(共22张PPT)
5.7 三角函数的应用
1．会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．
2．能将某些实际问题抽象为三角函数模型．
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．( )
(2)若函数y＝asinx＋1在x∈[0,2π]上有两个不同零点，则实数a的取值范围是a∈[－1,1]．( )
(3)已知某一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]，则该地区在这一时段的温差为20℃.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
题型一三角函数在物理中的应用
【典例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[思路导引] 画出函数图象，再求解．
[解] 列表如下，
t －
2t＋ 0 π 2π
sin 0 1 0 －1 0
s 0 4 0 －4 0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，
所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
[针对训练]
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解] (1)当t＝0时，E＝220sin＝110 V.
(2)电压值重复出现一次的时间间隔
T＝＝ s.
(3)电压的最大值为220 V.
第一次获得最大值的时间为
100πt＋＝，即t＝ s.
题型三三角函数在实际生活中的应用
【典例2】 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
[思路导引] (1)根据所给水深数据，求出解析式；(2)由三角不等式求解．
[解] (1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.又ymin＝7，ymax＝13，
∴A＝(ymax－ymin)＝3，
B＝(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)．
(2)由题意，得水深y≥4.5＋7，
即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，
∴sint≥，
t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
解三角函数应用问题的基本步骤
[针对训练]
2．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
[解] (1)由题意知解得
易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，
易知8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，
故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－，
所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sin＋6＝8sin＋6<8sin＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调．
课堂归纳小结
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
1．如图所示，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( )
A．2 s B．1 s
C. s D. s
[解析] 因为T＝＝1，所以从最右边到左边的时间为半个周期，即 s，故选C.
[答案] C
2．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin(160πt)＋115.其中f(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70 C．80 D．90
[解析] 由题意可得频率f＝＝＝80(次/分)，所以此人每分钟心跳的次数是80.
[答案] C
3．如图表示电流I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )
A．I＝300sin
B．I＝300sin
C．I＝300sin
D．I＝300sin
[解析] 由图象得周期T＝2＝，最大值为300，图象经过点，则ω＝＝100π，A＝300，
∴I＝300sin(100πt＋φ)．
∴0＝300sin.
∴sin＝0.取φ＝，
∴I＝300sin.
[答案] C
4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
[解析] 由题意可知A＝＝5，a＝＝23.从而y＝5cos＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5.
[答案] 20.5
课后作业(五十六)
复习巩固
一、选择题
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A. B．50 C. D．100
[解析] T＝＝.
[答案] A
2．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )
A. B. C. D.
[解析] T＝＝1，∴2π＝，∴l＝，故选D.
[答案] D
3．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2 3
y 10000 9500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10000元 B．9500元
C．9000元 D．8500元
[解析] 因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9500，当x＝3时，y＝9000.
[答案] C
4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
[解析] 令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝＝2可排除C；或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin＋7.
∵当x＝3时，y＝9，
∴2sin＋7＝9，
即sin＝1.
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
[答案] A
5．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
[解析] 该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，所以C是错误的．故选D.
[答案] D
二、填空题
6．如图某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________m.
[解析] 由题图可知－3＋k＝2，k＝5，
y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8.
[答案] 8
7．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．
[解析] 过O作水平线的垂线，垂足为Q，由已知可得：OQ＝3，OP＝6，则cos∠POQ＝，即∠POQ＝60°，则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故用时为15×＝5秒．
[答案] 5
8．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24小时内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________，x∈[0,24]．
[解析] 将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知，A＝6，T＝12，∴ω＝＝.将(6,0)看成函数图象的第一个特殊点，则×6＋φ＝0，∴φ＝－π.∴函数关系式为y＝6sin＝－6sinx.
[答案] y＝－6sinx
三、解答题
9．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
[解] (1)由表中数据，知周期T＝12.∴ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为，∴y＝cost＋1.
(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，
∴cost＋1>1，∴cost>0.
∴2kπ－即12k－3∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，
得0≤t<3或9∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9∶00至下午3∶00.
综合运用
10．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
[解析] 由y＝－sin的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，
即t≥·＝·＝7.故选C.
[答案] C
11．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
[解析] 由已知可得该函数具有周期性，其周期T＝12，不妨设该函数为y＝asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0)，∴ω＝＝.
又∵当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0,12]．可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
[答案] D
12.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．
[解析] 当t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆频率为.
[答案] ，
13．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ之间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB；求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？
[解] (1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－.
故B点坐标为.
∴h＝5.6＋4.8sin，θ∈[0，＋∞)．
(2)点A在圆上转动的角速度是，
故t秒转过的弧度数为t，
∴h＝5.6＋4.8sin，
t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.
由sin＝1.
得t－＝，∴t＝30.
∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．
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