(共27张PPT)
5．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1．了解正弦函数、余弦函数的图象．
2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．
3．能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．
1．正弦曲线
正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法
①利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
3．余弦曲线
余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
4．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cosx＝sin.
(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
温馨提示：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．
(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝cosx的图象与y轴只有一个交点．( )
(2)将正弦曲线向右平移个单位就得到余弦曲线．( )
(3)函数y＝sinx，x∈的图象与函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )
(4)函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]k∈Z，且k≠0的图象与y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状完全一致．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
题型一用“五点法”作简图
【典例1】 用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．
[思路导引] 利用“五点法”作函数简图时，应先列表，再描点，再连线．
[解] (1)列表：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
sinx－1 －1 0 －1 －2 －1
描点连线，如图所示．
(2)列表：
x 0 π 2π
cosx 1 0 －1 0 1
2＋cosx 3 2 1 2 3
描点连线，如图所示．
用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤
(1)列表
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
y y1 y2 y3 y4 y5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
[针对训练]
1．利用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]；
(2)y＝1－cosx，x∈[0,2π]．
[解] (1)列表：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
1＋2sinx 1 3 1 －1 1
在直角坐标系中描出五点(0,1)，，(π，1)，，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．如图．
(2)列表：
x 0 π 2π
cosx 1 0 －1 0 1
1－cosx 0 1 2 1 0
在直角坐标系中，描出五点(0,0)，，(π，2)，，(2π，0)，然后并用光滑的曲线连接起来，就得到y＝1－cosx，x∈[0,2π]的图象．如图．
题型二正、余弦函数图象的简单应用
【典例2】 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sinx≥；(2)cosx≤.
[思路导引] 先在[0,2π]上找到使等式成立的关键点，再依据图象或三角函数线找到不等式的解．
[解] (1)作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z.
(2)作出余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为
，k∈Z.
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)；
(2)在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
[针对训练]
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝lg(－cosx)；(2)y＝.
[解] (1)为使函数有意义，则需要满足－cosx>0，即cosx<0.
由余弦函数图象可知满足条件的x为＋2kπ
.
(2)为使函数有意义，则需要满足2sinx－≥0，即sinx≥.由正弦函数图象可知满足条件的x为＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
所以原函数定义域为.
课堂归纳小结
1．本节课要牢记正、余弦函数图象中“五点”的确定
y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：(1)图象与x轴的交点；(2)图象上的最高点和最低点．
2．用“五点法”在[0,2π]内做出正、余弦函数的简图，再通过平移即可得到正、余弦曲线.
1．用“五点法”画y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )
A. B.
C．(π，0) D．(2π，0)
[解析] 五个关键点为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，故选A.
[答案] A
2．对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与x轴有无数多个交点；
③与y＝sinx的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] 如图所示为y＝cosx的图象．
可知三项描述均正确．
[答案] D
3．函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是( )
[解析] 列表
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
1－sinx 1 0 1 2 1
描点与选项比较，可知选B.
[答案] B
4．在[0,2π]内，不等式sinx<－的解集是( )
A．(0，π) B.
C. D.
[解析] 画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象如下：
因为sin＝，所以sin＝－，sin＝－.
即在[0,2π]内，满足sinx＝－的是x＝或x＝.
由图可知不等式sinx<－的解集是.
[答案] C
5．画出函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象，并利用图象判断与直线y＝的交点个数．
[解] 在同一坐标系内画出y＝1＋sinx和y＝的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.
课后作业(四十三)
复习巩固
一、选择题
1．用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，π，2π B．0，，，π，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
[解析] 由五点作图法，令2x＝0，，π，π，2π，解得x＝0，，，π，π.
[答案] B
2．函数y＝－cosx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A. B．(π，1)
C．(0,1) D．(2π，1)
[解析] 用五点作图法作出函数y＝－cosx(x>0)的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．
[答案] B
3．函数y＝－sinx，x∈的简图是( )
[解析] 将x＝－代入y＝－sinx中，
得y＝－sin＝sin＝1.
故排除A、B、C，故选D.
[答案] D
4．使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] ∵－2sinx≥0，∴sinx≤，作出y＝sinx在内的图象，如图所示，则满足条件的x∈.∴使不等式成立的x的取值范围为.
[答案] C
5．方程x＋sinx＝0的根有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
[解析] 设f(x)＝－x，g(x)＝sinx，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sinx＝0仅有一个根．
[答案] B
二、填空题
6．已知函数f(x)＝3＋2cosx的图象经过点，则b＝________.
[解析] 由题意知，b＝3＋2cos＝3＋2×＝4.
[答案] 4
7．不等式cosx<0，x∈[0,2π]的解集为________．
[解析] 由y＝cosx，x∈[0,2π]的图象知cosx<0的解为.
[答案]
8．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________.
[解析] 解法一：y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点坐标为和，故x1＋x2＝＋＝＝3π.
解法二：∵A、B两点关于x＝对称，∴x1＋x2＝2×＝3π.
[答案] 3π
三、解答题
9．用“五点法”作出函数y＝cos，x∈的图象．
[解] 找出五个关键点，列表如下：
u＝x＋ 0 π 2π
x －
y＝cosu 1 0 －1 0 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
10．求函数y＝＋的定义域．
[解] 由
得
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，即函数y＝＋的定义域为(k∈Z)．
综合运用
11．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
[解析] y＝cosx＋|cosx|
＝故选D.
[答案] D
12．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
[解析] 求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．
f(x)＝|x|和g(x)＝cosx的图象显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．故选C.
[答案] C
13．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________．
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图象，由图易得－[答案]
14．关于三角函数的图象，有下列命题：
①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确命题的序号是________．
[解析] 对②，y＝cos(－x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cosx，故其图象关于y轴对称，由作图可知①③均不正确．
[答案] ②④
15．若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．
[解] 观察图可知，图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形；有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cosx的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积，因为|OA|＝2，|OC|＝2π，
所以S矩形OABC＝2×2π＝4π.
所以所求封闭图形的面积为4π.
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(共36张PPT)
第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)
1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．
2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．
3．掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．
1．周期函数
(1)周期函数的概念
(2)最小正周期
温馨提示：对周期函数的三点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．
(3)并非所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
1．生活中，有很多“周而复始”的现象，你能举出几个常见的例子吗？
[答案] 每天的日出日落，四季更替，每周上课用的课程表等
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于sin＝sin，则是函数y＝sinx的一个周期．( )
(2)因为sin＝sin，所以函数y＝sin的周期为4π.( )
(3)对任意实数x，若有f(x＋1)＝f(x)，则f(x)是周期函数，T＝1是f(x)的一个周期．( )
(4)函数y＝sin是奇函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
题型一正、余弦函数的周期性
【典例1】 求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝cos；(2)f(x)＝|sinx|.
[思路导引] 求三角函数周期时可利用定义f(x＋T)＝f(x)，也可用公式T＝，还可以利用图象求解．
[解] (1)解法一：定义法
∵f(x)＝cos＝cos
＝cos＝f(x＋π)，
即f(x＋π)＝f(x)，
∴函数f(x)＝cos的最小正周期为π.
解法二：公式法
∵y＝cos，∴ω＝2.又T＝＝＝π.
∴函数f(x)＝cos的最小正周期为π.
(2)解法一：定义法
∵f(x)＝|sinx|，
∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π.
解法二：图象法
函数y＝|sinx|的图象如图所示，
由图象可知最小正周期为π.
求三角函数最小正周期的方法
(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．
[针对训练]
1．求下列函数的周期．
(1)y＝3sin；
(2)y＝|cosx|.
[解] (1)∵y＝3sin，∴ω＝.
又T＝＝＝4，
∴函数y＝3sin的周期T＝4.
(2)∵f(x)＝|cosx|，
∴f(x＋π)＝|cos(x＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|＝f(x)，
∴f(x)＝|cosx|的周期T＝π.
题型二正、余弦函数的奇偶性
【典例2】 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝sin|x|；
(3)f(x)＝＋.
[思路导引] 首先看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)之间的关系．
[解] (1)因为函数的定义域为R，
f(x)＝sin＝－cos，
所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin是偶函数．
(2)因为函数的定义域为R，
f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．
(3)由得cosx＝1，
所以x＝2kπ(k∈Z)，
此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
判断函数奇偶性应把握好2个关键点
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．要特别注意化简前后式子的等价性．
[针对训练]
2．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝xsin；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝sin.
[解] (1)函数f(x)＝xsin的定义域为R.
∵f(x)＝xsin＝xcosx，
∴f(－x)＝(－x)·cos(－x)
＝－xcosx＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)函数应满足1＋sinx≠0，
∴函数的定义域为
.
∵函数的定义域不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(3)f(x)＝sin＝－cos2x，定义域为R.
∵f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数.
题型三正、余弦函数周期性与奇偶性的应用
【典例3】 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，求f的值．
[思路导引] 解决此类问题的关键是利用函数的周期性与奇偶性，将x化到可求值区间内．
[解] ∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin＝.∴f＝.
[变式] 本例中的“偶函数”改为“奇函数”其他条件不变．结果如何？
[解] ∵f(x)最小正周期为π，
∴f＝f＝f.
∵f(x)为奇函数，
∴f＝－f＝－sin＝－，
∴f＝－.
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法
利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．
[针对训练]
3．函数f(x)＝sin是周期为________的________(奇或偶)函数．
[解析] ∵f(x)＝sin＝－sin＝－cos2x，
∴周期T＝＝π，y＝cos2x为偶函数．
故f(x)是周期为π的偶函数．
[答案] π 偶
课堂归纳小结
1．求函数的最小正周期的常用方法
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sinx|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.
2.正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
(3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用.
1．函数y＝2sinx＋5的最小正周期是( )
A. B．π
C．2π D．4π
[解析] 函数y＝2sinx＋5的最小正周期就是函数y＝sinx的最小正周期，即＝2π，故选C.
[答案] C
2．函数y＝cos的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数，又是偶函数
[解析] 函数的定义域为R，且y＝cos＝sinx，故所给函数是奇函数．
[答案] A
3．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
[解析] ∵f(x)＝sin－1
＝－sin－1
＝－cos(πx)－1
∴T＝＝2，而f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
[答案] B
4．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
[解析] 由题意得f＝f
＝f＝－f＝－1.
[答案] B
5．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________．
[解析] 由题意得＝≤2，∴k≥4π.
∴正整数k的最小值为4π.
[答案] 4π
课后作业(四十四)
复习巩固
一、选择题
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sinx B．y＝sin2x
C．y＝cos D．y＝cos4x
[解析] ∵T＝＝，∴|ω|＝4，而ω>0，∴ω＝4.
[答案] D
2．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
[解析] y＝4sin(2x＋π)＝－4sin2x，奇函数图象关于原点对称．
[答案] B
3．函数f(x)＝3sin是( )
A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的偶函数
C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数
[解析] ∵f(x)＝3sin
＝3sin
＝－3sin＝－3cosx
∴T＝＝3π，而f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．
[答案] A
4．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x), f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( )
[解析] 由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.
故选B.
[答案] B
5．函数y＝的奇偶性为( )
A．奇函数 B．既是奇函数也是偶函数
C．偶函数 D．非奇非偶函数
[解析] 由题意知，当1－sinx≠0，
即sinx≠1时，
y＝＝|sinx|，
所以函数的定义域为，
由于定义域不关于原点对称，
所以该函数是非奇非偶函数．
[答案] D
二、填空题
6．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω>0，则ω＝________.
[解析] 依题意得＝，∴ω＝10.
[答案] 10
7．f(x)＝sinxcosx是________(填“奇”或“偶”)函数．
[解析] x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cos(－x)
＝－sinxcosx＝－f(x)，即f(x)是奇函数．
[答案] 奇
8．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
[解析] ∵T＝，
∴f＝f
＝f＝sin＝.
[答案]
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos2x；
(2)f(x)＝sin＋2；
(3)f(x)＝x·cosx.
[解] (1)因为x∈R，
f(－x)＝cos(－2x)＝cos2x＝f(x)，
所以f(x)＝cos2x是偶函数．
(2)因为x∈R，f(x)＝sin＋2＝cos＋2，所以f(－x)＝cos＋2＝cos＋2＝f(x)，所以函数f(x)＝sin＋2是偶函数．
(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cos(－x)＝－x·cosx＝－f(x)，
所以f(x)＝xcosx是奇函数．
10．已知函数y＝cosx＋|cosx|.
(1)画出函数的图象；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
[解] (1)y＝cosx＋|cosx|
＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.
综合运用
11．若函数f(x)＝sin是偶函数，则φ的一个取值为( )
A．2010π B．－
C．－ D．－
[解析] 当φ＝－时，f(x)＝sin＝cosx为偶函数，故选D.
[答案] D
12．函数y＝cos(sinx)的最小正周期是( )
A. B．π
C．2π D．4π
[解析] ∵y＝cos[sin(x＋π)]＝cos(－sinx)
＝cos(sinx)
∴函数y＝cos(sinx)的最小正周期为π.
[答案] B
13．函数f(x)＝sin＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．
[解析] f(x)＝sin＋1
＝cos2x＋1，
∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
∵偶函数图象关于y轴对称，
∴f(x)图象关于y轴对称．
[答案] y轴
14．函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，则
sin＝________.
[解析] ∵函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，∴f(5)＝f(4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1，
则原式＝sin＝－sin＝－1.
[答案] －1
15．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sinx，当x∈时，求f(x)的解析式．
[解] x∈时，3π－x∈，因为x∈时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，
所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈.
1
(共38张PPT)
第2课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1．掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．
2．掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小．
3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
正弦函数、余弦函数的图象和性质
温馨提示：(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
1．正弦函数在上，函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π]上，函数值的变化有什么特点？
[答案] y＝sinx在上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由－1增大到1；在上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到－1；
y＝cosx在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1，在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( )
(2)存在x∈R满足sinx＝.( )
(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cosx仅当x＝0时取得最大值1.( )
(4)函数y＝sinx的增区间恰好是y＝sin(－x)的减区间．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
题型一正、余弦函数的单调性
【典例1】 求下列函数的单调区间．
(1)y＝cos2x；(2)y＝2sin.
[思路导引] 用整体代换法求解．
[解] (1)函数y＝cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.
∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝cos2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.
(2)y＝2sin＝－2sin，
函数y＝－2sin的单调递增、递减区间分别是函数y＝2sin的单调递减、递增区间．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
即函数y＝2sin的单调递增区间为
，k∈Z.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
即函数y＝2sin的单调递减区间为
，k∈Z.
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．
(3)①ω<0时，一般用诱导公式转化为－ω>0后求解；
②若A<0，则单调性相反．
[针对训练]
1．求函数y＝3sin的单调递减区间．
[解] ∵y＝3sin＝－3sin，
∴y＝3sin是增函数时，y＝3sin是减函数．
∵函数y＝sinx在(k∈Z)上是增函数，∴－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴函数y＝3sin的单调递减区间为(k∈Z).
题型二三角函数值的大小比较
【典例2】 比较下列各组数的大小：
(1)sin250°与sin260°；(2)cos与cos.
[思路导引] 利用正、余弦函数的单调性比较大小．
[解] (1)∵函数y＝sinx在[90°，270°]上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin250°>sin260°.
(2)cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos.
∵函数y＝cosx在[0，π]上单调递减，且0<<<π，
∴cos>cos，∴cos>cos.
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．
[针对训练]
2．比较下列各组数的大小．
(1)cos与cos；(2)sin194°与cos160°.
[解] (1)∵cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
而0<<<，
且y＝cosx在上单调递减，
∴cos>cos.即cos>cos.
(2)∵sin194°＝sin(90°＋104°)＝cos104°，
而0°<104°<160°<180°，
且y＝cosx在[0，π]上单调递减．
∴cos104°>cos160°.即sin194°>cos160°.
题型三正、余弦函数的最值
【典例3】 (1)求函数y＝3－4cos，x∈的最大值、最小值及相应的x值．
(2)求函数y＝2sin2x＋2sinx－，x∈的值域．
[思路导引] (1)利用余弦函数的值域确定函数的最值；(2)利用变量代换转化为二次函数求值域，注意变量的范围．
[解] (1)因为x∈，
所以2x＋∈，
从而－≤cos≤1.
所以当cos＝1，即2x＋＝0，
x＝－时，ymin＝3－4＝－1.
当cos＝－，即2x＋＝，x＝时，ymax＝3－4×＝5.
综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；
当x＝时，ymax＝5.
(2)令t＝sinx，因为x∈，
所以≤sinx≤1，即≤t≤1.
所以y＝2t2＋2t－＝22－1，
∵以t为自变量的二次函数在上单调递增，
∴1≤y≤，所以原函数的值域为.
[变式] 将本例(2)中函数改为y＝2cos2x＋2sinx－，其他条件不变，结果如何？
[解] y＝2cos2x＋2sinx－
＝2(1－sin2x)＋2sinx－
＝－2sin2x＋2sinx＋
＝－22＋.
∵x∈，∴sinx∈.所以≤y≤.
故原函数的值域.
三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法
(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
[针对训练]
3．求下列函数的值域：
(1)y＝sin，x∈；
(2)y＝cos2x－4cosx＋5.
[解] (1)因为0≤x≤，
所以0≤2x≤π，
所以－≤2x－≤.
令2x－＝t，
则原式转化为y＝sint，t∈，
由y＝sint的图象知－≤y≤1，
所以所求函数的值域为.
(2)令t＝cosx，则－1≤t≤1.
∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
∴t＝－1时，y取得最大值10，
t＝1时，y取得最小值2.
所以y＝cos2x－4cosx＋5的值域为[2,10]．
课堂归纳小结
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.
2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.
1．函数f(x)＝sin的一个递减区间是( )
A. B．[－π，0]
C. D.
[解析] ∵2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
令k＝0得≤x≤.
又∵?
∴函数f(x)＝sin的一个递减区间为.故选D.
[答案] D
2．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
A．－1,3 B．－1,1
C．0,3 D．0,1
[解析] ∵x∈R，∴x∈R，
∴y＝cosx的值域[－1,1]．
∴y＝1－2cosx的最大值为3，最小值－1.
[答案] A
3．下列关系式中正确的是( )
A．sin11°B．sin168°C．sin11°D．sin168°[解析] ∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，
cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.
由正弦函数的单调性得sin11°即sin11°[答案] C
4．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )
A．y＝cos|x| B．y＝cos|－x|
C．y＝sin D．y＝－sin
[解析] y＝cos|x|在上是减函数，排除A；
y＝cos|－x|＝cos|x|，排除B；y＝sin
＝－sin＝－cosx是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin在(0，π)上是单调递减的．
[答案] C
5．求函数y＝sin(x∈[0，π])的单调递增区间．
[解] ∵y＝sin＝－sin
∴函数的单调增区间即为t＝sin的单调递减区间为2kπ＋≤x－≤2kπ＋
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z
且x∈[0，π]，当k＝0时，≤x≤，
而∩[0，π]＝，
∴y＝sin(x∈[0，π])的单调递增区间为
.
课后作业(四十五)
复习巩固
一、选择题
1．函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值分别为( )
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
[解析] ∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝－＋2kπ(k∈Z)．
[答案] C
2．下列函数在上是增函数的是( )
A．y＝sinx B．y＝cosx
C．y＝sin2x D．y＝cos2x
[解析] 因为y＝sinx与y＝cosx在上都是减函数，所以排除A、B.因为≤x≤π，所以π≤2x≤2π.因为y＝sin2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.故选D.
[答案] D
3．函数y＝cos，x∈的值域是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由0≤x≤，得≤x＋≤，
故－≤cos≤.故选B.
[答案] B
4．函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
[解析] 解法一：y＝2sin，其单调递增区间为－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
解法二：函数在取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为，即，又因为x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
[答案] D
5．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值等于( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．－
[解析] ∵＋＝，
∴y＝2sin－cos
＝2cos－cos
＝cos，∴ymin＝－1.
[答案] C
二、填空题
6．cos770°________sin980°(填“>”或“<”)．
[解析] ∵cos770°＝cos(720°＋50°)＝cos50°＝sin40°，
sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(180°＋80°)
＝－sin80°∴cos770°>sin980°.
[答案] >
7．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
[解析] ∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π[答案] (－π，0]
8．设函数f(x)＝A＋Bsinx，当B<0时，f(x)的最大值是，最小值是－，则A＝________，B＝________.
[解析] 根据题意，得
解得A＝，B＝－1.
[答案] －1
三、解答题
9．求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调减区间．
[解] y＝1＋sin
＝－sin＋1.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．
解得4kπ－≤x≤4kπ＋π(k∈Z)．
∴k＝0时，x∈，
k＝1时，x∈，
k＝－1时，x∈.
又∵x∈[－4π，4π]，
∴函数y＝1＋sin的单调减区间为，，.
10．求下列函数的最大值和最小值．
(1)f(x)＝sin，x∈；
(2)y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈.
[解] (1)当x∈时，
2x－∈，由函数图象知，f(x)＝sin∈＝.
所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.
(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3
＝2sin2x＋2sinx＋1＝22＋.
∵x∈，∴≤sinx≤1.
当sinx＝1时，ymax＝5；
当sinx＝时，ymin＝.
综合运用
11．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
[解析] 周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，
∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.
[答案] C
12．下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
[解析] 作出y＝sin|x|的图象如图1，知其不是周期函数，排除D；因为y＝cos|x|＝cosx，周期为2π，排除C；作出y＝|cos2x|的图象如图2，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出y＝|sin2x|的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A.
图1
图2
图3
[答案] A
13．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________．
[解析] ∵1<<2<3<π，
sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.
y＝sinx在上递增，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)即sin3[答案] sin314．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
[解析] ∵x∈，即0≤x≤，且0<ω<1，
∴0≤ωx≤<.∵f(x)max＝2sin＝，
∴sin＝，＝，即ω＝.
[答案]
15．已知函数f(x)＝2asin＋a＋b的定义域是，值域是[－5,1]，求a，b的值．
[解] 因为0≤x≤，
所以≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1.
所以a>0时，解得
a<0时，解得
因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.
1
(共36张PPT)
5．4.3 正切函数的性质与图象
1．会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期．
2．掌握正切函数y＝tanx的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性．
3．掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．
正切函数y＝tanx的图象与性质
解析式 y＝tanx
图象
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇
单调性 在开区间(k∈Z)内都是增函数
温馨提示：(1)正切函数在每一个开区间
(k∈Z)内都是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数．
(2)正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(kπ，0)，，，k∈Z，两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z，这样可以快速地作出正切函数的图象．
1．正切函数y＝tanx的图象与x＝kπ＋，k∈Z有公共点吗？直线y＝a与y＝tanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？
[答案] 没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的
由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )
(2)正切函数在整个定义域上是增函数．( )
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )
(4)正切函数没有对称轴，但有对称中心．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
题型一正切函数的定义域
【典例1】 求下列函数的定义域：
(1)y＝tan；(2)y＝.
[思路导引] (1)将x＋看成一个整体．由正切函数y＝tanx的定义域为求解；(2)tanx≠0且tanx有意义．
[解] (1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得，
x≠kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为
.
(2)由tanx≠0且tanx有意义得x≠kπ且x≠kπ＋，k∈Z，即x≠，k∈Z，所以函数y＝的定义域为.
求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
[针对训练]
1．函数f(x)＝的定义域是____________．
[解析] 若使函数f(x)有意义，需使tanx－1≠0，即tanx≠1.∵tanx有意义，
∴x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z，
∴f(x)＝的定义域为.
[答案] {x|x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z}
题型二与正切函数有关的周期性、奇偶性问题
【典例2】 (1)求f(x)＝tan的周期；
(2)判断y＝sinx＋tanx的奇偶性．
[思路导引] 解(1)利用T＝，解(2)时先看定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看f(－x)与f(x)及－f(x)的关系来判断奇偶性．
[解] (1)由正切函数的最小正周期，可得T＝.
∴f(x)＝tan的周期是.
(2)定义域为，关于原点对称，
∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)
＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴它是奇函数．
正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期性、奇偶性
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．
(3)正切函数是奇函数，所以原点是y＝tanx的对称中心，同样，结合y＝tanx的图象，可以得到k∈Z都是正切函数的对称中心．
[针对训练]
2．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②f(x)的图象关于对称；
③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；
④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是________．
[解析] ①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tanx，此时，f(x)为奇函数，所以①错误；观察正切函数y＝tanx的图象，可知y＝tanx关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝得x＝－φ，分别令k＝1,2知②、③正确，④显然正确．
[答案] ①
题型三正切函数的单调性及应用
【典例3】 (1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小；
(3)解不等式tan≤.
[思路导引] (1)将x－看成一个整体；(2)比较大小时应将角化到同一个单调区间内；(3)将x＋看成一个整体，结合y＝tanx的图象求解．
[解] (1)由kπ－2kπ－所以函数y＝tan的单调递增区间是
(k∈Z)．
(2)由于tan＝tan
＝tan＝－tan，
tan＝－tan＝－tan，
又0<<<，
而y＝tanx在上单调递增，
所以tan－tan，
即tan>tan.
(3)将x＋看成一个整体，由函数y＝tanx的图象可知在上满足tanx≤的解应满足－[变式] 若本例(1)改为y＝tan，其单调减区间是_______．
[解析] ∵y＝tan＝－tan
∴kπ－解得2kπ－故函数的单调递减区间为(k∈Z)．
[答案] ，(k∈Z)
(1)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
①若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
(2)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(3)解关于tanx的不等式：先写出这个不等式在一个周期上的解，再结合周期性得出x的解集．
[针对训练]
3．函数y＝tan的单调增区间为________．
[解析] 由题意知，kπ－所以2kπ－故单调增区间为(k∈Z)．
[答案] (k∈Z)．
4．比较大小：tanπ________tan；
[解析] tanπ＝tan＝tan，
tan＝－tanπ＝－tan
＝－tan＝tan，
因为－<<<，
y＝tanx在上单调递增，
所以tantan.
[答案] >
5．不等式tan≥1的解集为______________．
[解析] 由已知可得kπ＋≤2x＋解得≤x<－，k∈Z，
∴不等式tan≥1的解集为
.
[答案]
课堂归纳小结
1.正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.
2.正切函数的性质
(1)正切函数y＝tanx的定义域是，
值域是R.
(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝
Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝.
(3)正切函数在(k∈Z)上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.
1．下列说法正确的是( )
A．y＝tanx是增函数
B．y＝tanx在第一象限是增函数
C．y＝tanx在某一区间上是减函数
D．y＝tanx在区间(k∈Z)上是增函数
[解析] 由正切函数的图象可知D正确．
[答案] D
2．函数y＝的定义域为( )
A.，k∈Z
B．{x|x≠kπ－，k∈Z}
C.，k∈Z
D.，k∈Z
[解析] 若使函数y＝有意义，
需使tanx－1>0，即tanx>1.
结合正切曲线，可得kπ＋所以函数y＝的定义域是(k∈Z)．
[答案] D
3．函数y＝tan的最小正周期是( )
A．4 B．4π
C．2π D．2
[解析] 函数y＝tan的最小正周期T＝＝2，故选D.
[答案] D
4．函数y＝tan，x∈R且x≠π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是( )
A．(0,0) B.
C. D．(π，0)
[解析] ∵y＝tanx的对称中心为(k∈Z)
∴x＋＝，(k∈Z)
∴x＝－(k∈Z)
当k＝2时，x＝π，∴对称中心为.
[答案] C
5．函数y＝tan(π－x)，x∈的值域为________．
[解析] y＝tan(π－x)＝－tanx，在上为减函数，所以值域为(－，1)．
[答案] (－，1)
课后作业(四十六)
复习巩固
一、选择题
1．函数y＝tan的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
[解析] ∵y＝tan＝－tan
∴x－≠kπ＋(k∈Z)
即x≠kπ＋，(k∈Z)．
[答案] D
2．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
[解析] 当x＝时，2x＋＝，而的正切值不存在，所以直线x＝与函数的图象不相交．故选D.
[答案] D
3．函数y＝( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
[解析] 函数的定义域为
，关于原点对称．
设y＝f(x)＝，
则f(－x)＝＝＝－f(x)．
所以y＝f(x)是奇函数．故选A.
[答案] A
4．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D.
[解析] 由题意，T＝＝，∴ω＝4，∴f(x)＝tan4x, f＝tanπ＝0，故选A.
[答案] A
5．方程tan＝在[0,2π)上的解的个数是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析] 由题意知，2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z，又x∈[0,2π)．所以x＝0，，π，，共4个．故选B.
[答案] B
二、填空题
6．函数y＝tanx的值域是________．
[解析] 因为y＝tanx在，上都是增函数，
所以y≥tan＝1或y≤tan＝－1.
[答案] (－∞，－1]∪[1，＋∞)
7．使函数y＝2tanx与y＝cosx同时单调递增的区间是________．
[解析] 由y＝2tanx与y＝cosx的图象知，同时单调递增的区间为(k∈Z)，(k∈Z)．
[答案] (k∈Z)，
(k∈Z)
8．已知函数f(x)＝x＋tanx＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．
[解析] 设g(x)＝x＋tanx，显然g(x)为奇函数．
∵f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.
[答案] 0
三、解答题
9．设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
[解] (1)∵ω＝，∴周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，
则x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝；令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．
10．已知函数f(x)＝2tan(k∈N*)的最小正周期T满足1[解] 因为1所以1<<，即因为k∈N*，
所以k＝3，则f(x)＝2tan.
由3x－≠＋kπ得，x≠＋，k∈Z，定义域不关于原点对称，
所以f(x)＝2tan是非奇非偶函数．
由－＋kπ<3x－<＋kπ得，－＋所以f(x)＝2tan的单调增区间为
，k∈Z.
综合运用
11．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是2π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
[解析] 令kπ－[答案] C
12．已知函数y＝tanωx在内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
[解析] ∵y＝tanωx在内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.
[答案] B
13．已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为且|φ|<，则φ＝________.
[解析] 由题意得＋φ＝(k∈Z)，即φ＝－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝或φ＝－.
[答案] 或－
14．函数f(x)＝lg为________函数(填“奇”或“偶”)．
[解析] 由>0，
得tanx>1或tanx<－1.
∴函数定义域为
∪(k∈Z)关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg＋lg
＝lg＝lg1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
[答案] 奇
15．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中
θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；
(2)求使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数的θ的取值范围．
[解] (1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝2－.
因为x∈[－1，]，
所以当x＝时，f(x)取得最小值－，当x＝－1时，f(x)取得最大值.
(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为x＝－tanθ.
因为y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
所以－tanθ≤－1或－tanθ≥，
即tanθ≥1或tanθ≤－.
又θ∈，
所以θ的取值范围是∪.
1
