(共38张PPT)
4．5.1 函数的零点与方程的解
1．理解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的关系．
2．会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间．
3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．
1．函数的零点
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有
交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条：
(1)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；
(2)f(a)·f(b)<0.
1．给定二次函数y＝x2＋2x－3，其图象如下：
(1)方程x2＋2x－3＝0的解是什么？
(2)函数的图象与x轴的交点是什么？
(3)方程的解与交点的横坐标有什么关系？
(4)通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？
[答案] (1)－3,1
(2)(－3,0)，(1,0)
(3)相等
(4)在每一个交点附近两侧函数值符号异号
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数都有零点．( )
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实数解x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．( )
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.( )
(4)在[a，b]上函数f(x)是连续并且单调的函数，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)有唯一零点．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
题型一求函数的零点
【典例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝.
[思路导引] 判断方程f(x)＝0是否有实数解，并求出即可．
[解] (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
函数零点的求解要点
求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数解，则函数f(x)存在零点，该方程的解就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2,0
C. D．0
[解析] 当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数零点为0.选D.
[答案] D
2．若2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，则m＝________.
[解析] ∵2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，∴f(2)＝0，得4－m＝0，∴m＝4.
[答案] 4
题型二判断函数零点所在的区间
【典例2】 函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e，＋∞)
[解析] ∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，
∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln3－>0，∴f(2)·f(3)<0，
∴f(x)在(2,3)内有零点．
[答案] B
判断函数零点所在区间的3个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
[针对训练]
3．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵f＝－2<0，
f＝－1>0，∴f·f<0，
∴零点在上．
[答案] C
4．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2 B．0
C．1 D．3
[解析] f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.
[答案] A
题型三判断函数零点的个数
【典例3】 (1)f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点个数．
[思路导引] (1)直接求f(x)＝0的解；(2)利用图象法判断．
[解析] (1)当x≤0时，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3；
当x>0时，由－2＋lnx＝0，得x＝e2.
故函数f(x)有2个零点，选B.
(2)令f(x)＝0，得log2x－x＋2＝0，
即log2x＝x－2.
令y1＝log2x，y2＝x－2.
画出两个函数的大致图象，如图所示．
由图可知，两个函数有两个不同的交点．
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．
[答案] (1)B (2)2个
[变式] 若本例(1)中的函数改为“f(x)＝
”，则函数的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[解析] 解法一：当x≤0时，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3；
当x>0时，函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而lnx＋x2－3＝0有一个解，
即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．
综上，函数f(x)有2个零点．
解法二：当x≤0时，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3；
当x>0时，由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，
∴f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
综上，函数f(x)有2个零点．
[答案] B
判断函数零点个数的3个方法
(1)直接法：直接求出函数的零点进行判断．
(2)图象法：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题．
(3)单调性法：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．
[针对训练]
5．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.故函数f(x)的零点有3个．选C.
[答案] C
6．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]
令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝x.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．
[答案] B
课堂归纳小结
1．函数的零点
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的解，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实数解，有几个实数解．
(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．判断函数y＝f(x)零点的存在性的两个条件
(1)函数的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线．
(2)由f(a)·f(b)<0就可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．
但应用时应注意以下问题：
①并非函数所有的零点都能用这种方法找到．如y＝x2的零点在x＝0附近就没有这样的区间．只有函数值在零点的左右两侧异号时才能用这种方法．
②利用上述结论只能判别函数y＝f(x)在区间(a，b)上零点的存在性，但不能确定其零点的个数.
1．函数y＝4x－2的零点是( )
A．2 B．(－2,0)
C. D.
[解析] 令y＝4x－2＝0，得x＝.
∴函数y＝4x－2的零点为.
[答案] D
2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实数解
D．方程f(x)＝0可能无实数解
[解析] ∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解．
[答案] D
3．函数y＝lgx－的零点所在的大致区间是( )
A．(6,7) B．(7,8)
C．(8,9) D．(9,10)
[解析] 因为f(9)＝lg9－1<0，
f(10)＝lg10－＝1－>0，所以f(9)·f(10)<0，所以y＝lgx－在区间(9,10)上有零点，故选D.
[答案] D
4．函数f(x)＝lnx＋3x－2的零点个数是________．
[解析] 解法一：由f(x)＝lnx＋3x－2＝0，得lnx＝2－3x，设g(x)＝lnx，h(x)＝2－3x，图象
如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f(x)＝lnx＋3x－2有一个零点．
解法二：函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，且f＝－3<0，
f(1)＝1>0，所以函数f(x)在内有唯一零点．
[答案] 1
5．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？
[解] 因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，
f(0)＝20－02＝1>0，
而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．
课内拓展 课外探究
一元二次方程根的分布情况
依据函数零点与方程实数根的联系，可以用函数零点的存在性定理及二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根的分布情况．
设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a>0)的两实数根，则x1，x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m，n，p为常数，且m
【典例】 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两实根，其中一实根在区间(－1,0)内，另一实根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
(2)若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
[解]
(1)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出函数的大致图象如右图所示．
由图象得
即 ∴－
即m的取值范围是.
(2)根据函数图象与x轴的两个交点均在区间(0,1)内，画出函数的大致图象如右图所示．
由图象得
即 ∴－即m的取值范围是.
[点评] 解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合思想，根据判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．
课后作业(三十四)
复习巩固
一、选择题
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，ac<0，则函数的零点个数是( )
A．1 B．2
C．0 D．无法确定
[解析] 因为ac<0，所以b2－4ac>0，所以二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，故函数有2个零点．
[答案] B
2．下列函数不存在零点的是( )
A．y＝x－ B．y＝
C．y＝ D．y＝
[解析] 由x－＝0，得x＝±1，故选项A不适合；由2x2－x－1＝0得x＝1或x＝－，故选项B不适合；由得x＝－1，得x＝1，故选项C不适合；选项D中函数无零点．故选D.
[答案] D
3．函数f(x)＝x－x＋2的零点所在的一个区间是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
[解析] 由f(x)＝x－x＋2，得f(2)＝2－2＋2>0，f(3)＝3－3＋2<0，∴f(2)·f(3)<0，∴函数的零点在(2,3)内．
[答案] D
4．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，则只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)<0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
[解析] 当零点在区间(a，b)内时，f(a)·f(b)>0也可能成立，因此A不正确，C正确；若y＝f(x)满足零点存在性定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确．
[答案] C
5．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,2) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析] 令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
[答案] C
二、填空题
6．函数y＝x2－4的零点是________．
[解析] 令x2－4＝0，解得x＝±2，所以函数y＝x2－4的零点是±2.
[答案] ±2
7．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．
[解析] 解法一：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴∴∴－1解法二：由x＋b＝0得x＝－b，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内．∴0<－b<1，∴－1[答案] (－1,0)
8．函数f(x)＝log2x＋2x－7的零点个数为________，它的一个大致区间是________．
[解析]
设y1＝log2x，y2＝－2x＋7，可将y1，y2的图象作出，
由图可知y1与y2只有一个交点，则log2x＋2x－7＝0只有一个实数根，∴函数f(x)只有一个零点．
∵f(2)＝log22＋22－7＝－2<0，
f(3)＝log23＋23－7＝log23＋1>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴零点的一个大致区间为(2,3)．
[答案] 1 (2,3)
三、解答题
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝1－log3x；
(4)f(x)＝(2x－3)(x2－4)．
[解] (1)令＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝存在零点，且零点为x＝－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x存在零点，且零点为x＝3.
(4)令(2x－3)(x2－4)＝0，得2x＝3或x2＝4，所以x＝log23或x＝±2，
所以函数f(x)＝(2x－3)(x2－4)存在零点，且零点为log23,2与－2.
10．求函数f(x)＝lnx－|x－2|的零点个数．
[解] 令f(x)＝0，得lnx－|x－2|＝0，
即lnx＝|x－2|，
令y1＝lnx，y2＝|x－2|.
在同一坐标系中作出函数y1＝lnx和y2＝|x－2|的图象，如图所示．
由两图象有2个交点，可知函数f(x)＝lnx－|x－2|有2个零点．
综合运用
11．若x0是方程x＝的解，则x0属于区间( )
A. B.
C. D.
所以f·f<0，
故函数f(x)的零点所在的区间为，
即方程x＝的解x0属于区间.
[答案] C
12．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
[解析] 根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)内是增函数，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，所以f(1)<0，且f(2)>0，求解可得0[答案] C
13．若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋
(x－c)(x－a)，
∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，
f(c)＝(c－a)(c－b)，
∵a0，f(b)<0，f(c)>0，
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
[答案] A
14．已知函数f(x)＝mx2＋2x－1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是________________．
[解析] 当m＝0时，零点为x＝，满足题意．
当m≠0时，Δ＝4＋4m≥0，解得m≥－1且m≠0，
设x1，x2是函数的两个零点，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
若m＝－1，函数只有一个零点1，满足题意；
若－1若m>0，则x1，x2一正一负，满足题意．
综上，实数m的取值范围是{－1}∪[0，＋∞)．
[答案] {－1}∪[0，＋∞)
15．若函数f(x)＝|x2－2x|－a有4个零点，求实数a的取值范围．
[解] 函数f(x)＝|x2－2x|－a的零点就是方程
|x2－2x|－a＝0的解．
由|x2－2x|－a＝0，得|x2－2x|＝a.
在平面直角坐标系中，画出函数y＝|x2－2x|的图象，再作出直线y＝a，使它们有4个交点，如图，
则实数a的取值范围是(0,1).
1
(共33张PPT)
4.5.2 用二分法求方程的近似解
1．理解二分法的原理及其适用条件．
2．掌握二分法的实施步骤．
3．体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．二分法求函数零点的一般步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的一般步骤如下：
(1)确定x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0(此时零点x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)·f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
1．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难得多，每查一点要爬一次电线杆子，10 km长的线路，大约有200多根电线杆子(如下图)：
(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
(2)在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障？
[答案] (1)首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正确，断定故障在BC段，再取中点D，再测CD和BD
(2)能
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．( )
(3)精确度ε就是近似值．( )
(4)由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
题型一二分法的概念
【典例1】 (1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝x－x
(2)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
[思路导引] 依据二分法的定义进行判断．
[解析] (1)选项A、B、C中的函数可以直接求得零点，而选项D中的函数不可直接求得，必须用二分法求得．
(2)按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.
[答案] (1)D (2)A
二分法的2个适用条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
[针对训练]
1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
[解析] 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.
[答案] C
题型二用二分法求方程的近似解
【典例2】 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．
[思路导引] 确定初始区间，再用二分法求解．
[解] 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，
f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.
[变式] 若本例中的方程改为“lgx＝2－x”，其他条件不变，如何求解？
[解]
在同一坐标系中，作出y＝lgx，y＝2－x的图象如图所示，可以发现方程lgx＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．
设f(x)＝lgx＋x－2，
则f(x)的零点为x0.
用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0?x0∈(1,2)；
f(1.5)<0，f(2)>0?x0∈(1.5,2)；
f(1.75)<0，f(2)>0?x0∈(1.75,2)，
f(1.75)<0，f(1.875)>0?x0∈(1.75,1.875)；
f(1.75)<0，f(1.8125)>0?x0∈(1.75,1.8125)．
∵|1.8125－1.75|＝0.0625<0.1，
∴方程的近似解可取为1.8125.
利用二分法求方程近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
[针对训练]
2．求的近似值(精确度0.1)．
[解] 令＝x，则x3＝3；令f(x)＝x3－3，则就是函数f(x)＝x3－3的零点．因为f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，所以可取初始区间(1,2)，用二分法计算．列表如下：
由于|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，
所以的近似值可取为1.4375.
题型三二分法的实际应用
【典例3】 现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
[解] 先在天平左右各放4个球，有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．
取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端．
①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．
从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；
②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；
③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出．
二分法在实际问题中的应用
(1)二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用．
(2)本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过巧妙取区间，巧妙分析和缩小区间，从而以最短的时间和最小的精力达到目的．
[针对训练]
3．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
[解析] 将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面．从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
[答案] 4
课堂归纳小结
1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．
3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.
1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
[解析] ∵f(－2)＝－3，f(1)＝6，∴f(－2)·f(1)<0.∴初始区间可取[－2,1]，选A.
[答案] A
2．已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 132.1 15.4 －2.31 8.72 －6.31 －125.1 12.6
那么，函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
[解析] ∵f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，f(6)<0，∴f(x)在[1,6]上至少有3个零点．
[答案] C
3．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点
[解析] 由f(1)f(2)f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)三个都为负或只有一个为负，又因为f(0)>0，∴函数f(x)在(0,4)内有零点．
[答案] D
4．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含解的区间是________．
[解析] 令f(x)＝lnx－2＋x，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2>0，f＝ln－<0，∴下一个含解的区间是.
[答案]
5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6000)＝0.200 f(1.5875)＝0.133 f(1.5750)＝0.067
f(1.5625)＝0.003 f(1.5562)＝－0.029 f(1.5500)＝－0.060
据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)．
[解] 由表中f(1.5625)＝0.003，f(1.5562)＝－0.029.
∴f(1.5625)·f(1.5562)<0.
又|1.5625－1.5562|＝0.0063<0.01，
∴一个零点近似值为1.5625(不唯一)．
课后作业(三十五)
复习巩固
一、选择题
1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝lnx＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
[解析] 因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
[答案] C
2．下列函数中表示的函数能用二分法求零点的是( )
[解析] 由于只有图C满足图象连续，且f(a)·f(b)<0，故只有C能用二分法求零点．
[答案] C
3．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
[解析] 用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.
[答案] B
4．设函数y＝x2与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析] 令f(x)＝x2－x－2，
因f(1)＝1－1－2＝1－2<0，
f(2)＝22－0＝4－1>0，
故x0∈(1,2)，故选B.
[答案] B
5．设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的解落在区间( )
A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)
C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)
[解析] 因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)，选C.
[答案] C
二、填空题
6．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
[解析] 因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．
[答案] (2,3)
7．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
[解析] ∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.
[答案] a2＝4b
8．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)≈－2 f(1.5)≈0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.4375)≈0.162 f(1.40625)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为________．
[解析] 依据题意，∵f(1.4375)≈0.162，且f(1.375)≈－0.260，∴方程的一个近似解为1.4.
[答案] 1.4
三、解答题
9．画出函数f(x)＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的解的情况．
[解] 图象如图所示，
因为f(0)＝－1<0，f(2)＝1>0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有解x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)＝－1<0，所以f(1)·f(2)<0，解x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25<0，所以f(1.5)·f(2)<0，解x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.3125>0，所以f(1.5)·f(1.75)<0，解x0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似解．
10．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．
[证明] 由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1,2)．
下面用二分法求解：
区间 中点的值 中点函数近似值
(1,2) 1.5 1.328
(1,1.5) 1.25 0.128
(1,1.25) 1.125 －0.444
(1.125,1.25) 1.1875 －0.160
因为f(1.1875)·f(1.25)<0，且|1.1875－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2.
综合运用
11．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4] B．[－2,1]
C. D.
[解析] 由于第一次所取的区间为[－2,4]，
∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，
第三次所取区间为
，，或.
[答案] D
12．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.0794 0.1918 －0.3604 －0.9989
则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )
A．1.125 B．1.3125
C．1.4375 D．1.46875
[解析] 因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是一个近似解，故选B.
[答案] B
13．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为<0.01.
[答案] B
14．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)
[解析] ∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，
∴方程的解在(0.6875,0.75)上，而|0.75－0.6875|<0.1.
∴方程的一个近似解为0.6875.
[答案] 0.6875
15．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是_____________．
[解析] 第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．
[答案] 1.5,1.75,1.875,1.8125
16．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正实数解(精确度为0.1)．
[解] 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29>0，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)．
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625>0，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)．
由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，
所以原方程的近似正实数解可取为2.25.
1
(共35张PPT)
4．5.3 函数模型的应用
1．能利用已知函数模型求解实际问题．
2．了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．
1．常见的函数模型
建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型，还有常见的以下函数模型：
指数函数模型：y＝b·ax＋c(a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型y＝mlogax＋n(a>0且a≠1，m≠0)．
2．常见的图象对应的数学模型
(1)相邻两点之间的距离变化越来越大时，如图(1)，常选y＝bax＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型．
(2)相邻两点之间的距离越来越近似相等，如图(2)，常选y＝blogax＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型．
(3)点的变化趋势先升后降(或先降后升)，如图(3)，常选二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型．
(4)相邻两点之间等距，如图(4)，常选一次函数y＝kx＋b(k≠0)模型．
1．关于函数模型，我们该如何选择哪种类型的函数来描述？
[答案] 指数函数模型增长越来越快，呈爆炸性增长，而对数函数模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．直线型的函数增长速度均匀不变
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数刻画的方法可以用图象法，也可以用解析式法．( )
(2)在对数函数模型中，底数的范围影响其单调性．( )
(3)函数y＝·3x＋1属于幂函数模型．( )
(4)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为y＝2x＋1.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
题型一利用已知函数模型解决实际问题
【典例1】 我们知道，人们对声音有着不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平LI表示，它们满足以下公式：
LI＝10·lg(单位为分贝，LI≥0，其中I0＝1×10－12，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．
回答以下问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度I的范围．
[解] (1)由题意可知树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12 W/m2，则＝1，∴LI1＝10×lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I2＝1×10－10 W/m2，则＝102；∴LI2＝10×lg102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I3＝1×10－8 W/m2，则＝104，∴LI3＝10×lg104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝．
(2)由题意知0≤LI<50，即0≤10lg<50，∴1≤<105，即10－12≤I<10－7.故新建的安静小区的声音强度I大于或等于10－12 W/m2，小于10－7 W/m2.
利用已知函数模型解决实际问题的解题要点
解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．
[针对训练]
1．灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98℃.已知某种奶粉必须用不低于85℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20℃)
[解] 根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k，
整理得e－60k＝.
利用计算器，解得k＝0.0004222.
故θ＝20＋80e－0.0004222t.
从早上六点至中午十二点共过去6小时，即360分钟．
当t＝360时，θ＝20＋80e－0.0004222×360＝20＋80e－0.152，
由计算器算得θ≈89℃>85℃，
即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉.
题型二自建函数模型解决实际问题
【典例2】 目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
[思路导引] 已知条件中年平均增长率为1.2%，建立指数模型求解．
[解] (1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100·(1＋1.2%)3；
…
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人．
(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012≈15.3.
因为x为年份，根据实际意义知，大约16年后该县的人口总数将达到120万．
可以用指数函数模型来解决的几类问题
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来解决．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
[针对训练]
2．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
[解] (1)由题意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝
题型三拟合数据构建函数模型解决实际问题
【典例3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.
年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷)
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象．
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象．
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
[思路导引] 借助散点图，探求函数模型，根据拟合函数解决问题．
[解] (1)描点、作图，如图(甲)所示：
(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x.则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷．
[变式] 若本例(3)中估计若今年最大积雪深度改为30 cm，问可以灌溉土地多少公顷？
[解] 由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则由y＝2.2＋1.8×30，求得y＝56.2，即当最大积雪深度为30 cm时，可以灌溉土地约为56.2公顷．
建立拟合函数的方法策略
根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择合适的函数模型，并求解新的问题．
[针对训练]
3．某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份 2016 2017 2018
产量 8(万) 18(万) 30(万)
如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
[解] 建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．
①构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点坐标代入，
可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，与计划误差为1.
②构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点坐标代入，可得
解得a＝，b＝，c＝－42，
则g(x)＝·x－42，
故g(4)＝·4－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由①②可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．
1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
[解析] 当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.
[答案] C
2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
[解析] 由题意可知函数模型为指数函数，故选D.
[答案] D
3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的关系用图象表示为图中的( )
[答案] B
4．一种产品原来的成本价为a元，计划每年降低p%，则成本y随年数x变化的函数关系式是________．
[解析] 当x＝1时，y＝a(1－p%)；当x＝2时，y＝a(1－p%)2；当x＝3时，y＝a(1－p%)3；….故成本y随年数x变化的函数关系式是y＝a(1－p%)x.
[答案] y＝a(1－p%)x
5.如图所示，由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有a L水，桶2中无水，t分钟后，桶1中剩余水为y1 L，满足函数关系式y1＝ae－nt，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过________分钟，桶1中的水只有 L.
[解析] 由题意，可得ae－5n＝，n＝ln2，令ae－tln2＝，得t＝15，从而再经过10分钟，桶1中的水只有 L.
[答案] 10
课后作业(三十六)
复习巩固
一、选择题
1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A. B.
C.－1 D.－1
[解析] 设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，
则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.
[答案] D
2．有一组实验数据如下表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
[解析]
可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.
[答案] C
3．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
[解析] 由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
[答案] A
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10
C．lg10.1 D．10－10.1
[解析] 两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，令m2＝－1.45，m1＝－26.7，
则lg＝(m2－m1)＝×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而＝1010.1.故选A.
[答案] A
5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
[解析] 由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，
∴＝，t1＝75.
[答案] C
二、填空题
6．某化工厂2018年的年产量是2010年年产量的n倍，则该化工厂这几年的年平均增长率是________．
[解析] 设2010年年产量是a，则2018年年产量是na，设年平均增长率为x，则na＝a(1＋x)8，解得x＝－1.
[答案] －1
7．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．
[解析] 由题意，得②÷①，得e22k＝(e11k)2＝，故e11k＝.故食品在33℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝(e11k)3×eb＝3×192＝24(小时)．
[答案] 24
8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
[解析] ∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得
∴y＝－2×(0.5)x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
[答案] 1.75
三、解答题
9．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[解] (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2.解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入公式得：v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s.
10．我国某种南方植物生长时间(单位：年)与高度(单位：米)如下表所示：
生长时间 2 4 5 8 9
高度 2.01 3.01 3.50 4.99 5.47
(1)试猜测生长时间与高度之间的函数关系，并近似地写出一个函数关系式；
(2)利用关系式估计该植物长成高50米的参天大树需要多少年．
[解]
(1)设生长时间为x年，高度为y米，根据表格中的数据，在平面直角坐标系中进行描点，如图所示．从图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择一次函数建立数学模型．
故所求的函数关系式可设为y＝kx＋b(其中k≠0，x∈N＋)．
把直线通过的两点(5,3.50)和(9,5.47)代入上式，得方程组
解得
因此所求的函数关系式为y＝0.4925x＋1.0375(x∈N＋)．
分别将x＝2，x＝4，x＝8代入上式，得y的相应值分别为2.0225,3.0075,4.9775，与实际值相比，误差不超过0.02米，因此建立的函数模型能反映该植物生长时间与高度之间的函数关系．
(2)令0.4925x＋1.0375＝50，解得x≈100，即该植物大约要经过100年才能长成高50米的参天大树．
综合运用
11.为了预防甲型H1N1等流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示．
(1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式；
(2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室．
[解] (1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，即药物从开始释放到完毕，y＝10t；
当t＝0.1时，即药物释放完毕，由1＝0.1－a，得a＝0.1，
∴当t>0.1时，y＝t－0.1.
∴y＝
(2)由题意可知，t－0.1<0.25，得t>0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室．
12．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)．日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示：
x(天) 10 20 25 30
Q(x)(件) 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121百元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N＋)(百元)的最小值．
[解] (1)依题意知第10天的日销售收入为
P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1.
(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.
从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)，经检验，其他数据也符合该解析式，故该函数的解析式为Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)．
(3)由(2)知
当1≤x<25时，y＝x＋在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121；
当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124.
综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121.
从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元．
1
