法一：已知f(x－1)＝x2－4x，令x－1＝t，则x＝t＋1，代入上式得，f(t)＝(t＋1)2－4(t＋1)＝t2－2t－3，即f(x)＝x2－2x－3(x∈R)．
解法二：∵f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3，∴f(x)＝x2－2x－3(x∈R)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则依题意代入，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2x2－4x，即2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
利用等式两边对应项的系数相等，可得2a＝2,2b＝－4,2a＋2c＝0，
解得，a＝1，b＝－2，c＝－1，
∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－1.
综合运用
11．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．
[答案] B
12．从甲城市到乙城市t min的电话费由函数g(t)＝1.06×(0.75[t]＋1)给出，其中t>0，[t]为t的整数部分，则从甲城市到乙城市5.5 min的电话费为( )
A．5.04元 B．5.56元
C．5.84元 D．5.38元
[解析] g(5.5)＝1.06(0.75×5＋1)＝5.035≈5.04.
[答案] A
13．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g[f(x)]＝x2－x＋1，则a的值为( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1或－2
[解析] 因为g(x)＝(x2＋3)，所以g[f(x)]＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故选B.
[答案] B
14．已知x≠0，函数f(x)满足f＝x2＋，则f(x)＝________.
[解析] f＝x2＋＝2＋2，所以
f(x)＝x2＋2.
[答案] x2＋2
15．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值．
[解] 因为f(2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.
代入①得a＝.
所以f(x)＝＝.
所以f[f(－3)]＝f＝f(6)＝＝.
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(共44张PPT)
第2课时 分段函数
1．会用解析法及图象法表示分段函数．
2．给出分段函数，能研究有关性质．
3．对生活中的一些实例，会用分段函数表示．
1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．
(3)分段函数的图象要分段来画．
1．某市空调公共汽车的标价按下列规则判定：
①5千米以内，票价2元；
②5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．
已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．
(1)从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？
(2)函数的表达式是什么？
(3)x与y之间有何特点？
[答案] (1)有函数关系
(2)y＝
(3)x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．( )
(2)函数f(x)＝是分段函数．( )
(3)分段函数的图象不一定是连续的．( )
(4)y＝|x－1|与y＝是同一函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
题型一分段函数求值
【典例1】 已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
[思路导引] 根据自变量取值范围代入对应解析式求值．
[解] (1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2，
∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，
∴a＝±∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，
∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．
(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．
[针对训练]
1．设函数f(x)＝则f[f(3)]＝( )
A. B．3 C. D.
[解析] ∵f(3)＝<1，
∴f[f(3)]＝2＋1＝.
[答案] D
2．已知函数f(x)＝若f(x)＝－3，则x＝________.
[解析] 若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.
若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，
解得x＝2或x＝－2(舍去)．
综上可得，所求x的值为－4或2.
[答案] －4或2
题型二分段函数的图象
【典例2】 (1)作出下列分段函数的图象：
①y＝ ②y＝|x＋1|.
(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，求：
①y与x之间的函数关系式；
②画出y＝f(x)的图象．
[思路导引] (1)利用描点法分段作图；(2)先依据x的变化范围求出关系式．
[解] (1)①函数图象如图1所示．
②y＝|x＋1|＝，其图象如图2所示．
(2)①y＝
②
分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
[针对训练]
3.已知函数f(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式并写出f(x)的值域．
[解] 由于f(x)的图象由两条线段组成，
因此可设f(x)＝
将点(－1,0)，(0,1)代入f(x)＝ax＋b，
点(1，－1)代入f(x)＝cx可得
f(x)＝
由图象可得f(x)的值域为(－1,1).
题型三分段函数的综合问题
【典例3】 已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．
[思路导引] 去掉绝对值符号，化简f(x)，再分段求解．
[解] 若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，
f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；
若－10，
f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；
若x>3，则x－3>0，x＋1>0，
f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.
∴f(x)＝
(1)－1∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．
(2)f(x)>0，即①
或②
或③
解①得x≤－1，解②得－1所以f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪?＝(－∞，1)．
(3)f(x)的图象如图：
由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无交点．
[变式] 若a∈R，试探究方程f(x)＝a解的个数．
[解] 由例3(3)知y＝f(x)的图象，作出直线y＝a，可以看出：当a＝±4时，y＝a与y＝f(x)有无数个交点；当－44时，y＝a与y＝f(x)没有交点．
综上可知：
当a＝±4时，方程f(x)＝a有无数个解．
当－4当a<－4或a>4时，方程f(x)＝a无解．
研究分段函数要牢牢抓住的2个要点
(1)分段研究．在每一段上研究函数．
(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体．
[针对训练]
4．已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)若f(x)≥，求x的取值范围；
(3)求f(x)的值域．
[解] (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由于f＝，结合此函数图象可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪.
(3)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1].
题型四分段函数在实际问题中的应用
【典例4】 某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？
(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？
[思路导引] 利用待定系数法求出x在每一段上的解析式，再分段研究．
[解] (1)设线段AD的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
将点A(2,20)，D(0,10)代入，
得，解得，
∴线段AD的解析式为y＝5x＋10(0≤x≤2)．
∵双曲线y＝经过B(12,20)，
∴20＝，解得k＝240，
∴BC段的解析式为y＝(12≤x≤24)．
综上所述，y与x的函数解析式为：
y＝.
(2)当x＝18时，y＝＝，由于<15，
∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长．
(3)令y＝15，当0≤x≤2时，解5x＋10＝15，得x＝1，
当12≤x≤24时，解＝15，得x＝16.
由于16－1＝15(小时)，
∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．
对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．
[针对训练]
5．A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．
[解] (1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，则有s＝50t，到达B地所需时间为＝3(小时)．
(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.
(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，从B地到A地用时＝2.5(小时)．
综上可得，该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系式为
s＝
函数图象如图所示．
课堂归纳小结
1．分段函数
(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样．
(2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是
作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．
2．与分段函数有关的实际问题
要理解题意，合理引进变量，确定自变量分段的“段点”，注意在自变量分段的端点处要不重不漏.
1．已知f(x)＝则f[f(－7)]的值为( )
A．100 B．10 C．－10 D．－100
[解析] ∵f(－7)＝10，∴f[f(－7)]＝f(10)＝10×10＝100.
[答案] A
2．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( )
[解析] ∵f(x)＝分别画出y＝x2(取x≥0部分)及y＝－x2(取x<0部分)即可．
[答案] D
3．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0,2]∪{3}
C．[0，＋∞) D．[0,3]
[解析] 当0≤x≤1时，0≤f(x)≤2，当1f(x)＝2，当x≥2时，f(x)＝3.故0≤f(x)≤2或f(x)＝3，故选B.
[答案] B
4．下图中的图象所表示的函数的解析式为( )
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
[解析] 可将原点代入，排除选项A，C；再将点代入，排除D项．
[答案] B
5．设函数f(x)＝若f[f(a)]＝2，则a＝________.
[解析] 当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2>0，f[f(a)]<0，显然不成立；当a>0时，f(a)＝－a2，f[f(a)]＝a4－2a2＋2＝2，则a＝±或a＝0，故a＝.
[答案]
课后作业(十八)
复习巩固
一、选择题
1．已知f(x)＝则f(－2)＝( )
A．2 B．4 C．－2 D．2或4
[解析] f(－2)＝－(－2)＝2，选A.
[答案] A
2．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
[解析] f(x)＝|x－1|＝选B.
[答案] B
3．已知函数y＝使函数值为5的x的值是( )
A．－2 B．2或－
C．2或－2 D．2或－2或－
[解析] 当x≤0时，令x2＋1＝5，解得x＝－2；当x>0时，令－2x＝5，得x＝－，不合题意，舍去．
[答案] A
4.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于( )
A．－ B.
C．－ D.
[解析] 由图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝
∴f＝－1＝－，
∴f＝f＝－＋1＝.
[答案] B
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
[解析] 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10，令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
[答案] A
二、填空题
6．已知函数f(x)＝，则不等式xf(x－1)≤1的解集为________．
[解析] 原不等式转化为或解得－1≤x≤1.
[答案] [－1,1]
7．函数f(x)＝的值域是________．
[解析] 当0≤x≤1时，0≤f(x)≤1；
当1所以0≤f(0)≤1，即f(x)的值域为[0,1]．
[答案] [0,1]
8．已知f(x)＝则f(－5)的值等于________．
[解析] f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝2×1＝2.
[答案] 2
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(x)＝，求x的值．
[解] (1)因为f＝－2＝－，
所以f＝f＝＝.
(2)f(x)＝，若|x|≤1，则|x－1|－2＝，
得x＝或x＝－.
因为|x|≤1，所以x的值不存在；
若|x|>1，则＝，得x＝±，符合|x|>1.
所以若f(x)＝，x的值为±.
10．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
[解] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
综合运用
11．设x∈R，定义符号函数sgnx＝则( )
A．|x|＝x|sgnx| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgnx D．|x|＝xsgnx
[解析] 由已知得，xsgnx＝
而|x|＝
所以|x|＝xsgnx，故选D.
[答案] D
12.如图，抛物线y1＝ax2与直线y2＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2,4)，B(1,1)．记f(x)为max{y1，y2}，则f(x)的解析式为( )
[解析] 由y1＝ax2过点B(1,1)得a＝1，∴y＝x2.
由y2＝bx＋c过点A(－2,4)，B(1,1)，有
解得∴y2＝－x＋2，结合图象可得．
f(x)＝，选A.
[答案] A
13．已知f(x)＝则f＋f等于( )
A．－2 B．4 C．2 D．－4
[解析] ∵f(x)＝
∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，
∴f＋f＝＋＝4.
[答案] B
14．设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．
[解析] 当a≥0时，f(a)＝a－1>1，
解得a>4，符合a≥0；
当a<0时，f(a)＝>1，无解．
[答案] (4，＋∞)
15．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
[解析] 由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．
[答案] (－∞，1]
16．成都市出租车的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km)．
(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0(2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)
[解] (1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为：
f(x)＝
＝
(2)只乘一辆车的车费为：
f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；
换乘2辆车的车费为：
2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．
∵40.3>38.8，
∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．
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