(共41张PPT)
5．1.1 任意角
1．了解任意角的概念及角的分类．
2．理解象限角的概念．
3．理解终边相同的角的概念，并能熟练写出终边相同的角的集合表示．
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的表示
如图，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角α，射线OA，OP分别是角α的始边和终边．
“角α”或“∠α”可以简记成“α”．
(3)角的分类
(4)相等角与相反角
①设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.
②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
③设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.
④角的减法可以转化为角的加法．
2．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
温馨提示：对终边相同的角的理解
(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．
(2)k·360°与α中间用“＋”连接，如k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．
1．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？
[答案] 不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°
2．初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？
[答案] 不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当角的始边和终边确定后，这个角就确定了．( )
(2)－30°是第四象限角．( )
(3)钝角是第二象限的角．( )
(4)终边相同的角一定相等．( )
(5)第一象限的角是锐角．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
题型一任意角的概念
【典例1】 下列命题正确的是( )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
[思路导引] 对角的概念的理解关键是弄清角的终边与始边及旋转方向和大小．
[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．
[答案] C
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
[针对训练]
1．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了________度．
[解析] 由题意可知，时针按逆时针方向转了10×＝5°，分针按逆时针方向转了10×＝60°.
[答案] 5° 60°
题型二终边相同的角的表示
【典例2】 已知角α＝2020°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
[思路导引] 解题关键是理解与角α终边相同的角的表示形式．
[解] (1)由2020°除以360°，得商为5，余数为220°.
∴取k＝5，β＝220°，α＝5×360°＋220°.
又β＝220°是第三象限角，∴α为第三象限角．
(2)与2020°终边相同的角为
k·360°＋2020°(k∈Z)．
令－360°≤k·360°＋2020°<720°(k∈Z)，
解得－6≤k<－3(k∈Z)．
所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2020°中，得角θ的值为－140°，220°，580°.
(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法
先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
(2)求终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在0°～360°范围内相应的角；
②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
③根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁．
[针对训练]
2．如图所示，求终边落在直线y＝x上的角的集合．
[解] 终边落在射线y＝x(x>0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边落在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}.
题型三象限角的判断
【典例3】 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
[思路导引] 作出图形，根据象限角的定义确定．
[解] 作出各角，其对应的终边如图所示．
(1)由图①可知－75°是第四象限角．
(2)由图②可知855°是第二象限角．
(3)由图③可知－510°是第三象限角．
象限角的判断方法
(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角；
(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．
[针对训练]
3．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
[解析] 由α是第二象限的角可得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°<180°－α<90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．
[答案] 一
题型四角，nα(n∈N*)所在象限的确定
【典例4】 若α是第二象限角，则是第几象限的角？
[思路导引] 已知角α是第几象限角，判断所在象限，主要方法是解不等式并对k进行分类讨论，考查角的终边位置．
[解] ∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)．
解法一：①当k＝2n(n∈Z)时，
45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，即是第一象限角；
②当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，即是第三象限角．
故是第一或第三象限角．
解法二：∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为y轴的角，
∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)表示如图中阴影部分图形．即是第一或第三象限角．
[变式] (1)若本例条件不变，求角2α的终边的位置．
(2)若本例中的α改为第一象限角，则2α，分别是第几象限角？
[解] (1)∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
(2)因为α是第一象限角，
所以k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z.
所以2k·360°<2α<180°＋2k·360°，k∈Z.
所以2α是第一或第二象限角，或是终边落在y轴的正半轴上的角．
同理，k·180°<<45°＋k·180°，k∈Z.
当k为偶数时，为第一象限角，
当k为奇数时，为第三象限角．
分角、倍角所在象限的判定思路
(1)已知角α终边所在的象限，确定终边所在的象限用分类讨论法，要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．
(2)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．
[针对训练]
4．已知α是第一象限角，则角的终边可能落在________．(填写所有正确的序号)
①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限
[解析] ∵α是第一象限角，
∴k·360°<α∴·360°<<·360°＋30°，k∈Z.
当k＝3m，m∈Z时，m·360°<∴角的终边落在第一象限．
当k＝3m＋1，m∈Z时，m·360°＋120°<∴角的终边落在第二象限．
当k＝3m＋2，m∈Z时，m·360°＋240°<∴角的终边落在第三象限，故选①②③.
[答案] ①②③
课堂归纳小结
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形
式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．
3．已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的一个角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k·360°，得到所求.
1．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角一定是第一、二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．终边与始边重合的角是零角
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
[解析] A错，若一内角为90°，则不属于任何象限；B错，钝角一定是第二象限角；C错，若角的终边作了旋转，则不是零角；D对．
[答案] D
2．－215°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，故－215°也是第二象限角，选B.
[答案] B
3．已知α为第三象限角，则所在的象限是( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
[解析] 由于k·360°＋180°<α得·360°＋90°<<·360°＋135°，k∈Z.
当k为偶数时，为第二象限角；
当k为奇数时，为第四象限角．
[答案] D
4．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．
[解析] 因为－885°÷360°＝－3…195°，且0°≤α<360°，所以k＝－3，α＝195°，故－885°＝195°＋(－3)·360°.
[答案] 195°＋(－3)·360°
5．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，
(1)有几种终边不相同的角？
(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？
[解] (1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．
(2)令－360°又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，
∴满足条件的角共有8个．
课后作业(三十七)
复习巩固
一、选择题
1．下列是第三象限角的是( )
A．－110° B．－210°
C．80° D．－13°
[解析] －110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角．故选A.
[答案] A
2．与600°角终边相同的角可表示为( )
A．k·360°＋220°(k∈Z)
B．k·360°＋240°(k∈Z)
C．k·360°＋60°(k∈Z)
D．k·360°＋260°(k∈Z)
[解析] 与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝(n＋1)·360°＋240°＝k·360°＋240°，n∈Z，k∈Z.
[答案] B
3．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )
A．BCA B．BAC
C．D(A∩C) D．C∩D＝B
[解析] 显然第一象限角不是都小于90°，且小于90°的角不都在第一象限，故A，B错；0°不属于任何象限，故C错；锐角为小于90°而大于0°的角，∴C∩D＝B，选D.
[答案] D
4．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
[解析] 因为直线y＝－x为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k·360°－45°＝2k·180°－45°，k∈Z；终边落到第二象限可表示为k·360°－180°－45°＝(2k－1)·180°－45°，k∈Z，综上可得终边在直线y＝－x上的所有角的集合为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}．
[答案] D
5．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] ①正确；②正确；③中475°＝360°＋115°，因为115°为第二象限角，所以475°也为第二象限角，正确；④中－315°＝－360°＋45°，因为45°为第一象限角，所以－315°也为第一象限角，正确．
[答案] D
二、填空题
6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
[解析] 顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1080°，
又50°＋(－1080°)＝－1030°，故所得的角为－1030°.
[答案] －1030°
7．已知角α＝－3000°，则与角α终边相同的最小正角是________．
[解析] 设与角α终边相同的角为β，
则β＝－3000°＋k·360°，k∈Z，
又因为β为最小正角，故取k＝9，
则β＝－3000°＋360°×9＝240°.
[答案] 240°
8．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是______________________．
[解析] 因为α与β的终边在一条直线上，所以α与β相差180°的整数倍．
[答案] α＝β＋k·180°，k∈Z
三、解答题
9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．
(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.
[解] (1)∵－120°＝240°－360°，
∴在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角．
(2)∵660°＝300°＋360°，
∴在0°～360°范围内，与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限的角．
(3)∵－950°08′＝129°52′－3×360°，
∴在0°～360°范围内，与－950°08′终边相同的角是129°52′，它是第二象限的角．
10．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OB上；
(2)终边落在直线OA上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
[解] (1)终边落在射线OB上的角的集合为
S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在直线OA上的角的集合为
S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．
(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．
综合运用
11．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在( )
A．x轴的非负半轴 B．y轴的非负半轴
C．x轴的非正半轴 D．y轴的非正半轴
[解析] ∵角α，β终边相同，∴α＝k·360°＋β(k∈Z)，∴α－β＝k·360°(k∈Z)，故α－β的终边在x轴的非负半轴上．
[答案] A
12．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )
A．第一象限角 B．第一、二象限角
C．第一、三象限角 D．第一、四角限角
[解析] 由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．
[答案] C
13．已知角α的终边与角－690°的终边关于y轴对称，则角α＝____________________.
[解析] －690°＝－720°＋30°，则角α的终边与30°角的终边关于y轴对称，而与30°角的终边关于y轴对称的角可取150°，故α＝k·360°＋150°，k∈Z.
[答案] k·360°＋150°，k∈Z
14．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.
[解析] ∵α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.
又∵－990°<α<－630°，
∴－990°即－1110°当k＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.
[答案] －960°
15．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
[解] 由题意可知，
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，
∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴，
∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
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(共32张PPT)
5．1.2 弧度制
1．了解弧度制．
2．能进行角度与弧度的互化．
3．能利用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式进行求解．
1．角的单位制
(1)角度制
规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝.
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
2．角度与弧度的换算
3．扇形的弧长公式及面积公式
温馨提示：(1)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．
(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：
①l＝|α|·r，|α|＝，r＝；②S＝|α|r2，|α|＝.
1．在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？
[答案] 不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同
2．扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？
[答案] 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度＝1°.( )
(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．( )
(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( )
(4)与45°终边相同的角可以写成α＝2kπ＋45°，k∈Z.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
题型一角度与弧度的互化
【典例1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
[思路导引] 角度与弧度的互化关键抓住1°＝ rad和1 rad＝°.
[解] (1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
角度制与弧度制互化的原则
牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算．
[针对训练]
1．－630°化为弧度为________．
[解析] －630°＝－630×＝－π.
[答案] －π
2．α＝－3 rad，它是第________象限角．
[解析] 根据角度制与弧度制的换算，1 rad＝°，则α＝－3 rad＝－°≈－171.9°.分析可得，α是第三象限角．
[答案] 三
题型二用弧度制表示终边相同的角
【典例2】 已知角α＝2010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
[思路导引] 利用终边相同的角的集合表示．
[解] (1)2010°＝2010×＝＝5×2π＋，
又π<<，
∴α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成
γ＝＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ<0，
∴当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π.
用弧度制表示终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，这里α应为弧度数．
[针对训练]
3．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈.
[解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，
∴α＝－800°＝＋(－3)×2π.
∵α与角终边相同，∴α是第四象限角．
(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，
∴γ＝2kπ＋，k∈Z，
又γ∈，
∴－<2kπ＋<，k∈Z，
解得k＝－1，∴γ＝－2π＋＝－.
题型三扇形的弧长公式及面积公式的应用
【典例3】 已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形的圆心角的弧度数．
[思路导引] 利用扇形的弧长公式l＝|α|·r及面积公式S＝lr＝|α|r2求解．
[解] 设扇形的圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，所在圆的半径为r.依题意得消去l，得r2－5r＋4＝0，
解得r＝1或r＝4.
当r＝1时，l＝8，此时θ＝8 rad>2π rad，故舍去；
当r＝4时，l＝2，此时θ＝＝ rad，满足题意．
故θ＝ rad.
[变式] 若本例条件改为：“已知扇形AOB的周长为10 cm”，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．
[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
由l＋2r＝10得l＝10－2r，
S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2＝－2＋，
0当r＝时，S取得最大值，
这时l＝10－2×＝5，∴θ＝＝＝2.
故该扇形的面积的最大值为cm2，取得最大值时圆心角为2 rad，弧长为5 cm.
弧度制下涉及扇形问题的攻略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解．
[针对训练]
4．已知扇形的圆心角为108°，半径等于30 cm，求扇形的弧长和面积．
[解] ∵108°＝108×＝，
所以扇形的弧长为×10＝6π(cm)，
扇形的面积为××302＝270π(cm2)．
课堂归纳小结
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°
＝π rad”这一关系式．
易知：度数×rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.
1．下列说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
[解析] “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以A正确.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的，所以B正确．因为1 rad＝°>1°，所以C正确．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，所以D错误．
[答案] D
2．2100°化成弧度是( )
A. B．10π
C. D.
[解析] 2100°＝2100×＝.
[答案] A
3．角－π的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] －π＝－4π＋π，π的终边位于第四象限，故选D.
[答案] D
4．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad.
[解析] 根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为＝2 rad.
[答案] 2
5．已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________ cm2.
[解析] 设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.
故扇形的面积S＝lr＝×4×2＝4 cm2.
[答案] 4
课后作业(三十八)
复习巩固
一、选择题
1．－转化为角度是( )
A．－300° B．－600°
C．－900° D．－1200°
[解析] 由于－＝°＝－600°，所以选B.
[答案] B
2．与30°角终边相同的角的集合是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] ∵与30°角终边相同的角表示为α＝k·360°＋30°，k∈Z，化为弧度为α＝2kπ＋，k∈Z，∴选D.
[答案] D
3．下列说法正确的是( )
A．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系
B．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应
C．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同
D．－120°的弧度数是
[解析] A项中，零角的弧度数为0，故A项错误；B项是正确的；C项中，用角度制和弧度制度量零角时，单位不同，但数量相同(都是0)，故C项错误；－120°对应的弧度数是－，故D项错误．故选B.
[答案] B
4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 设扇形所在圆的半径为R，则2＝×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1.∴扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.故选C.
[答案] C
5．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
[解析] 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.故选C.
[答案] C
二、填空题
6．将－1485°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是_________．
[解析] ∵－1485°＝－5×360°＋315°，而315°＝π，
∴应填－10π＋π.
[答案] －10π＋π
7．若扇形的半径为1，圆心角为3弧度，则扇形的面积为________．
[解析] 由于扇形面积S＝αr2＝×3×12＝，故扇形的面积为.
[答案]
8．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________________________．
[解析] 设两个角的弧度数分别为x，y.因为1°＝ rad，所以解得所以所求两角的弧度数分别为＋，－.
[答案] ＋，－
三、解答题
9．已知α＝1690°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．
[解] (1)1690°＝1440°＋250°
＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.
(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π，
∴－∴θ的值是－π，－π，π，π.
10．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求：
(1)这个圆心角所对的弧长；
(2)这个扇形的面积．
[解] (1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r＝＝，
所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝.
(2)由(1)得扇形的面积S＝××＝.
综合运用
11．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A．－ B．－
C. D.
[解析] ∵－＝－2π－，∴－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的．
[答案] A
12．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于( )
A．?
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
[解析] A集合中满足B集合范围的只有k＝0或k＝－1的一部分，即只有D选项满足．故选D.
[答案] D
13．若角α，β的终边关于直线y＝x对称，且α＝，则在0～4π内满足要求的β＝________.
[解析] 由角α，β的终边关于直线y＝x对称，及α＝，可得β＝－α＋＋2kπ＝＋2kπ，令k＝0,1可得结果．
[答案] ，
14．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．
[解析] 设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α，则现在的圆的半径为3r弧长为l，设弧所对的圆心角为β，于是l＝αr＝β·3r，∴β＝α.
[答案]
15．如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
[解] 设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，
则t·＋t·＝2π.解得t＝4.
所以第一次相遇时所用的时间是4秒．
第一次相遇时点P已经运动到角·4＝的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角－的终边与圆交点的位置，所以点P走过的弧长为×4＝，
点Q走过的弧长为×4＝×4＝.
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