(共36张PPT)
第1课时 函数的单调性
1．理解函数单调区间、单调性等概念．
2．会划分函数的单调区间，判断单调性．
3．会用定义证明函数的单调性．
1．函数的单调性
温馨提示：定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1
(3)属于同一个单调区间．
2．函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质．
(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调．如f(x)＝x2等．
(3)并非所有的函数都具有单调性，如f(x)＝
，它的定义域是N，但不具有单调性．
1．观察下列函数图象：
(1)从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？
(2)甲、乙图中，若x1(3)丙图中，若x1[答案] (1)甲：自变量x增大时，函数f(x)也随之变大
乙：自变量x增大时，函数f(x)随之减小
丙：在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小；在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大
(2)甲：∵x1乙：∵x1f(x2)
(3)[0，＋∞)．?x1，x2∈[0，＋∞)，若x12．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2在R上是增函数．( )
(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“?x1，x2”改为“?x1，x2”．( )
(4)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，则f(x)在[3,4]上也为增函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
题型一函数单调性的判断与证明
【典例1】 证明函数f(x)＝x＋在(－∞，－2)上是增函数．
[思路导引] 设出?x1[证明] ?x1，x2∈(－∞，－2)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝.
∵x14，
x1x2－4>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴函数f(x)＝x＋在(－∞，－2)上是增函数．
证明或判断函数单调性的方法步骤
[针对训练]
1．求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
[证明] ?x1，x2∈(－∞，0)，且x1∵x1∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
?x1，x2∈(0，＋∞)，且x1有f(x1)－f(x2)＝.
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数.
题型二求函数的单调区间
【典例2】 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝|x2－3x＋2|.
[思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2)作出函数y＝x2－3x＋2的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，结合图象写出f(x)的单调区间．
[解] (1)函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
?x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
(2)f(x)＝|x2－3x＋2|
＝
作出函数的图象，如图所示．
根据图象，可知，
单调递增区间是和[2，＋∞)；
单调递减区间是(－∞，1]和.
(1)求函数单调区间的2种方法
①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．
(2)求函数单调区间的注意点
一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．
[针对训练]
2．函数f(x)＝＋2的单调递减区间是________________．
[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x10，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数；
当00，
∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
[答案] (－∞，0)，(0，＋∞)
3．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．
[解] f(x)＝
的图象如图所示．
由图象可知：函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞).
题型三函数单调性的应用
【典例3】 (1)已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在[4，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
(2)已知y＝f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且f(1－a)[思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定，与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系．
[解] (1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的增区间是[1－a，＋∞)．
又∵已知f(x)在[4，＋∞)上是增函数，
∴1－a≤4，即a≥－3.
∴所求实数a的取值范围是[－3，＋∞)．
(2)∵f(x)在R上是减函数，且f(1－a)∴1－a>2a－1，得a<，∴a的取值范围是.
[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？
(2)若本例(2)中“定义域(－∞，＋∞)”改为“定义域(－1,1)”，其他条件不变，如何求解？
[解] (1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的递增区间为[1－a，＋∞)．
∴1－a＝4，得a＝－3.
(2)由题意可知
解得0又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)∴1－a>2a－1，即a<.②
由①②可知，0
函数单调性的3个应用要点
(1)二次函数的单调性由于只与对称轴及开口方向有关，因此处理起来较容易，只需结合图象即可获解．
(2)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围．
(3)需注意若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[针对训练]
4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)[解析] ∵f(x)在(－∞，＋∞)为减函数，且a2＋1>a2，∴f(a2＋1)[答案] D
5．函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是________．
[解析] 二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1,2]上单调，则m≤1或m≥2.
[答案] {m|m≤1或m≥2}
课堂归纳小结
1.若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减，如函数y＝.
2.对增函数的判断，当x10或>0.
对减函数的判断，当x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0.
3.熟悉一些常见函数的单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.
4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③单调递减(f(x)≠0).
5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较.
1．如图所示，函数y＝f(x)在下列哪个区间上是增函数( )
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
[解析] 观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数．
[答案] C
2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )
A．y＝x2－2 B．y＝
C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2
[解析] 选项A，B在(－∞，0)上为减函数，选项D在(－2，0]上为减函数，只有选项C满足在(－∞，0]内为增函数．故选C.
[答案] C
3．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由一次函数的性质得2a－1<0，即a<.故选D.
[答案] D
4．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)[解析] 因为f(x)在区间[－1,1]上为增函数，且f(x)[答案]
5．已知函数f(x)＝，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明．
[解] f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：任取x1>x2>0，
f(x1)－f(x2)＝－＝，
由x1>x2>0知x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2>0，
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
课后作业(十九)
复习巩固
一、选择题
1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性
[解析] 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．
[答案] D
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
[解析] 因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.
[答案] A
3．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1A．一定是增函数 B．一定是减函数
C．可能是常数函数 D．单调性不能确定
[解析] 由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．
[答案] D
4．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调递减区间是( )
A. B．[－1，＋∞)
C. D．(－∞，＋∞)
[解析] y＝x2＋x＋1＝2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－时单调递减．
[答案] C
5．若f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是( )
A．f(x)>f(0) B．f(x2)>f(0)
C．f(3a＋1)[解析] ∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a.
当a＝1时，f(a2＋1)＝f(2a)；
当a≠1时，f(a2＋1)>f(2a)．故选D.
[答案] D
二、填空题
6．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________.
[解析] 由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以＝－2，m＝－8，则f(1)＝13.
[答案] 13
7．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)是单调函数，则a的取值范围是________．
[解析] 因为函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－a]，所以－a≥－1，解得a≤1.
[答案] (－∞，1]
8．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2)[解析] ∵f(x)是定义在R上的增函数，
又∵f(x－2)即x的取值范围是.
[答案]
三、解答题
9．画出下列函数的图象，并写出它们的值域和单调区间．
(1)y＝|x＋1|；
(2)y＝(x＋3)|x－1|.
[解] (1)∵y＝|x＋1|，∴y＝
其图象如下图所示：
由图象可得函数的值域为[0，＋∞)．(－∞，－1]为函数的单调递减区间；[－1，＋∞)为函数的单调递增区间．
(2)f(x)＝
即f(x)＝
图象如图所示．
结合图象可知，f(x)在(－∞，－1)上是单调增函数，在[－1,1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上是单调增函数．函数的值域是R.
10．已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，试比较
f与f(a2－a＋1)的大小．
[解] ∵a2－a＋1＝2＋≥，
∴与a2－a＋1都在区间[0，＋∞)内．
又∵y＝f(x)在区间[0，＋∞)上是减函数，
∴f≥f(a2－a＋1).
综合运用
11．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A．a>－ B．a≥－
C．－≤a<0 D．－≤a≤0
[解析] 当a＝0时，f(x)＝2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a>0时，由函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上是单调递增；当a<0时，只有－≥4，即a≥－满足函数f(x)在区间(－∞，4)上是单调递增的，综上可知实数a的取值范围是－≤a≤0.
[答案] D
12．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则( )
A．f(－1)C．f(2)[解析] 因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)[答案] B
13．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0,3]
C．(0,2) D．(0,2]
[解析] 依题意得实数a满足
解得0[答案] D
14．设函数f(x)满足：对?x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
[解析] 由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)．
[答案] f(－3)>f(－π)
15．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．
[解析] 由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3)．
∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，
解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为.
[答案]
16．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
[解] 设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
1
(共39张PPT)
第2课时 函数的最大(小)值
1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．
2．会借助单调性求最值．
3．掌握求二次函数在闭区间上的最值．
1．最大值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①?x∈I，都有f(x)≤M；
②?x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．
2．最小值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①?x∈I，都有f(x)≥M；
②?x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．
温馨提示：(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素．
(2)并不是每一个函数都有最值，如函数y＝，既没有最大值，也没有最小值．
(3)最值是函数的整体性质，即在函数的整个定义域内研究其最值．
1．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，试指出此函数的最小值、最大值和相应的x的值．
[答案] f(x)的最小值为－1，此时x＝－2；
f(x)的最大值为2，此时x＝1
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有最大值或最小值．( )
(2)函数的最小值一定比最大值小．( )
(3)函数f(x)＝－x在[2,3)上的最大值为－2，无最小值．( )
(4)函数最大值对应图象中的最高点，且该点只有一个．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
题型一图象法求函数的最大(小)值
【典例1】 (1)已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值；
(2)画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．
[思路导引] 作出函数f(x)的图象，结合图象求解．
[解] (1)作出函数f(x)的图象(如图1)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.
(2)f(x)的图象如图2所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.
图象法求最大(小)值的步骤
[针对训练]
1．利用图象求下列函数的最大值和最小值．
(1)y＝－，x∈[1,3]；
(2)y＝|x＋1|－|x－2|.
[解] (1)作出函数图象如右图所示，该函数的图象既有最高点，也有最低点(1，－2)，所以函数y＝－，x∈[1,3]有最大值－，最小值－2；
(2)y＝|x＋1|－|x－2|
＝
作出函数的图象，由右图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3.
题型二利用单调性求函数的最大(小)值
【典例2】 已知函数f(x)＝x＋.
(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；
(2)求f(x)在[2,4]上的最值．
[解] (1)证明：设?x1，x2∈(1，＋∞)，且x1∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，
又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，
故(x1－x2)·<0，即f(x1)所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．
(2)由(1)可知f(x)在[2,4]上是增函数，
∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．
又f(2)＝2＋＝，f(4)＝4＋＝，
∴f(x)在[2,4]上的最大值为，最小值为.
函数的最值与单调性的关系
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．
(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．
[针对训练]
2．已知函数f(x)＝，x∈[2,5]，判断函数f(x)的单调性，并求函数f(x)的最大值和最小值．
[解] 任取2≤x1则f(x1)＝，f(x2)＝，
f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵2≤x10，x1－1>0，
∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)∴f(x)＝在区间[2,5]上是单调减函数．
f(x)max＝f(2)＝＝2，
f(x)min＝f(5)＝＝.
题型三求二次函数的最大(小)值
【典例3】 (1)已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．
(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
[思路导引] 找出f(x)的对称轴，分析对称轴与给定区间的关系，结合单调性求最值．
[解] (1)函数f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(2)＝－7.
(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
[变式] 本例(2)条件变为，若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．
[解] 在[2,4]内，f(x)≤a恒成立，
即a≥x2－2ax＋2在[2,4]内恒成立，
即a≥f(x)max，x∈[2,4]．
又f(x)max＝
①当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3.
②当a>3时，a≥6－4a，解得a≥，此时有a>3.
综上有实数a的取值范围是[2，＋∞)．
求解二次函数最值问题的顺序
(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图．
(2)在图象上标出定义域的位置．
(3)观察单调性写出最值．
[针对训练]
3．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．4 B．6 C．1 D．2
[解析] 函数f(x)＝x2＋2x＋a的对称轴为x＝－1，在[0,2]上为增函数，所以f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2，f(x)的最大值为f(2)＝8＋a＝6.
[答案] B
4．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
[解析] 如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1[答案] (1,3]
题型四实际应用中的最值
【典例4】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为关于月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
[思路导引] 先将利润表示成关于x的函数，再利用函数的单调性求最值．
[解] (1)月产量为x台，则总成本为(20000＋100x)元，
从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25000，
当x＝300时，f(x)max＝25000；
当x>400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)<60000－100×400＝20000<25000.
∴当x＝300时，f(x)max＝25000.
即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元．
求解函数最大(小)值的实际问题应注意的2点
(1)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．
(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决．
[针对训练]
5．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个．已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？
[解] 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个．
∴y＝(x－40)(1000－10x)
＝－10(x－70)2＋9000≤9000.
故当x＝70时，ymax＝9000.
答：售价为70元时，利润最大为9000元.
课堂归纳小结
1．求函数最大(小)值的常用方法
(1)值域．求出函数f(x)的值域，即可求其最值(注意必须确保存在函数值里的最值)；
(2)单调性法．通过研究函数的单调性来求函数的最值；
(3)特殊函数法．利用特殊函数[如一次函数、二次函数、反比例函数、函数y＝x＋(a>0)]的单调性来求其最值.
2.函数的值域与最大(小)值的区别
(1)函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，即定义域中一定存在一个x0，使f(x0)＝M(最值)．
(2)函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大(小)值，如y＝x在x∈(－1,1)时无最值.
1．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )
A．3,0
B．3,1
C．3，无最小值
D．3，－2
[解析] 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.
[答案] C
2．已知函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最大值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] 作出函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]的图象，如图所示．根据函数图象可知，f(x)的最大值为3.
[答案] D
3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
[解析] B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
[答案] A
4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．
[解析] 设矩形花园的宽为y m，
则＝，
即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．
[答案] 20
5．已知二次函数y＝x2－4x＋5，分别求下列条件下函数的最小值：
(1)x∈[－1,0]；(2)x∈[a，a＋1]．
[解] (1)∵二次函数y＝x2－4x＋5的对称轴为x＝2且开口向上，
∴二次函数在x∈[－1,0]上是单调递减的．
∴ymin＝02－4×0＋5＝5.
(2)当a≥2时，函数在x∈[a，a＋1]上是单调递增的，
ymin＝a2－4a＋5；
当a＋1≤2即a≤1时，函数在[a，a＋1]上是单调递减的，
ymin＝(a＋1)2－4(a＋1)＋5＝a2－2a＋2；
当a<2故函数的最小值为
课后作业(二十)
复习巩固
一、选择题
1．函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如右图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )
A．f(2)，f(－2)
B．f，f(－1)
C．f，f
D．f，f(0)
[解析] 根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x＝－时，有最小值f；当x＝时，有最大值f.
[答案] C
2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( )
A．10,5 B．10,1
C．5,1 D．以上都不对
[解析] 因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.
[答案] B
3．函数y＝(x≠－2)在区间[0,5]上的最大值、最小值分别是( )
A.，0 B.，0
C.， D．最小值为－，无最大值
[解析] 因为函数y＝在区间[0,5]上单调递减，所以当x＝0时，ymax＝，当x＝5时，ymin＝.故选C.
[答案] C
4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
[解析] 由题意知a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
[答案] C
5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
[解析] 令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a<0.
[答案] C
二、填空题
6．函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．
[解析] 因为函数y＝－在[－3，－1]上为增函数，所以ymin＝，ymax＝1，
所以ymax－ymin＝1－＝.
[答案]
7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
[解析] 函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.
故当x＝0时，函数有最小值，
当x＝1时，函数有最大值．
∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，
∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.
[答案] 1
8.如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，则水流喷出的高度h的最大值是________m.
[解析] 由函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．
对于函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，
若x＝1，函数有最大值h(x)max＝－12＋2×1＋＝(m)．
于是水流喷出的最高高度是m.
[答案]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)证明：函数f(x)在上是减函数；
(2)求函数f(x)在[1,5]上的最大值和最小值．
[解] (1)证明：设x1、x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
由于x2>x1>，
所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在区间上是减函数．
(2)由(1)知，函数f(x)在[1,5]上是减函数，
因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
10．求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1,1]上的最小值．
[解] 函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，且函数图象开口向上，如图所示：
①当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，
故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
②当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，
故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
③当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，
故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知f(x)的最小值为
f(x)min＝
综合运用
11．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
[解析] ∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8；x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
[答案] A
12．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
[解析] f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D.
[答案] D
13．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
[解析] 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)
＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
[答案] C
14．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为________．
[解析] 化简函数为
y＝
其图象如图所示，
所以函数的最小值为3.
[答案] 3
15．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调减函数．
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解] (1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x1则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，
所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]
＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2)所以f(x)是R上的单调减函数．
(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.
所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.
1
(共34张PPT)
第1课时 函数奇偶性的概念
1．理解函数奇偶性的定义．
2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．
3．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
函数的奇偶性
温馨提示：(1)奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域(对照函数的单调性是函数的局部性质，以加深理解)．
(2)奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
1．函数f(x)＝x2－1，f(x)＝－，f(x)＝2x的图象分别如图所示：
(1)各个图象有怎样的对称性？
(2)对于以上三个函数，分别计算f(－x)，观察对定义域内的每一个x，f(－x)与f(x)有怎样的关系？
[答案] (1)y＝x2－1的图象关于y轴对称；y＝－和y＝2x的图象关于原点对称
(2)对于f(x)＝x2－1，f(－x)＝x2－1＝f(x)；
对于f(x)＝－，f(－x)＝－＝－f(x)；
对于f(x)＝2x，f(－x)＝－2x＝－f(x)
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数的图象一定与y轴相交．( )
(2)奇函数的图象一定经过原点．( )
(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．( )
(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
题型一函数奇偶性的判断
【典例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[思路导引] 借助奇函数、偶函数的定义判断．
[解] (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的2种方法
(1)定义法
(2)图象法
[针对训练]
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[解] (1)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(4)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
题型二奇函数、偶函数的图象
【典例2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象．
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
[思路导引] 根据奇函数图象特征作出函数图象，再求解．
[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
[变式] 若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间[－5,0]上的图象．
[解] 因为函数f(x)是偶函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于y轴对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数?图象关于原点对称，偶函数?图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．
[针对训练]
2．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
[解] (1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．
(2)观察图象，知f(3)题型三利用函数的奇偶性求值
【典例3】 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)设函数为奇函数，则a＝________.
[思路导引] (1)先由定义域关于原点对称确定a值，再利用偶函数的定义求b；(2)利用奇函数的定义求a值．
[解析] (1)∵函数f(x)在[a－1,2a]上是偶函数，
∴a－1＋2a＝0，得a＝.
又f(－x)＝f(x)，即x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b
对x∈均成立，
∴b＝0.
(2)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
[答案] (1) 0 (2)－1
利用奇偶性求参数的2种类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
[针对训练]
3．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 由f(－x)＝f(x)，得(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，所以m＝2.
[答案] B
4．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________.
[解析] ∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x2＋，
∴f(－1)＝－f(1)＝－＝－2.
[答案] －2
课堂归纳小结
1．一个条件：定义域关于原点对称是函数f(x)是奇(偶)函数的一个必要不充分条件．
2．两个性质：函数为奇函数?它的图象关于原点对称；函数为偶函数?它的图象关于y轴对称．
3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．
4．熟悉常见函数的奇偶性：一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．y＝(k≠0)为奇函数．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数.
1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
[解析] 由－1＋a＝0，得a＝1.选C.
[答案] C
2．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x B．y＝2x2－3
C．y＝ D．y＝x2，x∈[0,1]
[解析] A项中的函数为奇函数；C、D选项中的函数定义域不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数；B项中的函数为偶函数．故选B.
[答案] B
3．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
[解析] 函数f(x)＝－x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
[答案] C
4．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
[解析] 由f(x)＝(x＋a)(x－4)得f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，若f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.
[答案] 4
5．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3,3]，且它们在[0,3]上的图象如图所示，求不等式<0的解集．
[解] 由题知，y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数．
根据函数图象的对称性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，
0]上的图象如图所示．由图可知f(x)>0?00?1
<0?或
可求得其解集是{x|－2课后作业(二十一)
复习巩固
一、选择题
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝－|x| B．y＝2－x
C．y＝ D．y＝－x2＋8
[解析] A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数．
[答案] C
2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
[解析] 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.
[答案] B
3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
[解析] F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数．
[答案] B
4．对于定义在R上的函数f(x)，有下面四个结论：
①若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；
②若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；
③若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；
④若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ①正确；②错误，仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”；③正确；④错误，反例：f(x)＝0满足条件，该函数既是奇函数，又是偶函数．
[答案] B
5．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
[解析] ∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.
∴g(x)＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
[答案] A
二、填空题
6．奇函数f(x)的定义域是(t,2t＋3)，则t＝________.
[解析] 由奇函数f(x)的定义域关于原点对称，知t＋2t＋3＝0，得t＝－1.
[答案] －1
7．函数f(x)＝x3＋ax，若f(1)＝3，则f(－1)的值为________．
[解析] ∵x∈R，且f(－x)＝－x3－ax＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
[答案] －3
8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
[解析] 由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.
[答案] －5
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝x2＋|x＋a|＋1.
[解] (1)由x＋1≠0，得f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以函数f(x)＝不具有奇偶性．
(2)∴－1≤x≤1且x≠0，
∴定义域为{x|－1≤x≤1，且x≠0}．
∴f(x)＝，
∴f(－x)＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)f(x)的定义域为R，
f(－x)＝x2＋|x－a|＋1.
又f(x)＝x2＋|x＋a|＋1，
当a＝0时，f(－x)＝f(x)，此时f(x)为偶函数；
当a≠0时，|x－a|≠|x＋a|，此时f(x)不具有奇偶性．
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
[解] (1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．
综合运用
11．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．|f(x)|－g(x)是奇函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．f(x)＋|g(x)|是偶函数
[解析] ∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
对于选项A，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠±(|f(x)|－g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项B，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|，故函数为偶函数；
对于选项C，|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠±(|f(x)|＋g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项D，f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|，故函数为偶函数．
综上，选D.
[答案] D
12．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[解析] 由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3.
[答案] B
13．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于________．
[解析] 函数f(x)的定义域为{x.
又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.
[答案]
14．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
[解析] 因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.
[答案] 5
15．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
[解] (1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)因为f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，
所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.
1
(共26张PPT)
第2课时 函数奇偶性的应用
1．掌握用奇偶性求解析式的方法．
2．理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式．
3．理解函数的奇偶性的推广——对称性．
奇函数、偶函数的性质
(1)若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)＝0.
(2)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致．
(3)若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．
1．观察下图，思考以下问题：
(1)奇函数、偶函数在原点处一定有定义吗？若有定义，f(0)的值能确定吗？
(2)函数的奇偶性如何影响函数的单调性？
[答案] (1)不一定．奇函数在原点处有定义，则f(0)＝0；偶函数在原点处有定义，f(0)的值不确定
(2)奇函数在对称区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数又是偶函数．( )
(2)在公共的定义域内，若f(x)为奇函数，g(x)为奇函数，则f(x)·g(x)为奇函数．( )
(3)偶函数f(x)在x＝0时有意义，则f(0)＝0.( )
(4)f(x)是定义在R上的奇函数的必要不充分条件是
f(0)＝0.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
题型一利用奇偶性求函数的解析式
【典例1】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求：
(1)f(0)；
(2)当x<0时，f(x)的解析式；
(3)f(x)在R上的解析式．
[思路导引] 借助奇函数的定义，利用x>0时的解析式，确定x<0，即－x>0时的解析式．
[解] (1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.
(3)函数f(x)在R上的解析式为
f(x)＝
[变式] 若将本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式．
[解] 当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)．
∴f(x)＝－2x2－3x＋1，x<0.
利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
[针对训练]
1．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．
[解] 当x<0，－x>0，
∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2x＋1.
又f(x)(x∈R)是奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
∴所求函数的解析式为f(x)＝
题型二函数的单调性与奇偶性
【典例2】 (1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f(－5)与f(3)的大小；
(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)[思路导引] (1)利用函数奇偶性，得f(－5)＝f(5)，将自变量的取值转化到同一单调区间内来比较大小；(2)利用偶数在对称区间上单调性相反，将问题转化为自变量取值与原点距离的大小问题求解．
[解] (1)因为f(x)是偶函数，所以f(－5)＝f(5)，
因为f(x)在[2,6]上是减函数，
所以f(5)(2)因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
所以不等式f(1－m)f(|1－m|)又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数，
所以解得－1≤m<.
即m的取值范围是.
奇偶性与单调性综合问题的2种类型
(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上
①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
(2)解不等式
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解．
[针对训练]
2．如果奇函数f(x)的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是( )
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
[解析] f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，选C.
[答案] C
3．奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
[解] 原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)．
因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)因为f(x)是减函数，所以m－1>2m－3，
所以m<2.
又f(x)的定义域为(－1,1)，
所以－1所以0综上得1
课堂归纳小结
1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称．
2．两个常用结论：
(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.
3.具有奇偶性的函数的单调性的特点
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
4．分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x与－x的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，最后综合得出的定义域内总有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，从而判定其奇偶性，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．另外，也可以用图象法来判断.
1．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1
[解析] 设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴f(x)＝－x－1(x<0)．
[答案] B
2．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单凋递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)>f(3)>f(－2)
B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π)
D．f(3)>f(－π)>f(－2)
[解析] ∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，
∴f(π)>f(3)即f(－π)>f(3)>f(－2)．
[答案] A
3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
[解析] 由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)[答案] A
4．若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有( )
A．最小值6 B．最小值－6
C．最大值－6 D．最大值6
[解析] 因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.
[答案] C
5．函数f(x)＝x3＋＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．
[解析] ∵f(a)＝2，∴a3＋＋1＝2，
a3＋＝1.∴f(－a)＝(－a)3＋＋1＝－(a3＋)＋1＝－1＋1＝0.
[答案] 0
课内拓展 课外探究
一、抽象函数的奇偶性与对称性
我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于原点或y轴对称的问题．那么，我们能否把这种对称性进行推广呢？
1．函数图象关于直线x＝a对称的问题
【典例1】 当函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？
[解] 如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a－x)＝f(a＋x)；
反之，若对定义域内任一值x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则可证明其图象关于直线x＝a对称．
证明：设函数y＝f(x)的图象上任一点为P(x，y)，则它关于直线x＝a的对称点为P′(2a－x，y)．因为f(a－x)＝f(a＋x)，所以f(2a－x)＝f[a＋(a－x)]＝f[a－(a－x)]＝f(x)．
这说明点P′(2a－x，y)也在函数y＝f(x)的图象上，则函数图象关于直线x＝a对称，
由此得出：函数y＝f(x)对定义域内任一值x都有f(a－x)＝f(a＋x)?y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
若改变在直线x＝a两边取值的情况会得到如下结论：
f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴
f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a
f(x)＝f(a－x) 直线x＝
f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝
2.函数图象关于点(a,0)对称的问题
【典例2】 当函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称时，又会满足怎样的条件呢？
[解] 如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a－x)＝－f(a＋x)；
反之，若对定义域内任一值x都有f(a－x)＝－f(a＋x)，则可证明其图象关于点(a,0)对称．
证明：设函数y＝f(x)图象上任一点为P(x，y)，则它关于点(a,0)的对称点为P′(2a－x，－y)．因为f(a－x)＝－f(a＋x)，所以f(2a－x)＝f[a＋(a－x)]＝－f[a－(a－x)]＝－f(x)＝－y.
这说明点P′(2a－x，－y)也在函数y＝f(x)的图象上，则函数图象关于点(a,0)对称．
由此得出：函数y＝f(x)对定义域内任一值x都有f(a－x)＝－f(a＋x)?y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称．
若改变在直线x＝a两边取值的情况会得到如下结论：
f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心
f(a－x)＝－f(a＋x) 点(a,0)
f(x)＝－f(a－x) 点
f(a＋x)＝－f(b－x) 点
二、抽象函数的奇偶性与单调性
抽象函数涉及的问题有如下几类：
一是单调性，由于没有具体的函数解析式，研究抽象函数的单调性就得靠题中给出的抽象函数所满足的关系，通过赋特殊值、转化等手段，归结到函数单调性的定义上去解决．
二是奇偶性，这类题的入手点是函数奇偶性的定义，解题时抓住定义，实现问题的转化．
三是不等式，一般要先研究函数的性质，再转化为一般的不等式进行解答．
【典例3】 已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①对任意x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f(2)＝1.
(1)试判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；
(4)求不等式f(3x－2)≥4的解集．
[解] (1)令x＝y＝1，则f(1×1)＝f(1)＋f(1)，
得f(1)＝0；再令x＝y＝－1，则f[(－1)·(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.对于条件f(x·y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，
∴f(－x)＝f(x)．又∵函数f(x)的定义域关于原点对称，∴函数f(x)为偶函数．
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x11.
又∵当x>1时，f(x)>0，∴f>0.而f(x2)＝f＝f(x1)＋f>f(x1)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，又f(2)＝1，
∴f(4)＝2.又由(1)(2)知函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数，且在(0,4]上是增函数，∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.
(4)∵4＝2＋2＝f(4)＋f(4)＝f(16)，∴原不等式转化为f(3x－2)≥f(16)．又∵函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又转化为|3x－2|≥16，即3x－2≥16或3x－2≤－16，∴不等式f(3x－2)≥4的解集为{x.
[点评] 对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段．具体的解题策略是：首先通过赋值得到f(1)，f(0)，f(－1)之类的特殊自变量的函数值，然后再通过赋值构造f(x)与f(－x)或f(x2)与f(x1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断．
课后作业(二十二)
复习巩固
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝x2 D．y＝2x
[解析] 易判断A、C为偶函数，B、D为奇函数，但函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.
[答案] A
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是( )
A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2)
C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2)
[解析] 由x≥0时，f(x)＝x2－2x，
f(x)是定义在R上的奇函数得，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．
∴f(x)＝即f(x)＝x(|x|－2)．
[答案] D
3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析] 因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
[答案] A
4．f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是( )
A．a<1 B．a<3
C．a>1 D．a>3
[解析] ∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)．
又f(x)在R上单调递减，
∴2－a>a－4，得a<3.
[答案] B
5．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为( )
A．10 B．－10
C．9 D．15
[解析] 由于f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，f(x)为奇函数，故f(－3)＝－f(3)＝1，∴f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.
[答案] C
二、填空题
6．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
[解析] 因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3.
[答案] 3
7．设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0)上的解析式为__________________．
[解析] 由题意知f(x)在[－1,0)上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f(x)＝kx＋b(－1≤x<0)，代入解得k＝1，b＝2，所以f(x)＝x＋2(－1≤x<0)．
[答案] f(x)＝x＋2(－1≤x<0)
8．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
[解析] 由题意，知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以其图象与x轴的四个交点也两两成对，关于y轴对称，即方程f(x)＝0的实根两两互为相反数，故其所有实根之和是0.
[答案] 0
三、解答题
9．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式．
[解] 当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2＋2x－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－2x＋1，
∵f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(0)＝0.
∴所求函数的解析式为f(x)＝
10．设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．
[解] 由题意知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，
a2＋a＋1＝2＋>0，
且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，
所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<.
综上，实数a的取值范围是.
综合运用
11．若f(x)满足f(－x)＝f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．fB．f(－1)C．f(2)D．f(2)[解析] 由已知可得函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，f＝f，f(－1)＝f(1)．∵1<<2，
∴f(1)>f>f(2)，即f(2)[答案] D
12．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝( )
A．x2 B．2x2
C．2x2＋2 D．x2＋1
[解析] 因为f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1, ①
所以f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
又f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)；
g(x)为奇函数，g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)－g(x)＝x2－3x＋1. ②
联立①②可得f(x)＝x2＋1.
[答案] D
13．已知函数f(x)是定义在{x|x≠0}上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x2＋x－1，则当x>0时，f(x)的递减区间是________．
[解析] 当x<0时，函数f(x)＝2x2＋x－1在上是递减的，又函数f(x)为奇函数，由奇函数图象的特征知，当x>0时，f(x)的递减区间是.
[答案]
14．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
[解析] 由题意知f(－2)＝f(2)＝0，当x∈(－2,0)时，f(x)
[答案] (－2,2)
15．定义在R上的函数f(x)，满足对?x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，试求实数x的取值范围．
[解] (1)令x1＝x2＝0，得f(0)＝0，
令x1＝x，x2＝－x，
得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)因为f(4)＝1，所以f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，
所以原不等式化为f(x－1)又因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(0)＝0且f(x)是奇函数，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，因此x－1<8，
所以x<9，所以实数x的取值范围是(－∞，9)．
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