(共30张PPT)
第1课时 简单的三角恒等变换
1．了解半角公式及推导过程．
2．能利用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简及证明．
3．掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用．
1．半角公式
降幂公式 半角公式
sin2＝ sin＝±
cos2＝ cos＝±
tan2＝ tan＝±
2.辅助角公式
asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)．(其中tanθ＝)．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin15°＝± .( )
(2)cos15°＝.( )
(3)tan＝.( )
(4)倍、半是相对而言的，α可以看成2α的半角，2α可以看成4α的半角．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
题型一 求值问题
【典例1】 已知sinα＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．
[思路导引] 由α是的二倍，可以运用二倍角公式，同时注意的范围．
[解] ∵π<α<，sinα＝－，
∴cosα＝－，且<<，
∴sin＝＝，
cos＝－＝－，
tan＝＝－2.
解决给值求值问题的思路方法
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
[针对训练]
1．已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．
[解] 由题意得2＝，
即1－sinα＝，得sinα＝.
∵450°<α<540°，∴cosα＝－，
∴tan＝＝＝
＝＝2.
题型二三角函数式的化简
【典例2】 化简：(180°<α<360°)．
[思路导引] 利用二倍角公式将α角转化为角，注意被开方式子的正负．
[解] 原式＝
＝
＝.
又∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，
∴原式＝＝cosα.
[变式] 若本例中式子变为：
(－π<α<0)，求化简后的式子．
[解] 原式＝
＝
＝＝.
因为－π<α<0，所以－<<0，所以sin<0，
所以原式＝＝cosα.
化简问题中的“3变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
[针对训练]
2．已知π<α<，化简：
＋.
[解] 原式＝＋
，
∵π<α<，∴<<.
∴cos<0，sin>0.
∴原式＝＋
＝－＋
＝－cos.
题型三三角恒等式的证明
【典例3】 求证：＝.
[思路导引] 注意到＝tan2θ，故可先变形(即用分析法证明)，再证明变形后式子的另一端也等于tan2θ.
[证明] 要证原式，可以证明
＝.
∵左边＝
＝
＝＝tan2θ，
右边＝＝tan2θ，
∴左边＝右边，∴原式得证．
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
[针对训练]
3．求证：－2cos(α＋β)＝.
[证明] 因为sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，
两边同除以sinα得－2cos(α＋β)＝.
课堂归纳小结
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．对半角公式的三点认识
(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.
(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，便可求出sin，cos，tan.
(3)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2＝，cos2＝求解．开方时需要注意角所在象限.
1．已知cosθ＝－，且180°<θ<270°，则tan的值为( )
A．2 B．－2 C. D．－
[解析] ∵cosθ＝－，且180°<θ<270°
∴sinθ＝－＝－
∴tan＝＝＝－2.
[答案] B
2．下列各式中，值为的是( )
A．sin15°cos15° B．cos2－sin2
C. D.
[解析] 选项A中，sin15°cos15°＝sin30°＝；选项B中，cos2－sin2＝cos＝；选项C中，原式＝×＝tan60°＝；选项D中，原式＝cos30°＝.故选B.
[答案] B
3．若α∈，则化简的结果为( )
A．sin＋cos B．sin－cos
C．－sin＋cos D．－sin－cos
[解析] ＝
＝，
∵α∈，∴∈，∴sin>cos
∴原式＝sin－cos.故选B.
[答案] B
4．已知tan＝3，则cosθ等于( )
A. B．－ C. D．－
[解析] cosθ＝cos2－sin2＝
＝＝＝－.故选B.
[答案] B
5．化简：··.
[解] 原式＝··
＝·＝·＝＝tan.
课后作业(五十二)
复习巩固
一、选择题
1．设5π<θ<6π，cos＝a，那么sin等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
[解析] ∵<<π，∴sin＝－
＝－，故选D.
[答案] D
2．若α∈，则－等于( )
A．cosα－sinα B．cosα＋sinα
C．－cosα＋sinα D．－cosα－sinα
[解析] 原式＝－
＝|cosα|－|sinα|
∵α∈，∴cosα>0，sinα<0，
∴原式＝cosα＋sinα.
[答案] B
3．sin＝，则cos＝( )
A．－ B．－ C. D.
[解析] cos＝2cos2－1.
∵＋＝，
∴cos＝sin＝.
∴cos＝2×2－1＝－.故选A.
[答案] A
4．化简＝( )
A．sin2α B．cos2α
C．sinα D．cosα
[解析] ∵4sin2tan
＝4cos2tan
＝4cossin
＝2sin
＝2cos2α，
∴原式＝＝＝sin2α.
[答案] A
5．若cosα＝－，α是第三象限角，则的值为( )
A．－ B. C．2 D．－2
[解析] 由cosα＝－，α是第三象限角，可得sinα＝－＝－.
所以＝＝＝
＝－.
[答案] A
二、填空题
6．若tanx＝，则＝________.
[解析] 原式＝＝＝
＝＝2－3.
[答案] 2－3
7.＝__________.
[解析] 原式＝
＝
＝
＝＝－4.
[答案] －4
8．若tanα＝2tan，则＝________.
[解析] ＝＝
＝＝
＝＝＝3.
[答案] 3
三、解答题
9．求证：＝.
[证明] 左边＝
＝
＝＝＝
＝＝右边．
∴原等式成立．
10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，0<α<β<π，求α－β的值．
[解] 因为(sinα＋sinβ)2＝2，
(cosα＋cosβ)2＝2，
以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1，
所以cos(α－β)＝－，
又因为0<α<β<π，－π<α－β<0，
所以α－β＝－.
综合运用
11．已知sinα＋cosα＝，则2cos2－1＝( )
A. B. C．－ D．－
[解析] sinα＋cosα＝，两边平方可得
1＋sin2α＝，可得sin2α＝－，
2cos2－1＝cos＝sin2α＝－.
[答案] C
12．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ等于( )
A. B. C. D.
[解析] 因为θ∈，
所以2θ∈，
故cos2θ≤0，所以cos2θ＝－
＝－＝－.
又cos2θ＝1－2sin2θ，
所以sin2θ＝＝＝.
又θ∈，所以sinθ＝，故选D.
[答案] D
13．设α为第四象限角，且＝，则tan2α＝________.
[解析] ∵α为第四象限的角，∴sinα<0，cosα>0
∵＝＝
＝2cos2α＋cos2α＝4cos2α－1＝
∴cosα＝，sinα＝－，tanα＝－，
∴tan2α＝＝－.
[答案] －
14．化简tan70°cos10°(tan20°－1)＝__________.
[解析] 原式＝cos10°
＝2cos10°·
＝2·cos10°sin(20°－30°)·
＝2·sin(－10°)＝－＝－1
[答案] －1
15．已知cos2θ＝，<θ<π，
(1)求tanθ的值．
(2)求的值．
[解] (1)∵cos2θ＝，∴＝，
∴＝，解得tanθ＝±，
∵<θ<π，∴tanθ＝－.
(2)＝，
∴<θ<π，tanθ＝－，
∴sinθ＝，cosθ＝－，
∴＝＝＝－4.
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(共20张PPT)
第2课时 三角恒等变换的应用
题型一 三角恒等变换与三角函数性质的综合
【典例1】 已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
[思路导引] 先降幂，再用辅助角公式化为Asin(ωx＋φ)的形式，从而研究三角函数的性质．
[解] (1)∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，
∴所求x的集合为.
(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝2sin(x－3π)·sin＋2sin2－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．
[解] f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)
＝sin2x＋cos2x＝2sin.
(1)f(x)的最小正周期为π；最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.
又∵f(x0)＝，∴sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈，
∴cos＝－＝－，
cos2x0＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.
题型二三角恒等变换在实际生活中的应用
【典例2】 有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
[思路导引] 在△AOB中利用∠AOB表示OA，AB的长，然后表示出矩形面积：2OA·OB，从而得到面积与角间的函数关系，再通过求函数的最值得到面积的最值．
[解] 画出图象如右图所示，设∠AOB＝θ，
则AB＝asinθ，OA＝acosθ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，即S＝2acosθ·asinθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ.
∵θ∈，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝，即θ＝时，Smax＝a2，此时，A，D距离O点都为a.
解决实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决．
[针对训练]
2.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．
[解] 连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，
OC＝1.
∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD
＝cosθ－sinθ，
∴S矩形ABCD＝AB·BC
＝(cosθ－sinθ)·sinθ
＝－sin2θ＋sinθcosθ
＝－(1－cos2θ)＋sin2θ
＝(sin2θ＋cos2θ)－＝cos(2θ－45°)－.
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，Smax＝ (m2)．
∴割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
课堂归纳小结
1．辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ满足：(1)φ与点(a，b)同象限；(2)tanφ＝(或sinφ＝，cosφ＝)．
2．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的
形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sinx±cosx＝sin；sinx±cosx＝2sin等.
1．若函数f(x)＝sin2x－(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
[解析] ∵f(x)＝－＝－cos2x
∴最小正周期T＝＝π，且为偶函数．
[答案] D
2．函数y＝sin2x＋sin2x，x∈R的值域是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] y＝sin2x＋＝sin＋∈，故选C.
[答案] C
3．函数f(x)＝sinx(cosx－sinx)的最小正周期是( )
A. B. C．π D．2π
[解析] 由f(x)＝sinx(cosx－sinx)＝sinxcosx－sin2x＝sin2x－＝sin－，可得函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故选C.
[答案] C
4．函数f(x)＝sinx－cosx，x∈的最小值为______．
[解析] ∵f(x)＝
＝sin，
∵x∈，∴x－∈，
∴f(x)的最小值为sin＝－1
[答案] －1
课后作业(五十三)
复习巩固
一、选择题
1．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是( )
A．1 B．2 C. D．3
[解析] ∵f(x)＝sin2x＋sinxcosx
＝＋sin2x
＝sin＋.
又x∈，∴2x－∈，
∴sin∈，
∴sin＋∈.
即f(x)∈.
故f(x)在区间上的最大值为.
故选C.
[答案] C
2．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A. B. C. D.
[解析] f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x是奇函数．
[答案] D
3．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵f(x)＝2sin，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
令k＝0得增区间为.
∵x∈[－π，0]，
∴f(x)的单调递增区间为，故选D.
[答案] D
4．设函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.则ω的值为( )
A．1 B. C. D.
[解析] f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋＋a＝sin＋＋a，依题意得2ω·＋＝，解之得ω＝.
[答案] B
5．已知函数f(x)＝，则( )
A．函数f(x)的最大值为，无最小值
B．函数f(x)的最小值为－，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为，无最小值
D．函数f(x)的最小值为－，无最大值
[解析] 因为f(x)＝＝＝＝－tanx，0
[答案] D
二、填空题
6．函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．
[解析] f(x)＝sin2x－cos2x－(1－cos2x)
＝sin2x＋cos2x－＝sin－，
所以T＝＝π.
[答案] π
7．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanAtanB＝________.
[解析] 因为3cos2＋5sin2＝4，
所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝0，
所以cosAcosB＋sinAsinB－cosAcosB＋
sinAsinB＝0，
即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝.
[答案]
8．f(x)＝sin－3cosx的最小值为________．
[解析] f(x)＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－22－
∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝1时，f(x)min＝－4.
[答案] －4
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
[解] (1)∵f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x
＝cos2xsin2x＋cos4x
＝(sin4x＋cos4x)
＝sin，
∴f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)∵f(α)＝，∴sin＝1，
∵α∈，
∴4α＋∈.
∴4α＋＝，故α＝.
10．已知f(x)＝5sinxcosx－5cos2x＋(x∈R)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的对称轴、对称中心．
[解] f(x)＝sin2x－5×＋
＝sin2x－cos2x＝5sin.
(1)f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)对称轴方程是：x＝kπ＋π，(k∈Z)；对称中心为(k∈Z)．
综合运用
11．函数y＝cos2＋sin2－1( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
[解析] y＝＋－1
＝
＝sin2x，是奇函数．故选A.
[答案] A
12．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
[解析] 由已知得，sinAsinB＝，
又∵cosC＝－cos(A＋B)，∴2sinAsinB＋cos(A＋B)＝1，∴cos(A－B)＝1，∵0∴△ABC是等腰三角形，故选B.
[答案] B
13.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．
[解析] 题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为6.设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则有所以两条直角边的长分别为3,4.则cosθ＝，cos2θ＝2cos2θ－1＝.
[答案]
14．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是______，最小值是________．
[解析] ∵A＋B＝，
∴cos2A＋cos2B
＝(1＋cos2A＋1＋cos2B)
＝1＋(cos2A＋cos2B)
＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)
＝1＋cos·cos(A－B)
＝1－cos(A－B)，
∴当cos(A－B)＝－1时，
原式取得最大值；
当cos(A－B)＝1时，原式取得最小值.
[答案]
15.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100米，宽BC＝50米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取1.732，取1.414)．
[解] (1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，∠CHE＝x，∴HE＝.
在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90°，∠DFH＝x，∴HF＝.
又∠EHF＝90°，∴EF＝，
∴三条路的全长(即△HEF的周长)
L＝.
当点F在A点时，这时角x最小，
求得此时x＝；
当点E在B点时，这时角x最大，
求得此时x＝.
故此函数的定义域为.
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．
由(1)得L＝，x∈，
设sinx＋cosx＝t，则sinxcosx＝，
∴L＝＝.
由t＝sinx＋cosx＝sin，
x∈，得≤t≤，
从而＋1≤≤＋1，
当x＝，即CE＝50时，Lmin＝100(＋1)，
∴当CE＝DF＝50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．
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