(共30张PPT)
4．3.1 对数的概念
1．了解对数的概念．
2．会进行对数式与指数式的互化．
3．会求简单的对数值．
1．对数的定义
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN.在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为lnN.
3．指数与对数的互化
当a>0，a≠1时，ax＝N?x＝logaN.
4．对数的性质
(1)loga1＝0；
(2)logaa＝1；
(3)零和负数没有对数．
1．指数方程3x＝如何求解？
[答案] 化为3x＝3，求得x＝
2．如何求解3x＝2?
[答案] x＝log32
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积．( )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( )
(4)等式loga1＝0对a∈R均成立．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
题型一指数式与对数式的互化
【典例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝；(2)－2＝16；
(3)log27＝－3；(4)log64＝－6.
[思路导引] 借助ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)转化．
[解] (1)∵3－2＝，∴log3＝－2.
(2)∵－2＝16，∴log16＝－2.
(3)∵log27＝－3，∴－3＝27.
(4)∵log64＝－6，∴()－6＝64.
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
[针对训练]
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝；(2)3a＝27；
(3)10－1＝0.1；(4)log32＝－5；
(5)lg0.001＝－3.
[解] (1)log2＝－7.
(2)log327＝a.
(3)lg0.1＝－1.
(4)－5＝32.
(5)10－3＝0.001.
题型二对数的计算
【典例2】 求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；
(3)lg100＝x；(4)－lne2＝x.
[思路导引] 把对数式化为指数式求解．
求对数值的3个步骤
(1)设出所求对数值．
(2)把对数式转化为指数式．
(3)解有关方程，求得结果．
[针对训练]
2．求下列各式中的x值：
(1)logx27＝；(2)log2x＝－；
(3)x＝log27；(4)x＝log16.
(3)由x＝log27，可得27x＝，
∴33x＝3－2，∴x＝－.
(4)由x＝log16，可得x＝16.
∴2－x＝24，∴x＝－4.
题型三对数的性质
[思路导引] 首先利用对数的基本性质化“繁”为“简”，再求值．
[解] (1)由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1
得
解得x＝－2.
(2)由log2[log3(log4x)]＝0可得log3(log4x)＝1，故log4x＝3，所以x＝43＝64.
对数性质的应用要点
(1)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式alogaN＝N及其格式．
[针对训练]
3．求下列各式中x的值：
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log3(lgx)＝1.
[解] (1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1，
∴x＝41＝4.
(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.
课堂归纳小结
1．对数概念的理解
(1)规定a>0且a≠1.
(2)由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ab＝N中，N总是正数，即零和负数没有对数.
(3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆
的，即ab＝N?logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：①logaab＝b；②alogaN＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln1＝0
B．8＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
[解析] 由log39＝2，得32＝9，故选C.
[答案] C
2．已知logx16＝2，则x等于( )
A．4 B．±4
C．256 D．2
[解析] ∵logx16＝2，∴x2＝16，又x>0，∴x＝4.
[答案] A
3．设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于( )
A．10 B．13
C．100 D．±100
[解析] 由5 log5(2x－1)＝2x－1＝25，得x＝13.
[答案] B
4．式子2log25＋log1的值为________．
[解析] 原式＝5＋0＝5.
[答案] 5
课后作业(二十九)
复习巩固
一、选择题
1．使对数loga(5－a)有意义的a的取值范围为( )
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,5)
C．(0,1)∪(1,5) D．(－∞，5)
[解析] 由对数的概念可知a需满足a>0且a≠1且5－a>0，解得0
[答案] C
[解析] 根据对数的定义可知，－3＝log3.
[答案] C
3．已知lnx＝2，则x等于( )
A．±2 B．e2
C．2e D．2e
[解析] 由lnx＝2得，e2＝x，所以x＝e2.
[答案] B
4．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于( )
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析] 由条件知，log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，所以x＝8.
[答案] B
[解析] 由原方程得＝31，所以logx24＝1，即x2＝4，即x＝±2，经检验知x＝±2都是方程的解．
[答案] D
二、填空题
[答案] 2
[解析] 原式＝2log23＋0－102·10lg2＝3－200＝－197.
[答案] －197
[答案]
三、解答题
9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；
(2)4－2＝；
(3)log8＝－3；
(4)log3＝－3.
[解] (1)∵53＝125，∴log5125＝3.
(2)∵4－2＝，∴log4＝－2.
(3)∵log8＝－3，∴－3＝8.
(4)∵log3＝－3，∴3－3＝.
10．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
[解] ∵logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.
∵logy＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.
∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
综合运用
11．若loga＝c，则下列关系式中正确的是( )
A．b＝a5c B．b5＝ac
C．b＝5ac D．b＝c5a
[解析] 由loga＝c，得ac＝，∴b＝(ac)5＝a5c.
[答案] A
12．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且x≠1)，则logx(abc)＝( )
A. B. C. D.
[答案] D
13．方程log3(2x2－1)＝1的解为x＝________.
[解析] 由log3(2x2－1)＝1，得2x2－1＝3，
∴2x2＝4，x＝±.
[答案] ±
14.－1＋log0.54的值为________．
[解析] －1＋log0.54＝－1·＝2×4＝8.
[答案] 8
[解] (1)∵log2[log3(log4x)]＝0，
∴log3(log4x)＝1，
∴log4x＝3，∴x＝43＝64.
由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，
∴y＝24＝16.
1
(共34张PPT)
4．3.2 对数的运算
1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．
2．掌握换底公式及其推论．
3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
1．对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
2．对数换底公式
若c>0，且c≠1，则logab＝(a>0，且a≠1，b>0)．
3．由换底公式推导的重要结论
(1)loganbn＝logab.
(2)loganbm＝logab.
(3)logab·logba＝1.
(4)logab·logbc·logcd＝logad.
1．我们知道am＋n＝am·an，那么loga(M·N)＝logaM·logaN正确吗？举例说明．
[答案] 不正确，例如log24＝log2(2×2)＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2
2．你能推出loga(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？
[答案] 能．令am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n，由对数定义知，logaM＝m，
logaN＝n，loga(MN)＝m＋n，
∴loga(MN)＝logaM＋logaN
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )
(2)loga(xy)＝logax·logay.( )
(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．( )
(4)由换底公式可得logab＝.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
题型一对数运算性质的应用
【典例1】 求下列各式的值：
(1)log345－log35；
(2)log24·log28；
(3)lg14－2lg＋lg7－lg18；
(4)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
[思路导引] 解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应．
[解] (1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2.
(2)log24·log28＝log222·log223＝2×3＝6.
(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.
(4)原式＝2lg5＋lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2
＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2
＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2
＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
[针对训练]
1．计算：
(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1；
(3)lg－lg＋lg.
[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2＋log212－log2－log22
＝log2＝log2
(3)解法一：原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5
＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.
解法二：原式＝lg－lg4＋lg7＝lg
＝lg(×)＝lg＝.
题型二对数换底公式的应用
【典例2】 (1)计算：①log29·log34；
②.
(2)证明：①logab·logba＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)；
②loganbn＝logab(a>0，且a≠1，n≠0)．
[思路导引] 利用换底公式计算、证明．
[解] (1)①原式＝·＝
＝＝4.
②原式＝·＝log·log9
＝·＝＝－.
(2)证明：①logab·logba＝·＝1.
②loganbn＝＝＝＝logab.
[变式] (1)若本例(2)①改为“logab·logbc·logcd＝logad”如何证明？
(2)若本例(2)②改为“loganbm＝logab”如何证明？
[证明] (1)logab·logbc·logcd
＝··＝＝logad.
(2)loganbm＝＝＝logab.
应用换底公式应注意的2个方面
(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．
[针对训练]
2.·等于( )
A. B. C．6 D．－6
[解析]
[答案] D
3．log2·log3·log5＝________.
[解析] 原式＝··
＝＝－12.
[答案] －12
题型三对数的综合应用
【典例3】 (1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.
[思路导引] 应用换底公式化简求值．
[解] (1)设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：
经过1年，剩余量是y＝0.75；
经过2年，剩余量是y＝0.752；
…
经过x年，剩余量是y＝0.75x；
由题意得0.75x＝，
∴x＝log0.75＝＝≈4.
∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的.
(2)解法一：由18b＝5，得log185＝b，又log189＝a，
所以log3645＝＝
＝＝.
解法二：设log3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9，
从而有182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，
得2x＝log185＋(x＋1)log189，
又18b＝5，所以b＝log185.
所以2x＝b＋(x＋1)a，
解得x＝，即log3645＝.
解对数综合应用问题的3条策略
(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式．
(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．
(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．
[针对训练]
4．若lg2＝a，lg3＝b，则log512等于________．
[解析] log512＝＝＝.
[答案]
5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2000(e为自然对数的底)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(ln3≈1.099)
[解] 由ev＝2000及M＝2m，得ev＝32000，两边取以e为底的对数，
v＝ln32000＝2000ln3≈2000×1.099
＝2198(m/s)．
∴火箭的最大速度为2198 m/s.
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )
A．logax·logay＝loga(x＋y)
B．(logax)n＝nlogax
C.＝loga
D.＝logax－logay
[解析] 根据对数的运算性质知，C正确．
[答案] C
2．化简log612－2log6的结果为( )
A．6 B．12 C．log6 D.
[解析] log612－2log6＝log62－log62＝
log6＝log6.故选C.
[答案] C
3．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式可表示为( )
A．a－b B. C．ab D．a＋b
[解析] log32＝＝.
[答案] B
4．计算log916·log881的值为________．
[解析] log916·log881＝·＝·＝.
[答案]
5．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：＋＝.
[证明] 设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk6＝logk2＋logk3，
∴＝＋.
课后作业(三十)
复习巩固
一、选择题
1.＝( )
A. B．2 C. D.
[解析] 原式＝＝＝2.
[答案] B
2．2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1 C．2 D．4
[解析] 原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
[答案] C
3．若a>0，且a≠1，则下列说法正确的是( )
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
[解析] 在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．
[答案] B
4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
[解析] ∵a＝log32，
∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
[答案] A
5．计算log225·log32·log59的结果为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 原式＝··＝··＝6.
[答案] D
二、填空题
6．lg＋lg的值是________．
[解析] lg＋lg＝lg＝lg10＝1.
[答案] 1
7．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
[解析] logab·log3a＝·＝＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.
[答案] 81
8．四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝lgE－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．
[解析] 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，
则8－6＝(lgE2－lgE1)，即lg＝3.
∴＝103＝1000，
即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹．
[答案] 1000
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)2log525＋3log264；
(2)lg(＋)；
(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.
[解] (1)∵2log525＝2log552＝4log55＝4，
3log264＝3log226＝18log22＝18，
∴2log525＋3log264＝4＋18＝22.
(2)原式＝lg(＋)2
＝lg(3＋＋3－＋2)
＝lg10＝.
(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2
＝(lg5)2－(lg2)2＋2lg2
＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2
＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.
10．(1)若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求的值；
(2)设3x＝4y＝36，求＋的值(x>0，y>0)．
[解] (1)因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，
所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.
又x>0，y>0且x－2y>0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
(2)解法一：∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436.
∴＝＝＝log363，
＝＝＝log364.
∴＋＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.
解法二：对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得log63x＝log64y＝log636，
即xlog63＝ylog64＝2.
∴＝log63，＝log62.
∴＋＝log63＋log62＝log66＝1，
即＋＝1.
综合运用
11．若ab>0，给出下列四个等式：
①lg(ab)＝lga＋lgb; ②lg＝lga－lgb；
③lg2＝lg；④lg(ab)＝.
其中一定成立的等式的序号是( )
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
[解析] ∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab>0，∴>0，lg2＝×2lg＝lg，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D.
[答案] D
12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－＝( )
A. B．3
C．－ D．－3
[解析] ∵x＝log2.51000，y＝log0.251000，
∴＝＝log10002.5，同理＝log10000.25，
∴－＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝＝.
[答案] A
13．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝________.
[解析] log36＝＝＝.
[答案]
14．计算log225·log3·log5·ln＝________.
[解析] 原式＝×××＝8.
[答案] 8
15．设a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求
lg(ab)·(logab＋logba)的值．
[解] 原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0.
设t＝lgx，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lga，t2＝lgb，
即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lga＋lgb)·
＝(lga＋lgb)·
＝(lga＋lgb)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
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