(共36张PPT)
第1课时 两角差的余弦公式
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．
两角差的余弦公式
公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
简记符号 C(α－β)
使用条件 α，β为任意角
温馨提示：右边是两项的和，第一项是cosα与cosβ的积，第二项是sinα与sinβ的积，口诀为“余余正正号相反”．
1．平面上，已知点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，那么两点间距离如何计算？
[答案] 利用公式|P1P2|＝
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.( )
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．( )
(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．( )
(4)求cosα时，有时把角α看成角α＋β与角β的差．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
题型一 给角求值
【典例1】 计算：(1)cos(－15°)；
(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.
[思路导引] (1)将－15°用两特殊角之差表示，再正用公式求值；(2)逆用公式．
[解] (1)解法一：原式＝cos(30°－45°)
＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°
＝×＋×＝.
解法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝×＋×＝.
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)
＝cos90°＝0.
利用公式C(α－β)求值的思路方法
(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值．
(2)如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值．
[针对训练]
1．cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值为( )
A. B. C．－ D．－
[解析] 原式＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(15°－45°)＝cos30°＝，故选B.
[答案] B
2．化简cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝________.
[解析] cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝cos(α＋45°－α)＝.
[答案]
题型二给值求值
【典例2】 已知α，β均为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝，求cosβ的值．
[思路导引] 考虑到β＝[α－(α－β)]这一关系，所以先求α角的余弦和α－β角的正弦，然后代入两角差的余弦公式．
[解] ∵α∈，sinα＝<，∴0<α<，
又∵α－β∈，cos(α－β)＝<，
∴－<α－β<－，
∴cosα＝＝＝，
sin(α－β)＝－
＝－＝－，
∴cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝.
给值求值问题的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[针对训练]
3．已知锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A. B．－ C. D．－
[解析] 因为α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，
所以sinα＝，sin(α＋β)＝，
所以cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα
＝－×＋×
＝.故选A.
[答案] A
4．已知sin＝，α∈，则cosα的值为________．
[解析] 因为sin＝，α∈，
所以＋α∈，cos＝－.
所以cosα＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×
＝.
[答案]
题型三给值求角
【典例3】 已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝________.
[思路导引] 将β用(α＋β)－α表示，先求β的余弦值，再求角β.
[解析] ∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．
∵cosα＝，cos(α＋β)＝－，
∴sinα＝，sin(α＋β)＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα
＝×＋×＝.
∵0<β<，∴β＝.
[答案]
[变式] 若本例变为：已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
[解] 由cosα＝，0<α<，
得sinα＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝
＝＝.
由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝，
因为0<β<，所以β＝.
解给值求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值．
(2)确定角的范围．
(3)根据角的范围写出所求的角．
[针对训练]
5．已知0<α<，－<β<0，且α，β满足sinα＝，cosβ＝，求α－β.
[解] 因为0<α<，－<β<0，
且sinα＝，cosβ＝，
故cosα＝＝＝，
sinβ＝－＝－＝－，
故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×＋×＝.
由0<α<，－<β<0得，0<α－β<π，
又cos(α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝.
课堂归纳小结
1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，
求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角所在的范围(找区间)；
(3)确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
1．cos165°等于( )
A. B.
C．－ D．－
[解析] cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°
＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)
＝－＝－.
[答案] C
2．coscos＋cossin的值是( )
A．0 B. C. D.
[解析] coscos＋cossin
＝coscos＋sinsin
＝cos
＝cos＝.
[答案] C
3．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于( )
A. B．－ C. D．－
[解析] 原式＝cos(45°－α＋α＋15°)＝cos60°＝.故选A.
[答案] A
4．若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )
A. B. C. D.
[解析] ∵0<α<β<，∴－<α－β<0,0<2α<π.
由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝－.
由cos2α＝，得sin2α＝.
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)
＝×＋×＝－.
又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
[答案] C
5．已知cosα＝，α∈，则cos＝________.
[解析] 由cosα＝，α∈，得
sinα＝－＝－＝－.
∴cos＝cosαcos＋sinαsin
＝×＋×＝.
[答案]
课后作业(四十八)
复习巩固
一、选择题
1．sin11°cos19°＋cos11°cos71°的值为( )
A. B.
C. D.
[解析] sin11°cos19°＋cos11°cos71°＝cos11°cos71°＋sin11°sin71°＝cos(11°－71°)＝cos(－60°)＝.故选B.
[答案] B
2．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝( )
A. B.
C．－ D.
[解析] 因为点P(1，)是角α终边上一点，
所以cosα＝＝，sinα＝＝，
所以cos(30°－α)＝cos30°cosα＋sin30°sinα
＝×＋×＝.
[答案] A
3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝，sinβ＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
[解析] ∵α为锐角，且cosα＝，∴sinα＝＝，∵β为第三象限角，且sinβ＝－，∴cosβ＝－＝－，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.故选A.
[答案] A
4．已知sin＝，<α<，则cosα的值是( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵<α<，∴<＋α<π.
∴cos＝－＝－.
∴cosα＝cos＝coscos＋
sin·sin＝－×＋×＝.
[答案] A
5．若cos(α＋β)＝，sin＝，α，β∈，那么cos的值为( )
A. B. C. D.
[解析] ∵α，β∈，
∴α＋β∈(0，π)，β－∈.
又∵cos(α＋β)＝，sin＝，
∴sin(α＋β)＝＝，
cos＝＝，
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝.
[答案] C
二、填空题
6．cos(30°＋α)cosα＋sin(30°＋α)sinα的值是________．
[解析] 原式＝cos[(30°＋α)－α]＝cos30°＝.
[答案]
7．已知cos＝cosα，则tanα＝________.
[解析] cos＝cosαcos＋sinαsin＝cosα＋sinα＝cosα，∴sinα＝cosα，∴＝，即tanα＝.
[答案]
8．满足sinx＋cosx＝的角x的集合是__________．
[解析] sinx＋cosx＝cosxcos＋sinxsin
＝cos，∴cos＝，
∴x－＝＋2kπ或x－＝－＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z.
即所求的角x的集合是
.
[答案]
三、解答题
9．若x∈，且sinx＝，求2cos＋2cosx的值．
[解] ∵x∈，sinx＝，∴cosx＝－.
∴2cos＋2cosx
＝2＋2cosx
＝2＋2cosx
＝sinx＋cosx
＝－＝.
10．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：cos(2α－β)的值．
[解] 因为α，β∈，所以α－β∈.
又因为sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.
所以sinα＝＝，
cos(α－β)＝＝.
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)
＝×－×＝.
综合运用
11．已知cos＝－，则cosx＋cos等于( )
A．－ B．±
C．－1 D．±1
[解析] 因为cos＝－，
所以cosx＋cos
＝cosx＋cosx＋sinx
＝cosx＋sinx＝
＝cos＝－1.故选C.
[答案] C
12．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是( )
A. B. C．－ D．－
[解析] 由已知得，－sinγ＝sinα＋sinβ，①
－cosγ＝cosα＋cosβ，②
①2＋②2得，
1＝1＋1＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ，
化简得cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，
即cos(α－β)＝－，故选C.
[答案] C
13．化简：＝________.
[解析] 原式＝
＝
＝＝＝.
[答案]
14．已知α，β均为锐角，且sinα＝，sinβ＝，则α－β＝________.
[解析] ∵α，β均为锐角，
∴cosα＝，cosβ＝.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.
又∵sinα>sinβ，∴0<β<α<，
∴0<α－β<.故α－β＝.
[答案]
15．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
[解] 由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－.
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
因为α－β∈，α＋β∈，
所以2β∈.所以2β＝π.故β＝.
1
(共39张PPT)
第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．
2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．
3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．
1．两角和与差的余弦公式
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，简记为：C(α＋β)
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，简记为：C(α－β)
温馨提示：(1)记忆口诀：“余余正正，符号异”；(2)α，β∈R.
2．两角和与差的正弦公式
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，简记为：S(α＋β)
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，简记为：S(α－β)
温馨提示：(1)公式中α，β∈R.记忆口诀：“正余余正，符号同”．(2)α，β∈R.
1．由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？
[答案] 可以．sin(α＋β)＝cos
＝cos＝sinαcosβ＋cosαsinβ
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．( )
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．( )
(4)把公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β用－β代替，可以得到cos(α＋β)．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
题型一给角求值
【典例1】 求值：(1)cos75°；
(2).
[思路导引] (1)将75°写成30°＋45°，再利用两角和的余弦公式求解；(2)观察题目中出现的角的关系，把47°写成17°＋30°，然后运用公式求值．
[解] (1)cos75°＝cos(30°＋45°)
＝cos30°cos45°－sin30°sin45°
＝×－×＝.
(2)原式＝
＝
＝sin 30°＝.
解决给角求值问题的方法
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，或化为正负相消的项并消项求值，将分子、分母形式进行约分求值．要善于逆用或变用公式．
[针对训练]
1．求值：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；
(2)(tan10°－).
[解] (1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)
＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°
＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.
(2)解法一：原式＝(tan10°－tan60°)
＝
＝·＝－2.
解法二：原式＝
＝·
＝
＝＝－2.
题型二给值求值
【典例2】 已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
[思路导引] 先确定＋α及＋β的范围，再求出sin和cos的值，将α＋β用＋α与＋β表示，最后代入公式求解．
[解] ∵<α<，<＋α<π，
∴sin＝＝.
∵0<β<，<＋β<π，
∴cos＝－＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin＝
－
＝－＝.
[变式] 若本例条件不变，求cos(α－β)的值．
[解] 由典例的解法可知，
sin＝，cos＝－，
∴sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
又sin
＝sin＝－cos(α－β)，
从而cos(α－β)＝.
给值求值问题的解题策略
在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．
(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
[针对训练]
2．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos2α与cos2β的值．
[解] ∵<β<α<，∴0<α－β<，π<α＋β<.
∴sin(α－β)＝＝＝，
cos(α＋β)＝－
＝－＝－.
∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×－×＝－，
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－.
题型三给值求角
【典例3】 设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为( )
A. B. C. D.或
[思路导引] 由角α、β的范围及角α的正弦，可求角α的余弦，由角β的余弦，可求得角β的正弦，再利用两角和的余弦公式求角，注意α＋β角的范围．
[解析] ∵α，β为钝角，sinα＝，
∴cosα＝－＝－＝－，
由cosβ＝－，得
sinβ＝＝＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝.
又∵π<α＋β<2π，∴α＋β＝.故选C.
[答案] C
(1)解答此类题目的步骤为：
第一步，求角的某一个三角函数值；
第二步，确定角所在的范围；
第三步，根据角的取值范围写出所求的角，至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．
(2)选择求角的三角函数值的方法：
若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．
[针对训练]
3．已知：α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sinβ＝－，求角α的大小．
[解] 因为α∈，β∈，所以α－β∈(0，π)．
由cos(α－β)＝，知sin(α－β)＝.
由sinβ＝－，知cosβ＝.
所以sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝×＋×＝.
又α∈，所以α＝.
题型四辅助角公式
【典例4】 化简：(1)(cosx－sinx)；
(2)3sinx＋3cosx.
[思路引导] 将asinx＋bcosx化成sin(ωx＋φ)形式．
[解] (1)(cosx－sinx)＝×
＝2＝2cos.
(2)3sinx＋3cosx
＝6
＝6
＝6cos.
辅助角公式及其运用
(1)公式形式：公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα)＝cos(α－φ)，将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
[针对训练]
4．函数f(x)＝sinx－cos的值域为( )
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D．[－，]
[解析] f(x)＝sinx－cos＝sinx－cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]，故选B.
[答案] B
课堂归纳小结
1．两角和与差公式的理解、记忆
(1)公式间的逻辑关系
←←→
(2)公式的结构特征和符号规律
对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号异”；
对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．
2．应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin90°，＝cos60°，＝sin60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.
1．sin105°的值为( )
A. B.
C. D.
[解析] sin105°＝sin(90°＋15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝.
所以D选项是正确的．
[答案] D
2．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为( )
A．－ B．－ C. D.
[解析] 原式＝sin45°cos15°＋cos(180°＋45°)sin15°
＝sin45°cos15°－cos45°sin15°
＝sin(45°－15°)＝sin30°＝
[答案] C
3．已知cos(π－α)＝，sin＝(其中α，β∈(0，π))，则sin(α＋β)的值为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由cos(π－α)＝，sin＝，
得cosα＝－，cosβ＝，
因为α，β∈(0，π)，所以sinα＝，sinβ＝.
所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×－×＝.故选A.
[答案] A
4．sin－cos＝________.
[解析] 原式＝2.
解法一：原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝－.
解法二：原式＝2
＝－2
＝－2cos＝－2cos＝－.
[答案] －
5．当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________.
[解析] 函数y＝sinx－cosx＝2sin，
当0≤x<2π时，－≤x－<，
所以当y取得最大值时，x－＝，所以x＝.
[答案]
课后作业(四十九)
复习巩固
一、选择题
1．在△ABC中，A＝，cosB＝，则sinC等于( )
A. B．－ C. D．－
[解析] ∵cosB＝，∴B为锐角
∴sinB＝＝.
又∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sincosB＋cossinB
＝×＋×＝＝
[答案] A
2．计算cos(80°＋2α)cos(65°＋2α)＋sin(80°＋2α)sin(65°＋2α)的值为( )
A. B.
C. D.
[解析] 原式＝cos[(80°＋2α)－(65°＋2α)]
＝cos15°＝cos(45°－30°)＝.
[答案] C
3.sin15°－cos15°的值为( )
A. B．－ C. D．－
[解析] 原式＝sin30°·sin15°－cos30°·cos15°
＝－(cos30°·cos15°－sin30°·sin15°)
＝－cos(30°＋15°)＝－cos45°＝－.
[答案] B
4．已知sinα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则sinβ等于( )
A．－ B. C．－ D.
[解析] 因为sinα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，所以cosα＝，sin(α＋β)＝.
sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝，故选D.
[答案] D
5．已知cos＋sinα＝，则sin的值是( )
A．－ B. C．－ D.
[解析] 因为cos＋sinα＝，
所以cosα＋sinα＝，
·＝，
所以sin＝.
所以sin＝－sin＝－，故选C.
[答案] C
二、填空题
6．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是________．
[解析] ＝coscos－sinsin＝cos＝cos＝0.
[答案] 0
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝_____.
[解析] 由
得
解得
所以tanα·tanβ＝＝.
[答案]
8．A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，sin＝，则sin＝________.
[解析] 因为A，B均为锐角，
cos(A＋B)＝－，sin＝，
所以0
可得sin(A＋B)＝＝，
cos＝－
＝－，可得
sin＝sin
＝×－×＝.
[答案]
三、解答题
9．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin的值．
[解] ∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα
＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sinβ＝，
∴sinβ＝－，又β是第三象限角，
∴cosβ＝－＝－.
∴sin＝sinβcos＋cosβsin
＝×＋×
＝－.
10．化简：sin＋2sin－cos.
[解] 原式＝sinxcos＋cosxsin＋2sinxcos－2cosxsin－coscosx－sinsinx＝sinx＋cosx＋sinx－cosx＋cosx－sinx
＝sinx＋cosx＝0.
综合运用
11．在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
[解析] ∵在△ABC中，C＝π－(A＋B)，∴2cosBsinA＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB.
∴－sinAcosB＋cosAsinB＝0，
即sin(B－A)＝0，∴A＝B.故选A.
[答案] A
12．若sinx＋cosx＝4－m，则实数m的取值范围是( )
A．2≤m≤6 B．－6≤m≤6
C．2[解析] ∵sinx＋cosx＝4－m，
∴sinx＋cosx＝，
∴sinsinx＋coscosx＝，
∴cos＝.∵≤1，
∴≤1，∴2≤m≤6.
[答案] A
13.＝________.
[解析] 原式＝
＝
＝tan45°＝1.
[答案] 1
14．已知sinα－cosβ＝，cosα－sinβ＝，则sin(α＋β)＝________.
[解析] 由sinα－cosβ＝两边平方得
sin2α－2sinαcosβ＋cos2β＝，①
由cosα－sinβ＝两边平方得
cos2α－2cosαsinβ＋sin2β＝，②
①＋②得：(sin2α＋cos2α)－2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋(cos2β＋sin2β)＝＋.
∴1－2sin(α＋β)＋1＝.∴sin(α＋β)＝.
[答案]
15．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)sin(2α－β)的值；
(2)β的值．
[解] (1)因为α，β∈，
所以α－β∈，
又sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.
所以sinα＝＝，
cos(α－β)＝＝，
sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]
＝sinαcos(α－β)＋cosαsin(α－β)
＝×＋×＝.
(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.
1
(共28张PPT)
第3课时 两角和与差的正切公式
1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．
2．能灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用．
两角和与差的正切公式
公式 简记符号 使用条件
tan(α＋β)＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋ (k∈Z)
tan(α－β)＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋ (k∈Z)
温馨提示：在应用两角和与差的正切公式时，只要tanα，tanβ，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．如化简tan，因为tan的值不存在，所以不能利用公式T(α－β)进行化简，应改用诱导公式来化简，即tan＝＝.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tanα·tanβ，tanα＋tanβ，tan(α＋β)三者知二可表示或求出第三个．( )
(2)tan能根据公式tan(α＋β)直接展开．( )
(3)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
题型一 正切公式的正用
【典例1】 (1)求值：tan(－75°)；
(2)已知cosα＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tanβ.
[思路导引] (1)75°＝45°＋30°，利用两角和的正切公式求解；(2)由已知可求得sinα的值，则可求得tanα，因为β＝α－(α－β)，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]，再利用两角差的正切公式求解．
[解] (1)tan75°＝tan(45°＋30°)
＝＝＝
＝＝2＋，
tan(－75°)＝－tan75°＝－2－.
(2)∵cosα＝>0，α∈(0，π)，∴sinα>0.
∴sinα＝＝＝，
∴tanα＝＝＝.
∴tanβ＝tan[α－(α－β)]
＝＝＝.
[变式] 本例(2)中，其他条件不变，求tan(2α－β)．
[解] tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝＝2.
(1)利用公式T(α＋β)求角的步骤：
①计算待求角的正切值．
②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
③根据角的范围及三角函数值确定角．
(2)注意用已知角来表示未知角．
[针对训练]
1．已知tanα＝2，tanβ＝－，其中0<α<，<β<π.求：
(1)tan(α－β)；
(2)α＋β的值．
[解] (1)因为tanα＝2，tanβ＝－，
所以tan(α－β)＝＝＝7.
(2)因为tan(α＋β)＝＝＝1，
又因为0<α<，<β<π，
所以<α＋β<，所以α＋β＝.
题型二正切公式的逆用
【典例2】 求值：(1)；
(2).
[思路导引] (1)逆用两角和的正切公式；(2)将换成tan60°，再逆用两角差的正切公式．
[解] (1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－.
(2)原式＝
＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.
化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”、“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan”，“＝tan”，这样可以构造出公式的形式，从而可以进行化简和求值．
[针对训练]
2．求值：(1)；
(2).
[解] (1)原式＝
＝＝tan(45°－75°)
＝tan(－30°)＝－tan30°＝－.
(2)原式＝＝＝.
题型三正切公式的变形应用
【典例3】 (1)化简：tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°；
(2)若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，求α＋β的值．
[思路导引] (1)利用23°＋37°＝60°及两角和的正切公式将tan(23°＋37°)展开变形即可求解；(2)将所给关系式的左边展开，逆用两角和的正切公式求出tan(α＋β)．
[解] (1)解法一：tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋tan23°tan37°
＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋tan23°tan37°＝.
解法二：∵tan(23°＋37°)＝，
∴＝，
∴－tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°，
∴tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝.
(2)∵(1＋tanα)(1＋tanβ)
＝1＋(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，
∴tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)，
∴tan(α＋β)＝＝.
又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，
∴α＋β＝60°.
T(α±β)可变形为如下形式：
①tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)或②1?tanαtanβ＝.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形①，遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②.
[针对训练]
3．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C等于( )
A. B. C. D.
[解析] 因为tan(A＋B)＝，
故tan(A＋B)＋＝＋
＝；
根据题意可知，tanA＋tanB＋－tanAtanB＝0，
故tan(A＋B)＋＝0，因为C＝π－A－B，故tan(A＋B)＝－tanC，所以tanC＝，因为在三角形中0[答案] A
课堂归纳小结
1.公式T(α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
2．公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
如tan＝1，tan＝，tan＝等.
要特别注意tan＝，tan＝.
3．公式T(α±β)的变形应用
只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.
1．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于( )
A. B．－
C．3 D．－3
[解析] tan(α－β)＝＝.
[答案] A
2．已知α∈，sinα＝，则tan＝( )
A. B．7
C．－ D．－7
[解析] sinα＝?cosα＝－?tanα＝－.
∴tan＝＝＝.
[答案] A
3.＝________.
[解析] ＝＝tan60°＝.
[答案]
4．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝________.
[解析] tan45°＝tan(19°＋26°)＝＝1.
所以tan19°＋tan26°＝1－tan19°tan26°，
则tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°
＝1－tan19°tan26°＋tan19°tan26°＝1.
[答案] 1
5．若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
[解析] ∵＝＝3，
∴tanα＝2.
又tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝－tan[(α－β)＋α]
＝－＝.
[答案]
课后作业(五十)
复习巩固
一、选择题
1．设sinα＝，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B．－ C．－ D．－
[解析] ∵sinα＝，∴tanα＝－.
∵tan(π－β)＝，∴tanβ＝－.
∴tan(α－β)＝＝－.
[答案] C
2.的值等于( )
A．－1 B．1 C. D．－
[解析] 因为tan60°＝tan(10°＋50°)＝，
所以tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°.
所以原式
＝
＝－.
[答案] D
3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于( )
A. B. C. D.
[解析] tan＝tan
＝＝.
[答案] C
4．若α＋β＝，则(1－tanα)(1－tanβ)的值为( )
A. B．1 C. D．2
[解析] ∵tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)
＝tan(1－tanαtanβ)＝tanαtanβ－1，
∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1＋tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＝2.
[答案] D
5．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( )
A. B．－
C.或－ D．－或
[解析] 由一元二次方程根与系数的关系得tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，∴tanα<0，tanβ<0.
∴tan(α＋β)＝＝＝.
又∵－<α<，－<β<，且tanα<0，tanβ<0，
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
[答案] B
二、填空题
6.＝________.
[解析] ＝－＝－.
[答案] －
7．tan70°＋tan50°－tan50°tan70°＝__________.
[解析] ∵tan70°＋tan50°＝tan120°(1－tan50°·tan70°)＝－＋tan50°·tan70°，∴原式＝－＋tan50°·tan70°－tan50°·tan70°＝－.
[答案] －
8.如下图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
[解析] 不妨设BD＝2，CD＝3，AD＝6，则tan∠ABD＝3，tan∠ACD＝2，又∵∠BAC＝∠ABD－∠ACD，∴tan∠BAC＝＝＝.
[答案]
三、解答题
9．已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan的值；
(2)tan(α＋β)的值．
[解] (1)tan＝tan
＝＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝＝＝2－3.
10．已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
[解] tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝，
又α∈(0，π)，所以α∈.
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝＝1，
而tanβ＝－，β∈(0，π)，所以β∈，
所以2α－β∈(－π，0)，2α－β＝－.
综合运用
11．已知tanα和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是( )
A．b＝a＋c B．2b＝a＋c
C．c＝a＋b D．c＝ab
[解析] 由根与系数的关系得：
tanα＋tan＝－，tanαtan＝.
tan＝
＝＝1，得c＝a＋b.
[答案] C
12．(1＋tan1°)(1＋tan2°)·…·(1＋tan44°)(1＋tan45°)的值为( )
A．222 B．223 C．224 D．225
[解析] ∵(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°tan44°
＝1＋tan(1°＋44°)(1－tan1°tan44°)＋tan1°·tan44°
＝1＋1－tan1°tan44°＋tan1°tan44°＝2，
同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝(1＋tan3°)(1＋tan42°)
＝…＝(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2
又1＋tan45°＝2
∴原式＝223.故选B.
[答案] B
13．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则α等于________．
[解析] 因为tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝－1.
又因为α为锐角，2α∈(0，π)．所以2α＝π，α＝π.
[答案] π
14．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则＝________.
[解析] ＝
＝＝＝－.
[答案] －
15.如下图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
[解] 由条件得cosα＝，cosβ＝.
∵α，β为锐角，∴sinα＝＝，
sinβ＝＝.
因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan2β＝tan(β＋β)＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝－1，
又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.
1
(共30张PPT)
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．理解二倍角公式的推导．
2．掌握二倍角公式及变形公式，并能用这些公式解决相关问题．
二倍角公式
温馨提示：二倍角的“广义理解”
二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．( )
(3)对任意角α，总有tan2α＝.( )
(4)cos2α－sin2α＝1－2sin2α.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
题型一 给角求值
【典例1】 求下列各式的值：
(1)sincos；
(2)1－2sin2750°；
(3)；
(4)cos20°cos40°cos80°.
[思路导引] (1)逆用正弦的二倍角公式求解；(2)逆用二倍角余弦公式求解；(3)逆用二倍角正切公式求解；(4)需分子分母同乘2sin20°，凑正弦的二倍角公式求解．
[解] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°
＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－.
(4)原式＝
＝＝
＝＝.
(1)记住公式的推导过程及公式特征以便于应用．
(2)与公式不符，但是适当变形后就可套用公式的，要先变形化简再求值．
[针对训练]
1．求下列各式的值．
(1)sinsin＝________；
(2)－cos215°＝________；
(3)＝________.
[解析] (1)∵sin＝sin＝cos，
∴sinsin＝sincos＝·2sincos
＝sin＝.
(2)原式＝(1－2cos215°)＝－cos30°＝－.
(3)原式＝＝2.
[答案] (1) (2)－ (3)2
题型二条件求值
【典例2】 已知cos＝，≤α<，求cos的值．
[思路导引] 由cos的值，可求sin，然后由二倍角公式，分别求出cos2α和sin2α，最后由两角和的余弦公式求解．
[解] ∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos>0，∴<α＋<.
∴sin＝－
＝－＝－.
∴cos2α＝sin＝2sincos
＝2××＝－，
sin2α＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×2＝.
∴cos＝cos2α－sin2α
＝×＝－.
[变式] 若本例条件不变，求的值．
[解] 原式＝
＝(cosα－sinα)＝2cos＝.
解决条件求值问题的方法
解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
[针对训练]
2．已知＝－，则sin的值是________．
[解析] 由＝＝＝
－，得3tan2α－5tanα－2＝0，解得tanα＝2，或tanα＝－.
sin＝sin2αcos＋cos2αsin
＝(sin2α＋cos2α)＝
＝，
当tanα＝2时，上式＝×＝；
当tanα＝－时，上式
＝×＝.
综上，sin＝.
[答案]
题型三化简问题
【典例3】 化简.
[思路导引] 切化弦，统一角．
[解] 解法一：原式＝
＝＝＝＝1.
解法二：原式＝
＝＝
＝＝1.
化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角．
(2)降幂或升幂．
(3)一个重要结论：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.
[针对训练]
3．化简：(1)＋；
(2).
[解] (1)原式＝
＋
＝＋
＝|sin10°＋cos10°|＋|sin10°－cos10°|
＝sin10°＋cos10°＋cos10°－sin10°
＝2cos10°.
(2)原式＝
＝
＝＝.
课堂归纳小结
1．二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
(1)升幂公式
1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，
1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.
(2)降幂公式
cos2α＝，sin2α＝.
2．要牢记二倍角公式的几种变形
(1)sin2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
(2)cos2x＝sin＝sin
＝2sincos；
(3)cos2x＝sin＝sin
＝2sincos.
1．sin15°sin75°的值为( )
A. B. C. D.
[解析] sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝×2sin15°cos15°＝sin30°＝.
[答案] B
2．sin4－cos4等于( )
A．－ B．－ C. D.
[解析] 原式＝
＝－＝－cos＝－
[答案] B
3.·等于( )
A．tan2α B．tanα C．1 D.
[解析] 原式＝·
＝＝＝tan2α.
[答案] A
4．设α是第四象限角，已知sinα＝－，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为( )
A．－，，－ B.，，
C．－，－， D.，－，－
[解析] 因为α是第四象限角，且sinα＝－，所以cosα＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝，tan2α＝＝－.
[答案] A
5．已知cos＝，则sin2x＝__________.
[解析] ∵cos＝，∴sin2＝
而sin2x＝cos
＝cos2－sin2
＝－＝－＝－.
[答案] －
课后作业(五十一)
复习巩固
一、选择题
1．已知α是第三象限角，cosα＝－，则sin2α等于( )
A．－ B. C．－ D.
[解析] ∵cosα＝－，α是第三象限角，
∴sinα＝－＝－(舍正)
因此，sin2α＝2sinαcosα＝2××＝.
故选D.
[答案] D
2．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于( )
A. B. C. D．1＋
[解析] 原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°
＝1＋sin30°＝1＋＝.
[答案] C
3．已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝( )
A. B. C. D.
[解析] ∵2sin2α＝cos2α＋1，∴4sinα·cosα＝2cos2α.∵α∈，∴cosα>0，sinα>0，∴2sinα＝cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，sin2α＝，又sinα>0，∴sinα＝，故选B.
[答案] B
4.－＝( )
A．－2cos5° B．2cos5°
C．－2sin5° D．2sin5°
[解析] 原式＝－
＝(cos50°－sin50°)＝2
＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.
[答案] C
5．若cos＝，则sin2α等于( )
A. B. C．－ D．－
[解析] 因为sin2α＝cos＝2cos2－1，又cos＝，所以sin2α＝2×－1＝－，故选D.
[答案] D
二、填空题
6．若sinα－cosα＝，则sin2α＝________.
[解析] (sinα－cosα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－sin2α＝2?sin2α＝1－2＝.
[答案]
7．化简：＝________.
[解析] 原式＝＝－
＝＝－1.
[答案] －1
8．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.
[解析] 原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°
＝
＝
＝＝
＝＝＝
[答案]
三、解答题
9．已知角α在第一象限且cosα＝，求的值．
[解] ∵cosα＝且α在第一象限，∴sinα＝.
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin2α＝2sinαcosα＝，
∴原式＝
＝＝.
10．已知sin－2cos＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求的值．
[解] (1)由sin－2cos＝0，知cos≠0，
∴tan＝2，
∴tanx＝＝＝－.
(2)由(1)，知tanx＝－，
∴＝
＝
＝
＝×＝×＝.
综合运用
11.＝( )
A. B．1
C. D．2
[解析] 原式＝＝
＝＝1.
[答案] B
12．若tanα＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α＝________.
[解析] 由tanα＋＝，得tanα＝或tanα＝3.
又∵α∈，∴tanα＝3.∴sinα＝，cosα＝.
∴sin＋2coscos2α
＝sin2αcos＋cos2αsin＋2coscos2α
＝×2sinαcosα＋(2cos2α－1)＋cos2α
＝sinαcosα＋2cos2α－
＝××＋2×2－
＝－＝0.
[答案] 0
13．等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
[解析] 设A是等腰△ABC的顶角，则cosB＝，
sinB＝＝＝.
所以sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B
＝2sinBcosB＝2××＝.
[答案]
14．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝，则cos(2θ－15°)＝________.
[解析] ∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝，
∴sin(θ＋15°)＝，
∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝，
cos(2θ＋30°)＝2cos2(θ＋15°)－1＝2×－1＝－.
∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°)
＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°
＝－×＋×＝.
[答案]
15．已知0[解] ∵sin2＋sincos
＝－sincos
＝－＝－sin，
∴由已知得－sin＝－，
∴sin＝.∵0结合sin＝<，易知∴cos＝，∴tan＝.
∴tan＝＝＝.
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