(共31张PPT)
第1课时 诱导公式二、三、四
1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．
2．理解诱导公式的推导过程．
3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
1．诱导公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα，
cos(π＋α)＝－cosα，
tan(π＋α)＝tanα.
2．诱导公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．
如右图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sinα.
cos(－α)＝cosα.
tan(－α)＝－tanα.
3．诱导公式四
(1)角π－α与角α的终边关于
_y__轴对称．如右图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sinα.
cos(π－α)＝－cosα.
tan(π－α)＝－tanα.
4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
1．设α为锐角，则180°－α，180°＋α，360°－α分别是第几象限角？
[答案] 分别为第二、三、四象限角
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角. ( )
(2)公式sin(－α)＝－sinα，α是锐角才成立．( )
(3)公式tan(π＋α)＝tanα中，α＝不成立．( )
(4)在△ABC中，sinA＝sin(B＋C)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
题型一给角求值问题
【典例1】 求下列三角函数值：
(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos.
[思路导引] 利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角(一般为特殊角)的三角函数．
[解] (1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－.
(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)
＝tan225°＝tan(180°＋45°)
＝tan45°＝1.
(3)cos＝cos
＝cos＝cos＝.
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[针对训练]
1．计算：(1)tan＋tan＋tan＋tan；
(2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.
[解] (1)原式＝tan＋tan＋tan＋
tan＝tan＋tan－tan－tan＝0.
(2)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－－cos45°－tan45°＝－－－1＝－.
题型二化简求值问题
【典例2】 化简：(1)；
(2).
[思路导引] 利用诱导公式一～四化简．
[解] (1)
＝＝＝＝1.
(2)原式
＝
＝＝＝－1.
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
[针对训练]
2．化简下列各式．
(1)；
(2).
[解] (1)原式＝
＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝.
题型三给值(式)求值问题
【典例3】 若sin(π＋α)＝，α∈，则tan(π－α)等于( )
A．－ B．－
C．－ D.
[思路导引] 要寻找已知角与未知角之间的联系，然后采用诱导公式使未知角的三角函数用已知角的三角函数表示，从而得出结论．
[解析] 因为sin(π＋α)＝－sinα，
根据条件得sinα＝－，
又α∈，∴cosα>0，
所以cosα＝＝.
所以tanα＝＝－＝－.
所以tan(π－α)＝－tanα＝.故选D.
[答案] D
[变式] (1)若本例把条件变为cos(2π－α)＝，且α∈，则tan(π－α)＝________.
(2)若本例改为已知sin＝，则sin的值为________．
[解析] (1)因为cos(2π－α)＝cosα＝，α∈，所以sinα＝－＝－，
则tan(π－α)＝－tanα＝－
＝－＝＝.
(2)sin＝sin
＝sin＝.
[答案] (1) (2)
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
[针对训练]
3．已知α为第二象限角，且sinα＝，则tan(π＋α)的值是( )
A. B.
C．－ D．－
[解析] 因为sinα＝且α为第二象限角，
所以cosα＝－＝－，
所以tanα＝＝－.所以tan(π＋α)＝tanα＝－.故选D.
[答案] D
课堂归纳小结
1.四组诱导公式的记忆
四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是为了公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
2.四组诱导公式的作用
公式一的作用：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范
围内的角；
公式二的作用：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数；
公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数；
公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.
1．若cos(π＋α)＝－，则cosα的值为( )
A. B．－
C. D．－
[解析] cos(π＋α)＝－cosα，所以cosα＝.故选A.
[答案] A
2．sin585°的值为( )
A．－ B. C．－ D.
[解析] sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin45°
＝－.故选A.
[答案] A
3．以下四种化简过程，其中正确的有( )
①sin(360°＋200°)＝sin200°；②sin(180°－200°)＝－sin200°；③sin(180°＋200°)＝sin200°；④sin(－200°)＝sin200°.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] 由诱导公式一知①正确；由诱导公式四知②错误；由诱导公式二知③错误；由诱导公式三知④错误．
[答案] B
4．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－ B. C．± D.
[解析] ∵sin(π＋α)＝－sinα＝，∴sinα＝－，
且α为第四象限角，∴cosα＝＝.
又∵cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cosα＝，∴选B.
[答案] B
5．化简：.
[解] 原式＝
＝＝tanθ.
课后作业(四十一)
复习巩固
一、选择题
1．cos的值为( )
A．－ B. C．－ D.
[解析] cos＝cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－，故选C.
[答案] C
2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )
A．1 B．2sin2α
C．0 D．2
[解析] ∵原式＝sin2α－(－cosα·cosα)＋1
＝sin2α＋cos2α＋1＝2，∴选D.
[答案] D
3．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A. B．±
C. D．－
[解析] 由cos(π＋α)＝－，得cosα＝，故sin(2π＋α)＝sinα＝－＝－(α为第四象限角)．
[答案] D
4．已知a＝cos，b＝sin，则a，b的大小关系是( )
A．aC．a>b D．不能确定
[解析] ∵a＝cos＝cos＝cos＝，
b＝sin＝－sin＝－sin＝－，
∴a>b.
[答案] C
5．已知α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sinα＝sinβ B．sin(α－2π)＝sinβ
C．cosα＝cosβ D．cos(2π－α)＝－cosβ
[解析] 由α和β的终边关于x轴对称，故β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cosα＝cosβ.
[答案] C
二、填空题
6．sin600°＋tan240°＝________.
[解析] sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－＋＝.
[答案]
7．化简：＝________.
[解析] ＝＝＝|sin2－cos2|，因2弧度在第二象限，故sin2>0>cos2，所以原式＝sin2－cos2.
[答案] sin2－cos2
8．已知sin＝m，则cos＝________.
[解析] 因为sin＝sin
＝sin＝m，且∈，
所以cos＝.
[答案]
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)cos＋cos＋cos＋cos；
(2)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
[解] (1)原式＝＋
＝＋
＝＋＝0.
(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝×＋×＝1.
10．化简：(1)；
(2).
[解] (1)原式＝·cosα
＝＝＝－cos2α.
(2)原式＝＝－cosθ.
综合运用
11．已知tan＝，则tan等于( )
A. B．－
C. D．－
[解析] 因为tan＝tan
＝－tan，
所以tan＝－.故选B.
[答案] B
12．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于( )
A．－m B．－m
C.m D.m
[解析] 因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sinα＝－m，
所以sinα＝，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)
＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－m.故选B.
[答案] B
13．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，则sin(105°＋α)＝________.
[解析] 因为a是第四象限角且cos(α－75°)＝－<0，
所以α－75°是第三象限角，
所以sin(α－75°)＝－，
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
[答案]
14．已知tan(π＋α)＝－，则＝
________.
[解析] tan(π＋α)＝－，则tanα＝－，
原式＝
＝＝
＝＝－.
[答案] －
15．化简：(k∈Z)．
[解] 当k为奇数时，不妨设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝
＝＝＝－1；
当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z.
则原式＝
＝
＝＝－1.
综上，＝－1.
1
(共34张PPT)
第2课时 诱导公式五、六
1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、六的推导过程．
2．运用公式五、六进行有关计算与证明．
3．掌握六组诱导公式并能灵活运用．
1．在△ABC中，角与角的三角函数值满足哪些等量关系？
[答案] ∵A＋B＋C＝π，
∴＝－，
∴sin＝sin＝cos，
cos＝cos＝sin
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α可以是任意角．( )
(2)sin(90°＋α)＝－cosα.( )
(3)sin＝cosα.( )
(4)若α＋β＝90°，则sinα＝cosβ.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
题型一利用诱导公式化简求值
【典例1】 (1)已知cos＝－，且α是第二象限角，则sin的结果是( )
A. B．－ C．± D.
(2)化简：＝________.
[思路导引] 利用诱导公式先化简再求值．
[解析] (1)∵cos＝－sinα＝－
∴sinα＝，且α是第二象限角
∴cosα＝－＝－.
而sin＝－sin
＝－(－cosα)＝cosα＝－
(2)原式＝
＝＝tanα
[答案] (1)B (2)tanα
用诱导公式进行化简时的注意点
(1)化简后项数尽可能的少．
(2)函数的种类尽可能的少．
(3)分母不含三角函数的符号．
(4)能求值的一定要求值．
(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
[针对训练]
1．已知cosθ＝－，则sin＝________.
[解析] sin＝cosθ＝－.
[答案] －
2．化简：·sincos.
[解] 原式＝·sin(－sinα)
＝·(－sinα)
＝·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.
题型二利用诱导公式证明三角恒等式
【典例2】 求证：＝－tanα.
[思路导引] 应先利用诱导公式化简较复杂的左边的式子，使其等于右边．
[证明] 左边＝
＝
＝＝－tanα＝右边，
所以原等式成立．
三角式恒等证明的原则
对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
[针对训练]
3．求证：＝.
[证明] 右边＝
＝
＝
＝
＝＝＝左边，
所以原等式成立.
题型三诱导公式的综合应用
【典例3】 (1)已知cos＝，求cos·sin的值．
(2)已知cosα＝－，且α为第三象限角．求f(α)＝的值．
[思路导引] (1)＋＝π；－α＝π－；＋＝.可利用以上互余、互补关系求解；(2)利用诱导公式化简求值．
[解] (1)cos·sin
＝cos·sin
＝－cos·sin
＝－cos·sin
＝－cos·cos
＝－×＝－.
(2)因为cosα＝－，且α为第三象限角，
所以sinα＝－＝－＝－.
所以f(α)＝＝tanαsinα＝·sinα
＝×＝－.
(1)整体代换，寻找角之间的关系：对于一些给值(式)求值问题，要注意已知角与未知角的关系，即发现它们之间是否满足互余或互补，若满足，则可以进行整体代换，用诱导公式求解．
①常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．
②常见的互补关系有：＋α与π－α；＋α与π－α等．
(2)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(3)对于π±α和±α这两组诱导公式，切记运用前一组公式不变名，而运用后一组公式必须变名．
[针对训练]
4．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )
A. B.
C．－ D．－
[解析] sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－.故选D.
[答案] D
5．已知f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若α为第三象限角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝
＝＝－cosα
(2)∵cos＝－sinα＝，∴sinα＝－，
又∵α为第三象限角，
∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝.
(3)f＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
课堂归纳小结
1．诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
2．诱导公式一～六可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”
(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的.
(2)“奇”、“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．
(3)“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号.
1．sin165°等于( )
A．－sin15° B．cos15°
C．sin75° D．cos75°
[解析] ∵sin165°＝sin(90°＋75°)＝cos75°.∴选D.
[答案] D
2．已知sin＝，那么cosα＝( )
A．－ B．－
C. D.
[解析] sin＝sin＝sin＝cosα＝.
[答案] C
3．如果cos(π＋A)＝－，那么sin＝( )
A．－ B. C．－ D.
[解析] ∵cos(π＋A)＝－cosA＝－，∴cosA＝，
∴sin＝cosA＝，故选B.
[答案] B
4．已知sin＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
[解析] ∵cos＝cos
＝sin＝.∴选C.
[答案] C
5．已知tanθ＝2，求的值．
[解]
＝＝＝＝＝－2.
课后作业(四十二)
复习巩固
一、选择题
1．下列各式中，不正确的是( )
A．sin(180°－α)＝sinα
B．cos＝sin
C．cos＝－sinα
D．tan(－α)＝－tanα
[解析] 由诱导公式知A、D正确．
cos＝cos
＝－cos＝－sinα，故C正确．
cos＝cos
＝－sin，故B不正确．
[答案] B
2．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由于sin＝cosθ<0，cos＝sinθ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
[答案] B
3．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于( )
A．－ B.
C. D．－
[解析] 因为sin(3π＋α)＝－sinα＝－，所以sinα＝，所以cos＝cos＝－cos＝－sinα＝－.
[答案] A
4．已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是( )
A. B.
C．－ D．－
[解析] sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)
＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°
＝＝.
[答案] B
5.等于( )
A．－cosα B．cosα
C．sinα D．－sinα
[解析] 原式＝
＝＝－cosα.故选A.
[答案] A
二、填空题
6．化简的结果为________．
[解析] ＝
＝
＝＝cos50°.
[答案] cos50°
7．已知cosα＝，则sin·costan(π－α)＝________.
[解析] sincostan(π－α)
＝－cosαsinα(－tanα)＝sin2α＝1－cos2α
＝1－2＝.
[答案]
8．若sin＝，则cos＝________.
[解析] cos＝cos
＝－sin＝－.
[答案] －
三、解答题
9．求证：＋
＝.
[证明] 左边＝＋
＝＋＝
＝＝＝右边．
∴原式成立．
10．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
[解] 原式＝
·tan2α
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α.
方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，又α是第三象限角，∴sinα＝－，cosα＝－，∴tanα＝，故原式＝－tan2α＝－.
综合运用
11．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89 B．90 C. D．45
[解析] ∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…
∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.
[答案] C
12．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cosA＝－cos(π－B)，则C＝________.
[解析] 由题意得
由①得tanA＝，故A＝.
由②得cosB＝＝，故B＝.故C＝.
[答案]
13．已知f(α)＝，则f的值为________．
[解析] ∵f(α)＝＝cosα，
∴f＝cos＝cosπ
＝cos＝cos＝.
[答案]
14．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin15°)＝________.
[解析] f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－.
[答案] －
15．已知cos(15°＋α)＝，α为锐角，求的值．
[解] 原式＝
＝
＝－＋
.
因为α为锐角，所以0°<α<90°，所以15°<α＋15°<105°.
又cos(15°＋α)＝，所以sin(15°＋α)＝，
故原式＝－＋＝.
1
