(共33张PPT)
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
1．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
2．理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响．
3．掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
(2)ω(ω>0且ω≠1)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
(3)A(A>0且A≠1)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
温馨提示：A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由函数y＝sin的图象得到y＝sinx的图象，必须向左平移．( )
(2)把函数y＝sinx的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin3x的图象．( )
(3)将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍，便得到函数y＝Asinx的图象．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
题型一用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【典例1】 用“五点法”作出函数y＝sin的简图．
[思路导引] 先列表，再描点，最后连线．
[解] 函数y＝sin的周期T＝＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象．列表如下：
x π 4π 7π
x－ 0 π 2π
sin 0 0 － 0
描点、连线，如图所示，
利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y＝sin的简图(图略)．
“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的图象的步骤
(1)列表．令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相应的(x，y)值．
(2)描点．
(3)连线得函数在一个周期内的图象．
(4)左右平移得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．
[针对训练]
1．已知f(x)＝2sin.
(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值．
[解] (1)列表：
＋ 0 π 2π
x －
f(x) 0 2 0 －2 0
作图：
(2)由2kπ－≤＋≤2kπ＋，
得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(3)当＋＝＋2kπ，
即x＝＋4kπ(k∈Z)时，f(x)max＝2.
题型二函数图象的平移变换
【典例2】 要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[思路导引] 注意平移变换是就“x”而言．
[解析] 由y＝sin＝sin4得，只需将y＝sin4x的图象向右平移个单位即可，故选B.
[答案] B
平移变换的策略
(1)先确定平移方向和平移的量．
(2)当x的系数是1时，若φ>0，则左移φ个单位；若φ<0，则右移|φ|个单位．
当x的系数是ω(ω>0)时，若φ>0，则左移个单位；若φ<0，则右移个单位．
[针对训练]
2．将函数y＝sin向左平移个单位，可得到函数图象是( )
A．y＝sin2x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
[解析] 将函数y＝sin向左平移个单位，得y＝sin＝sin，故选C.
[答案] C
题型三函数图象的伸缩变换
【典例3】 已知函数y＝sin＋，该函数的图象可由y＝sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
[思路导引] 由y＝sinx的图象通过变换得y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：一是先伸缩后平移，二是先平移后伸缩．
[解] 解法一：步骤：①把函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；
②把函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；
③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可以得到函数y＝sin(2x＋)的图象；
④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．
解法二：步骤：①把函数y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得到函数y＝sin2x的图象；
②把函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；
③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；
④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．
由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
[针对训练]
3．把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A．y＝sin，x∈R
B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x∈R
D．y＝sin，x∈R
[解析] 把函数y＝sinx的图象上所有的点向左平行移动个单位长度后得到函数y＝sin的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y＝sin的图象．
[答案] C
4．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sinx，则( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
[解析] 将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得解析式为y＝sin2x的图象，再向右平移个单位长度，得解析式为y＝sin2＝sin的图象，所以ω＝2，φ＝－.故选B.
[答案] B
课堂归纳小结
1．由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sinxy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sinxy＝sinωx
y＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝
Asin(ωx＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
2．类似地，y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可由y＝cosx的图象变换得到．
1．将函数y＝cosx的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式是( )
A．y＝cosx＋ B．y＝cosx－
C．y＝cos D．y＝cos
[答案] D
2．函数y＝sin在区间上的简图是( )
[解析] 当x＝0时，y＝sin＝－<0，排除B，D.当x＝时，sin＝sin0＝0，排除C，故选A.
[答案] A
3．为了得到y＝3sin(x∈R)的图象，只需把函数y＝3sin(x＋)(x∈R)的图象上所有的点的( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
[解析] y＝3sin，x∈R图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到y＝3sin，故选B.
[答案] B
4．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cos2x B．y＝1＋cos2x
C．y＝1＋sin D．y＝cos2x－1
[解析] 将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin，即y＝sin＝cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos2x.
[答案] B
5．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，所得图象对应的解析式为______________________．
[解析] 将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，再将所得函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin的图象．
[答案] y＝sin
课后作业(五十四)
复习巩固
一、选择题
1．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝sin(x－)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[解析] 根据图象左、右平移的条件很容易得出答案应选A.
[答案] A
2．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
[解析] 函数y＝sinx的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y＝sin的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin.
[答案] C
3．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是( )
A．非奇非偶函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数
D．偶函数
[解析] y＝sin图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos2x的图象，y＝－cos2x是偶函数．
[答案] D
4．为了得到函数y＝2sin，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
[解析] 先将y＝2sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin，x∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y＝2sin，x∈R的图象．
[答案] C
5．设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A. B．3 C．6 D．9
[解析] 将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝cos，所得图象与原图象重合，所以cos＝cosωx，则－ω＝2kπ(k∈Z)，得ω＝－6k(k∈Z)．又因为ω>0，所以ω的最小值为6，故选C.
[答案] C
二、填空题
6．用“五点法”画函数y＝2sin(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是，，，，，则ω＝________.
[解析] 因为周期T＝－＝π，所以＝π，所以ω＝2.
[答案] 2
7．将函数y＝sinx的图象上所有点____________________，得到y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点____________________，可得到y＝sin的图象．
[答案] 向右平移个单位长度 纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍
8．将函数y＝sin2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式为________________________．
[解析] y＝sin2xy＝sin2＝
sinxy＝sinx.即所得图象的解析式为y＝sinx.
[答案] y＝sinx
三、解答题
9．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？
[解] 先把函数y＝sinx的图象向右平移个单位，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象．
10．函数y＝sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到的图象恰好关于直线x＝对称，求φ的最小值．
[解] y＝sin2x的图象向左平移φ个单位长度，得y＝sin2(x＋φ)，由于其图象关于直线x＝对称，故2×＋2φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝＋(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为.
综合运用
11．为了得到函数y＝cos的图象，可以将函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[解析] y＝cos＝sin
＝sin＝sin，故选A.
[答案] A
12．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )
A．4 B．6 C．8 D．12
[解析] 解法一：逐项代入检验，对B选项，f(x)＝sin(6x＋φ)图象向左平移个单位得：y＝sin＝sin(6x＋φ＋π)＝－sin(6x＋φ)的图象．
解法二：y＝f(x)的图象向左平移后得到y＝
sin＝sin，其图象与原图象重合，有ω＝2kπ，即ω＝4k，k∈Z，故选B.
[答案] B
13．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则f＝________.
[解析] y＝sinx的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin的图象即为f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象，∴f(x)＝sin，f＝.
[答案]
14．某同学给出了以下论断：
①将y＝cosx的图象向右平移个单位，得到y＝sinx的图象；
②将y＝sinx的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；
③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝
sin(－x－2)的图象；
④函数y＝sin的图象是由y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到的．
其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．
[解析] ①正确；②错，y＝sinx的图象向右平移2个单位，得y＝sin(x－2)的图象；③正确；④错，应向左平移个单位．
[答案] ①③
15．已知函数f(x)＝3sin，x∈R.
(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图．
(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式．
[解] (1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图．
x
x－ 0 π 2π
f(x) 0 3 0 －3 0
(2)将f(x)＝3sin图象上所有点向左平移个单位长度得到f1(x)＝3sin
＝3sinx的图象．
把f1(x)＝3sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sinx的图象，把f2(x)＝3sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得到g(x)＝sinx的图象．
所以g(x)的解析式g(x)＝sinx.
1
(共34张PPT)
第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
1．能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．
2．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．
3．会根据三角函数的图象与性质讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质．
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称中心、对称轴各有什么特点？
[答案] 对称中心为图象与x轴的交点；对称轴为经过图象最高点或最低点与x轴垂直的直线
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝－2sin(3x＋2)的振幅为－2.( )
(2)函数y＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)的值域为[－，]．( )
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.( )
(4)函数y＝3sin(2x－5)的初相为5.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数的物理意义
【典例1】 指出下列函数的振幅A、周期T、初相φ.
(1)y＝2sin，x∈R；
(2)y＝－6sin，x∈R.
[思路导引] 函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)中振幅为A，周期T＝，初相为φ.
[解] (1)A＝2，T＝＝4π，φ＝.
(2)将原解析式变形，得y＝－6sin＝6sin，则有A＝6，T＝＝π，φ＝π.
首先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的形式，再求振幅、周期、初相．应注意A>0，φ>0.
[针对训练]
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
[解析] 由题意得1＝2sinφ，∴sinφ＝，
又∵|φ|<，∴φ＝，∴T＝＝6.
[答案] A
题型二由图象确定函数解析式
【典例2】 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
[思路导引] 由图象可知振幅为3，要确定ω，先求周期T，求φ时可代入图象中一点求解．
[解] 解法一：逐一定参法
由图象知A＝3，
T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，且是上升趋势的零点，
∴－×2＋φ＝2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝，∴y＝3sin.
解法二：待定系数法
由图象知A＝3.
∵图象过点和，且由图象的上升及下降趋势，
可得解得
∴y＝3sin.
解法三：图象变换法
由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin2，即y＝3sin.
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求φ.
(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．
[针对训练]
2．某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝－cos
[解析] ＝－＝，于是＝，即ω＝，排除A、D.不妨令该函数解析式为
y＝Asin(ωx＋φ)，由题图知A＝1，
于是·＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ可以是，故选C.
[答案] C
题型三三角函数图象的对称性
【典例3】 函数y＝sin的对称中心是___________，对称轴方程是__________________．
[思路导引] 将x＋看成一个整体求解．
[解析] 函数的对称中心：x＋＝kπ，k∈Z，
∴x＝2kπ－，k∈Z，即(k∈Z)，
对称轴方程：x＋＝kπ＋，k∈Z，
∴x＝2kπ＋，k∈Z.
[答案] k∈Z x＝2kπ＋，(k∈Z)
[变式] 若本例条件变为“函数y＝sin”，则与y轴最近的对称轴方程是_____________________________．
[解析] 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．
由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－.
[答案] x＝－
三角函数对称轴、对称中心的求法
[针对训练]
3．函数y＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
[解析] ∵x－＝kπ＋，k∈Z，
∴x＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得x＝－.
[答案] C
4．在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
[解析] 设4x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
∴函数y＝2sin图象的对称中心坐标为(k∈Z)．取k＝1得满足条件．
[答案]
课堂归纳小结
1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值；在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值.
1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
[解析] 周期T＝＝6π，振幅为，初相为.
[答案] B
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最大值为5，则A＝( )
A．5 B．－5 C．4 D．－4
[解析] ∵A>0，∴函数最大值A＋1＝5，∴A＝4.
[答案] C
3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
[解析] 由图象知T＝＝2＝π，所以ω＝2，2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，又因为－<φ<，所以φ＝－.故选A.
[答案] A
4．如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，则函数的一个解析式为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
[解析] 由图象知A＝2，＝－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2，
∵图象过，∴2＝2sin，
∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
又∵0<|φ|<，∴φ＝.
∴函数解析式y＝2sin.
[答案] C
5．函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程是_______________．
[解析] ∵x－＝＋kπ，k∈Z，
∴x＝＋kπ，k∈Z.
[答案] x＝kπ＋，k∈Z
课后作业(五十五)
复习巩固
一、选择题
1．最大值为，周期为，初相为的函数表达式可表示为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
[解析] A＝，＝?ω＝6，φ＝，C项正确．
[答案] C
2．将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)的一条对称轴方程可以为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
[解析] f(x)＝sin的图象向右平移个单位得g(x)＝sin＝sin(2x－π)＝－sin2x.
由2x＝kπ＋得g(x)的对称轴方程为
x＝＋(k∈Z)
取k＝1，得x＝，故选A.
[答案] A
3．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
[解析] 由图知T＝4×＝π，
∴ω＝＝2.
又x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．
[答案] D
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f等于( )
A. B．0 C．2 D．－2
[解析] 解法一：由图可知，T＝－＝π，即T＝，∴ω＝＝3.
∴y＝2sin(3x＋φ)，将代入上式得，sin＝0，
又是图象上升的趋势的点，
∴＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－.
∴f＝2sin＝0.
解法二：由图可知，T＝－＝π，
即T＝.
又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝0，则f＝0.
∴f＝f＝0.
[答案] B
5．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上单调递增”的一个函数是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
[解析] 由①知T＝π＝，ω＝2，排除A.由②③知x＝时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．
[答案] C
二、填空题
6．函数y＝sin的图象在(－π，π)上有________条对称轴．
[解析] ∵2x－＝＋kπ，k∈Z，
∴x＝＋，k∈Z，
k＝－2时，x＝－；k＝－1时，x＝－；
k＝0时，x＝；k＝1时，x＝.
∴在(－π，π)上有4条对称轴．
[答案] 4
7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________.
[解析] 依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.
[答案] 2
8．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝________.
[解析] 由图象可得最小正周期为.
所以f(0)＝f，注意到与关于对称，
故f＝－f＝.
[答案]
三、解答题
9．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．
[解] (1)由函数图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.
将点代入得sin＝1，而－<φ<，
所以φ＝，因此函数的解析式为f(x)＝sin.
(2)由于－π≤x≤－，－≤x＋≤，
所以－1≤sin≤，
所以f(x)的取值范围是.
10．已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x＋1.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．
[解] (1)f(x)＝sin2x＋＋1
＝sin2x＋cos2x＋＝＋＝sin＋.
所以函数f(x)的振幅为，最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
所以对称中心为(k∈Z)．
(3)当sin＝－1，
即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
所以x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为，此时x的取值集合是.
综合运用
11．函数y＝cos(x∈[0,2π))的图象和直线y＝的交点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 由y＝cos＝sin＝，得＝2kπ＋或＝2kπ＋π－，即x＝4kπ＋或x＝4kπ＋，又因为x∈[0,2π)，所以x＝或.故选B.
[答案] B
12．下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
[解析] 由图象可知A＝1，T＝－＝π，
∴ω＝＝2.∵图象过点，
∴sin＝0，∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴y＝sin＝sin.
故将函数y＝sinx先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得原函数的图象．
[答案] A
13．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.
[解析] 由题意得周期T＝2＝2π，∴2π＝，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，
∴f＝sin＝±1.
∵0<φ<π，∴<φ＋<，
∴φ＋＝，∴φ＝.
[答案]
14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数解析式为f(x)＝______________.
[解析] 由函数图象上相邻最高点和最低点距离为2，得＝2.
解得T＝4，∴ω＝＝，∴f(x)＝sin.
又∵函数图象过点，∴f(2)＝sin＝－sinφ＝－.
又∵－≤φ≤，∴φ＝，∴f(x)＝sin.
[答案] sin
15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)取得最大值3；当x＝π时，f(x)取得最小值－3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)若x∈时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．
[解] (1)由题意，易知A＝3，T＝2＝π，∴ω＝＝2.由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z.
又∵－π<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝3sin.
(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(3)由题意知，方程sin＝在区间上有两个实根．
∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈，
∴∈，∴m∈[1＋3，7)．
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