(共32张PPT)
第1课时 指数函数及其图象性质
1．通过实例理解指数函数的概念，了解指数函数在生活中的应用．
2．掌握指数函数图象和性质．
3．会应用指数函数的性质求函数的定义域、值域．
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
温馨提示：指数函数解析式的3个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
2．指数函数的图象和性质
温馨提示：(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0
(2)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的大致图象．
1．观察下列从数集A到数集B的对应：
①A＝R，B＝R，f：x→y＝2x；
②A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝x.
(1)这两个对应能构成函数吗？
(2)这两个函数有什么特点？
[答案] (1)能 (2)底数为常数，指数为自变量
2．函数y＝x的图象与y＝2x的图象有何关系？
[答案] 关于y轴对称
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝x2是指数函数．( )
(2)指数函数的图象位于x轴的上方．( )
(3)函数y＝ax－1的图象过定点(0，－1)．( )
(4)函数y＝x的值域是[0，＋∞)．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
题型一指数函数的概念
【典例1】 (1)下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝3 B．a＝1
C．a＝3 D．a>0且a≠1
[思路导引] 形如“y＝ax(a>0，且a≠1)”的函数为指数函数．
[解析] (1)形如“y＝ax(a>0，且a≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B.
(2)由指数函数的概念可知，得a＝3.
[答案] (1)B (2)C
判断一个函数是指数函数的方法
(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
[针对训练]
1．函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.
[解析] ∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，
∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.
[答案] 0或1
2．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(－2)＝________，f(1)＝________.
[解析] 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
∵f(2)＝9，
∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.
∴f(－2)＝3－2＝，f(1)＝3.
[答案] 3
题型二指数函数的图象
【典例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
[解析] (1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0.
(2)因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．
[答案] (1)D (2)(3,4)
处理指数函数图象问题的3个策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
[针对训练]
3．函数y＝2－|x|的大致图象是( )
[解析] y＝2－|x|＝画出图象，可知选C.
[答案] C
4．函数y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
[解析] 令x＋3＝0得x＝－3，
此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.
即函数y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．
[答案] (－3,4)
题型三指数函数的定义域与值域
【典例3】 求下列函数的定义域和值域：
[思路导引] 利用整体换元的方法求解．
[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，
因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，
故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，
所以0≤1－3x<1，
所以∈[0,1)，
即函数y＝的值域为[0,1)．
“y＝af(x)”型函数定义域、值域的求法
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围，即函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．
[针对训练]
5．求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝3；(2)y＝x2－2x－3.
[解] (1)由5x－1≥0，得x≥，
所以所求函数的定义域为.
由≥0，得y≥1，
所以所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴x2－2x－3≤－4＝16.
又∵x2－2x－3>0，
∴函数y＝x2－2x－3的值域为(0,16]．
课堂归纳小结
1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质分底数a>1,03．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x
∈R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
4．求函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域.
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝x
[解析] 由指数函数的定义知a>0且a≠1，故选D.
[答案] D
2．y＝x的图象可能是( )
[解析] 0<<1且过点(0,1)，故选C.
[答案] C
3．y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是( )
A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
[解析] y＝2x在R上是增函数，且21＝2，故选B.
[答案] B
4．指数函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________．
[解析] 由题意知4＝a2，所以a＝2，因此f(x)＝2x，故f(－3)＝2－3＝.
[答案]
5．函数y＝x2－1的值域是________．
[解析] ∵x2－1≥－1，
∴y＝x2－1≤－1＝2，又y>0，
∴函数值域为(0,2]．
[答案] (0,2]
课后作业(二十七)
复习巩固
一、选择题
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝2x－1.
A．0个 B．1个
C．3个 D．4个
[解析] 由指数函数的定义可判定，只有②正确．
[答案] B
2．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
[解析] 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
[答案] C
3．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点( )
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(－1,0) D．(1,0)
[解析] 当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)．
[答案] C
4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
[解析] 当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A.
[答案] A
5．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．00 B．a>1，且b>0
C．01，且b<0
[解析] 函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0[答案] C
二、填空题
6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.
[解析] 由指数函数的定义得解得a＝1.
[答案] 1
7．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．
[解析] 由已知得解得
所以f(x)＝x＋3，所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7.
[答案] 7
8．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
[解析] 由x<0，得0<2x<1；由x>0，∴－x<0,0<2－x<1，∴－1<－2－x<0，∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．
[答案] (－1,0)∪(0,1)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
[解] (1)∵f(x)的图象过点，
∴a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝x－1，x≥0.
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0所以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,2]．
(2)令u＝x2－2x＋2，则y＝u，
又u＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∵0≤x≤3，
∴当x＝1时，umin＝1，当x＝3时，umax＝5.
故1≤u≤5，∴5≤y≤1，
故所求函数的值域为.
综合运用
11．下列函数值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝4 B．y＝
C．y＝ D．y＝1－x
[解析] ∵1－x∈R，∴1－x∈(0，＋∞)，故选D.
[答案] D
12．已知0
[解析] 由于0[答案] C
13．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝3x⊙3－x的值域是________．
[解析] 当x>0时，3x>3－x, f(x)＝3－x，f(x)∈(0,1)；当x＝0时，f(x)＝3x＝3－x＝1；当x<0时，3x<3－x，f(x)＝3x，f(x)∈(0,1)．综上，f(x)的值域是(0,1]．
[答案] (0,1]
14．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
[解析] 作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.
[答案] [1，＋∞)∪{0}
15．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的最大值和最小值．
[解] 设t＝3x，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24.
1
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第2课时 指数函数的性质及其应用
1．掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．
2．能借助指数函数图象及单调性比较大小．
3．会解简单的指数方程、不等式．
4．了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．
1．指数函数值与1的大小关系
(1)a>1时，当x>0时，y>1；当x<0时，0(2)00时，01.
2．对称关系
函数y＝a－x与y＝ax的图象关于y轴对称．
3．图象位置关系
底数a的大小决定了图象相对位置的高低．
(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线x＝1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．
(2)在y轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为0
1．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的函数值随自变量有怎样的变化规律？
[答案] 当a>1时，若x>0，则y>1；若x<0，则0当00，则01
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若0.3a>0.3b，则a>b.( )
(2)函数y＝3x2在[0，＋∞)上为增函数．( )
(3)函数y＝2在其定义域上为减函数．( )
(4)若am>1，则m>0.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
题型一利用指数函数的单调性比较大小
【典例1】 比较下列各组数的大小：
(1)0.7－0.3与0.7－0.4；
(2)2.51.4与1.21.4；
(3)1.90.4与0.92.4.
[思路导引] (1)利用指数函数的单调性比较；(2)利用指数函数的图象比较；(3)借助中间量1进行比较．
[解] (1)∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(2)在同一坐标系中作出函数y＝2.5x与y＝1.2x的图象，如图所示．由图象可知2.51.4>1.21.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1，
0．92.4<0.90＝1，
∴1.90.4>0.92.4.
比较幂的大小的3种类型及方法
(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．
(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如0或1)来比较．
[针对训练]
1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
[解析] ∵函数y＝0.8x在R上为减函数，
∴0.80.7>0.80.9，即a>b.
又0.80.7<1,1.20.8>1，
∴0.80.7<1.20.8，即aa>b.选D.
[答案] D
题型二解简单的指数不等式
【典例2】 (1)解不等式：3x－1≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，且a≠1)，求x的取值范围．
[思路导引] (1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解；(2)分a>1与0[解] (1)∵2＝－1，
∴原不等式可以转化为3x－1≤－1.
∵y＝x在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0.
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，且a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1综上所述，当05；
当a>1时，－1
指数不等式的求解策略
(1)形如ax>ay的不等式：可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况讨论．
(2)形如ax>b的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
[针对训练]
2．已知32x－1≥－0.5，求实数x的取值范围．
[解] 由32x－1≥－0.5，得32x－1≥30.5.
∵函数y＝3x在R上为增函数，
∴2x－1≥0.5，得x≥.
故x的取值范围是.
3．若a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
[解] ①当a>1时，∵a－5x>ax＋7，且函数y＝ax为增函数，
∴－5x>x＋7，解得x<－.
②当0ax＋7，且函数y＝ax为减函数，
∴－5x－.
综上所述，当a>1时，x的取值范围为.
当0题型三指数型函数的单调性
【典例3】 已知函数f(x)＝x2－2x.
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的值域．
[思路导引] 由函数u＝x2－2x和函数y＝u的单调性判断．
[解] (1)令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴y＝x2－2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
(2)∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，
∴0∴原函数的值域为(0,3]．
[变式] 若本例“f(x)＝x2－2x”改为“f(x)＝2|2x－1|”，其他条件不变，如何求解？
[解] (1)设u＝|2x－1|，由函数y＝2u和u＝|2x－1|的定义域为R，故函数y＝2|2x－1|的定义域为R.
∵u＝|2x－1|在上单调递减，上单调递增，
而y＝2u是增函数，
∴y＝2|2x－1|在上单调递减，在上单调递增．
(2)∵u＝|2x－1|≥0，∴2u≥1.
∴原函数的值域为[1，＋∞)．
指数型函数单调性的解题技巧
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，利用“同增异减”的原则，求出y＝f[φ(x)]的单调性，即若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同(同增或同减)，则y＝f[φ(x)]为增函数，若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反(一增一减)，则y＝f[φ(x)]为减函数．
[针对训练]
4．求函数f(x)＝3－x2＋2x＋3的单调区间．
[解] 由题意可知，函数y＝f(x)＝3－x2＋2x＋3的定义域为实数集R.设u＝－x2＋2x＋3(x∈R)，则y＝3u，故原函数是由u＝－x2＋2x＋3与y＝3u复合而成．∵y＝3u是增函数，而u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在x∈(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋∞).
题型四指数函数的实际应用
【典例4】 某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．
[解] 现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；
…
经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．
故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.
解决指数函数应用题的流程
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．
(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．
(3)解模：运用数学知识解决问题．
(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．
[针对训练]
5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
[解析] 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
[答案] 19
课堂归纳小结
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求
解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解．
3．研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．
当0
1．下列判断正确的是( )
A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83
C．π2<π D．0.90.3>0.90.5
[解析] 函数y＝0.9x在R上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.
[答案] D
2．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
[解析] 函数y＝x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.
[答案] B
3．设A．aaC．ab[解析] 由已知条件得0[答案] C
4．函数y＝1－x的单调增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
[解析] 设t＝1－x，则y＝t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝1－x的递增区间．
[答案] A
5．已知函数f(x)＝2－x2＋2x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在[0,3]上的值域．
[解] (1)函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
(2)由(1)知f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝，所以f(x)的值域为.
课内拓展 课外探究
指数函数与函数的单调性、奇偶性
指数函数本身不具有奇偶性，但由指数函数复合而成的某些函数具有奇偶性，这类复合函数的单调性由指数函数的单调性决定．
1．“y＝f(ax)”型函数的单调性
【典例1】 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在[－1，1]上有最大值14，试求a的值．
[解] 令t＝ax(t>0)，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2，其图象的对称轴为直线t＝－1.
①若a>1，因为x∈[－1,1]，所以t∈，则y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．
②若0综上可知，a的值为3或.
[点评] 解决二次函数与指数函数的综合问题，本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题．在处理时可以利用换元法将指数函数换成t＝ax的形式，再利用定义域和函数y＝ax的单调性求出t的范围，此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了．
2．“y＝f(ax)”型函数的奇偶性
【典例2】 设函数f(x)＝－，
(1)证明函数f(x)是奇函数；
(2)证明函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；
(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．
[解] (1)证明：函数的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝－＝－＝＝－＋＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(3)因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，
所以函数f(x)在[1,2]上也是增函数，
所以f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(2)＝.
所以函数f(x)在[1,2]上的值域为.
[点评] 指数函数是一类具有特殊性质和实际应用价值的初等函数，利用函数的图象和性质可以研究符合指数函数的图象与性质的综合问题．
课后作业(二十八)
复习巩固
一、选择题
1．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由已知，得0<1－2a<1，解得0[答案] B
2．若0.72x－1≤0.7x2－4，则x的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
C．[－3,1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
[解析] ∵函数y＝0.7x在R上为减函数，
且0.72x－1≤0.7 x2－4，
∴2x－1≥x2－4，即x2－2x－3≤0.
解得－1≤x≤3，故选A.
[答案] A
[解析] 构造指数函数y＝x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减，可得b0时，有x>x，故，∴a>c，故a>c>b.
[答案] A
4．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
[解析] 由题意知f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，－x>0，则f(－x)＝e－x－1＝－f(x)，得f(x)＝－e－x＋1.故选D.
[答案] D
5．已知函数f(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，当x>2时，f(x)>1，则f(x)在R上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．当x>2时是增函数，当x<2时是减函数
D．当x>2时是减函数，当x<2时是增函数
[解析] 令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x>2时，f(x)>1，所以当t<0时，at>1.所以0[答案] A
二、填空题
6．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．
[解析] 设t＝2x(t>0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，
∴t＝1或t＝－2.
∵t>0，∴t＝－2舍去．
∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.
[答案] 0
7．函数y＝3x2－2x的值域为________．
[解析] 设u＝x2－2x，则y＝3u，
u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以y＝3u≥3－1＝，
所以函数y＝3x2－2x的值域是.
[答案]
8．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．
[解析] 经过第一次漂洗，存留量为总量的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的2，经过第三次漂洗，存留量为原来的3，…，经过第x次漂洗，存留量为原来的x，故解析式为y＝x.由题意，x≤，4x≥100,2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次．
[答案] 4
三、解答题
9．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)．
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
[解] (1)1年后该城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3；
…
x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10
＝100×1.01210≈112.7(万人)．
10．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，
y＝x在R上是减函数，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；
因此必有解得a＝1，
故当f(x)有最大值3时，a的值为1.
综合运用
11．函数f(x)＝(a>0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B. C. D.
[解析] 由单调性定义，f(x)为减函数应满足：，即≤a<1，故选B.
[答案] B
12．函数y＝32x＋2·3x－1，x∈[1，＋∞)的值域为______________．
[解析] 令3x＝t，由x∈[1，＋∞)，得t∈[3，＋∞)．
∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14.
故所求函数的值域为[14，＋∞)．
[答案] [14，＋∞)
13．要使y＝x－1＋m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是________．
[解析] 解法一：函数y＝x图象向右平移1个单位得到函数y＝x－1的图象(如图所示过点(0,2))，当m<0时，再向下平移|m|个单位就可以得到函数y＝x－1＋m的图象．要使y＝x－1＋m的图象不经过第一象限，需要有m≤－2.
解法二：由题意得，因为0<<1，所以函数y＝x－1＋m是减函数，由函数图象不经过第一象限知，当x＝0时，y＝2＋m≤0，解得m≤－2，故m的取值范围是(－∞，－2]．
[答案] (－∞，－2]
15．已知定义域为R的函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明你的结论；
(3)求函数f(x)在R上的值域．
[解] (1)若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，得a＝1.
当a＝1时，f(x)＝1－.
∵f(－x)＝1－＝1－＝1－＝－1＋＝－f(x)，
∴f(x)为R上的奇函数．
∴存在实数a＝1，使函数f(x)为R上的奇函数．
(3)f(x)＝1－中，3x＋1∈(1，＋∞)，
∴∈(0,2)．
∴f(x)的值域为(－1,1)．
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