(共28张PPT)
第1课时 根式
1．理解n次方根、n次根式的概念．
2．正确运用根式运算性质化简、求值．
3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
1．根式的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．
(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±，负数没有偶次方根．
(3)0的任何次方根都是0，记作＝0.
式子叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质
根据n次方根的意义，可以得到：
(1)()n＝a.
(2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝
温馨提示：()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而()中a∈R.
1．若x4＝3，这样的x有几个，如何表示？
[答案] 有2个，表示为±
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意实数的奇次方根只有一个．( )
(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．( )
(3)当n∈N*时，()n都有意义．( )
(4)＝π－3.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
题型一根式的意义
【典例1】 下列说法正确的个数是( )
①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知m10＝2，则m等于( )
A. B．－
C. D．±
[思路导引] 利用n次方根的概念求解．
[解析] (1)①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.
(2)∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
∴m＝±.
[答案] (1)B (2)D
n(n>1)次方根的个数及符号的确定
(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．
(2)根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：
①当n为偶数时，为非负实数；
②当n为奇数时，的符号与a的符号一致．
[针对训练]
1．16的平方根为________，－27的5次方根为________．
[解析] ∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.
[答案] ±4
2．若有意义，则实数x的取值范围是________．
[解析] 要使有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．
[答案] [2，＋∞)
题型二简单根式的化简与求值
【典例2】 化简下列各式：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) .
[思路导引] 利用的性质进行化简．
[解] (1) ＝－2.
(2) ＝|－10|＝10.
(3) ＝＝3.
(4) ＝|a－b|＝
根式的化简求值注意以下2点
(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
[针对训练]
3．计算下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ＋；
(4) .
[解] (1) ＝－4.
(2) ＝|3－π|＝π－3.
(3) ＋＝(1＋)＋(－1)＝2.
(4) ＝|2x＋y|＝
题型三有限制条件的根式化简
【典例3】 设x∈[1,2]，化简()4＋.
[思路导引] 借助根式的性质去掉根号并化简．
[解] ()4＋
＝()4＋
∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.
∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.
[变式] 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值．
[解] ()4＋＝()4＋
∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0，
∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.
有限制条件根式的化简策略
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
[针对训练]
4．若n
A．2m B．2n
C．－2m D．－2n
[解析] 原式＝－＝|m＋n|－|m－n|，∵n0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.
[答案] C
5．设－2[解] 原式＝－＝|x－1|－|x＋2|，
∵－2∴当－2原式＝－(x－1)－(x＋2)＝－2x－1，
当1≤x<2时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3，
∴原式＝
课堂归纳小结
1．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况．n为奇数时，n次方根只有一个；n为偶数时，正数的n次方根有两个，负数没有偶次方根.
2.掌握两个公式：(1)()n＝a；(2)n为奇数，＝a，n为偶数，＝|a|＝
1．以下说法正确的是( )
A．正数的n次方根是正数
B．负数的n次方根是负数
C．0的n次方根是0(n∈N*)
D．a的n次方根是
[解析] 当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误；当n为偶数时，负数的n次方根无意义，故B错误；当n∈N*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a<0时，无意义，故D错误．
[答案] C
2．81的4次方根是( )
A．2 B．±2
C．3 D．±3
[解析] ∵(±3)4＝81，∴81的4次方根为±3.
[答案] D
3．下列各式正确的是( )
A.＝ B.＝a
C.＝ D．a0＝1
[解析] ＝＝，＝|a|，a0＝1，条件为a≠0.故A、B、D错．
[答案] C
4．已知＝－4a－1，则实数a的取值范围是________．
[解析] ∵＝|4a＋1|＝－4a－1，
∴4a＋1≤0，∴a≤－.
[答案]
5．已知＋＝－a－b，求＋的值．
[解] 因为＋＝－a－b.
所以＝－a，＝－b，
所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，
所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.
课后作业(二十五)
复习巩固
一、选择题
1．已知x5＝6，则x等于( )
A. B.
C．－ D．±
[解析] 由x5＝6可知x＝.
[答案] B
2．下列各式正确的是( )
A.＝－3 B.＝a
C.＝2 D.＝2
[解析] 由于＝3，＝|a|, ＝－2，故A、B、D错误．
[答案] C
3.＋的值是( )
A．0 B．2(a－b)
C．0或2(a－b) D．a－b
[解析] 若a≥b，则原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)，
若a[答案] C
4．若2A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
[解析] 由于20，
所以原式＝a－2＋3－a＝1.故选C.
[答案] C
5．当有意义时，化简－的结果为( )
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
[解析] 由有意义得x≤2.所以－＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.
[答案] C
二、填空题
6．若x≠0，则|x|－＋＝________.
[解析] ∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋＝1.
[答案] 1
7．化简：(1[解析] 原式＝＝－1(1[答案] －1
8．若＝，则实数a的取值范围为________．
[解析] ＝|2a－1|，＝1－2a.
因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤.
[答案]
三、解答题
9．化简：
(1) ＋(e≈2.7)；
(2) ＋.
[解] (1)原式＝＋
＝＋
＝e－e－1＋e＋e－1
＝2e≈5.4.
(2)原式＝|x－2|＋|x＋2|.
当x≤－2时，原式＝(2－x)＋[－(x＋2)]＝－2x；
当－2当x≥2时，原式＝(x－2)＋(x＋2)＝2x.
综上，原式＝
10．已知a1，n∈N*，化简＋.
[解] ∵a当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.
∴＋＝
综合运用
11．下列式子中成立的是( )
A．a＝ B．a＝－
C．a＝－ D．a＝
[解析] 要使a有意义，则a≤0，故a＝－(－a)＝－＝－，故选C.
[答案] C
12.＋等于( )
A．－4 B．2
C．－2 D．4
[解析] ＋＝＋＝(2＋)＋(2－)＝4.
[答案] D
13．化简()2＋＋的结果是( )
A．1－a B．2(1－a)
C．a－1 D．2(a－1)
[解析] ∵有意义，∴a－1≥0，即a≥1.
∴()2＋＋＝(a－1)＋|1－a|＋(1－a)＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1，故选C.
[答案] C
14．设f(x)＝，若0[解析] f＝＝
＝＝.
由于0[答案] －a
15．求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．
[解] ∵
＝
＝＝|a－3|.
∴要使等式＝(3－a)·成立，
必须有
即??－3≤a≤3.
故a的取值范围是[－3,3]．
1
(共29张PPT)
第2课时 指数幂及其运算
1．学会根式与分数指数幂之间的相互转化．
2．掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值．
3．了解无理数指数幂的意义．
1．分数指数幂的意义
温馨提示：(1)分数指数幂a不可以理解为个a相乘．
(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
(2)a－b＝(a>0，b是正无理数)．
(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
[答案] 成立
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( )
(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．( )
(3)0的任何指数幂都等于0.( )
(4)[(a－b)2]＝a－b.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
题型一根式与分数指数幂的互化
【典例1】 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：
(1)；(2)a3·；(3) .
根式与分数指数幂互化的规律
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
[针对训练]
1．用分数指数幂表示下列各式：
题型二指数幂的运算
【典例2】 计算：
[思路导引] 利用指数幂的运算性质化简求值．
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
[针对训练]
2．计算：
题型三条件求值问题
[变式] (1)若本例条件不变，则a2－a－2＝________.
[答案] (1)±3 (2)－
解决条件求值问题的一般方法——整体代入法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．
利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：
课堂归纳小结
1．指数幂的一般运算步骤一定要遵循去括号，负数指数幂化为正数指数幂，及底数是负数、小数、带分数的转化方法．
2．根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过
程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
3．对于含有字母的化简求值，结果一般用分数指数幂的形式表示.
1.·等于( )
A．－ B．－
C. D.
[答案] A
2.的值是( )
A. B. C. D．－
[解析] ＝＝－1＝.
[答案] B
[答案] A
4．化简(＋)2018·(－)2019＝________.
[解析] (＋)2018·(－)2019＝[(＋)(－)]2018·(－)＝12018·(－)＝－.
[答案] －
5．计算或化简下列各式：
(1)(＋1)(－1)(a－1)－；
课后作业(二十六)
复习巩固
[答案] B
2．下列各式成立的是( )
[解析] 被开方数是和的形式，运算错误，A选项错；2＝，B选项错；>0，(－3)<0，C选项错，故选D.
[答案] D
3．若a<，则化简的结果是( )
A. B．－
C. D．－
[解析] ∵a<，∴2a－1<0，∴＝1－2a，
∴＝.
[答案] C
[答案] C
5．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是( )
A．x∈R B．x∈R且x≠
C．x> D．x<
[解析] ∵(1－2x)＝，∴1－2x>0，得x<.
[答案] D
[答案]
[答案] －23
[答案]
三、解答题
9．计算下列各式的值：
10．(1)已知x＝，y＝，求－的值；
(2)已知x－3＋1＝a(a为常数)，求a2－2ax－3＋x－6的值．
[解] (1)－＝－＝.
将x＝，y＝代入上式得
原式＝＝＝－24＝－8.
(2)∵x－3＋1＝a，∴x－3＝a－1.
又∵x－6＝(x－3)2，∴x－6＝(a－1)2.
∴a2－2ax－3＋x－6＝a2－2a(a－1)＋(a－1)2
＝a2－(2a2－2a)＋(a2－2a＋1)＝1.
综合运用
11．设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是( )
[答案] C
12．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B．10
C．20 D．100
[答案] A
13．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
[解析] 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝.即2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
[答案] 2
14．化简的值为________．
[解析] 原式＝
＝
＝2－
[答案] 2－
(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，∴
∵a>b>0，∴>，∴>0.
∵2＝＝＝＝，
∴＝＝.
1
